РАЗДЕЛ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ

XIX века — фигуру, близкую к эллипсоиду вращения; со второй половины XIX века до сороковых годов XX столетия

— трехосным эллипсоидом, являющимся лишь приближенным отображением более сложной формы — геоида. С сороковых годов до настоящего времени фигурой Земли считают сложное тело, ограниченное физической поверхностью Земли.

В геодезии измерения, выполненные на физической по­ верхности, переносят на математическую, наиболее близкую к ф и зи ческой , которая может быть описана с о о тв ет с т ­ вующими уравнениями. В этой связи изучают и используют общеземной эллипсоид и референц-эллипсоиды.

Эллипсоид вращения, плоскость экватора и центр которого совпадает с плоскостью экватора и центром масс Земли и наи­ лучшим образом аппроксимирует поверхность геоида (квази­ геоида) в планетарном масштабе, называется общеземным эллипсоидом.

Эллипсоид, на поверхность которого отображаются мате­ риалы астрономо-геодезических работ и топографических съемок, и который наиболее полно соответствует поверхности геоида на соответствующие территории Земли, называется референц-эллипсоидом. Эти поверхности называются так же поверхностями относимости. В разных странах приняты свои референц-эллипсоиды, различающиеся своими параметрами (значения некоторых из них приведены в приложении 1).

Вматематической картографии, чтобы отобразить на плос­ кости физическую поверхность Земли и других реальных поверхностей, необходимо от этих поверхностей перейти к математическим. В качестве таких поверхностей принимают поверхности шара, эллипсоида вращения, и в отдельных слу­ чаях — трехосного эллипсоида.

Втеоретических исследованиях рассматриваются вопросы отображения и более сложных, регулярных поверхностей.

Вместе с тем, в настоящее время разрабатываются и ис­ пользуются картографические проекции, дающие отображе­ ние реальных поверхностей.

Применение этих проекций не даёт возможности в ы ­ полнять измерительные работы по картам, но они позволяют получить представление о формах картографируемых по­ верхностей небесных тел.

При изучении картографических проекций в математичес­ кой картографии исходят из того, что параметры исполь­ зуемого референц-эллипсоида, исходные геодезические даты

(и их аналогичные величины), а при необходимости и данные о фигурах и параметрах реальных небесных тел, полученные

по результатам астрономических, гравиметрических и геоде­ зических работ, а также по материалам космического зонди­ рования, известны.

1.1.2.СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ

В математической картографии применяются пространст­ венные прямоугольные, криволинейные, плоские п рям о ­ угольные и полярные системы координат.

1.1.2.1. ГЕОГРАФИЧЕСКАЯ (ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ) И ГЕОЦЕНТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Из бесчисленного множества параметрических линий, которые можно установить на поверхности эллипсоида (сферы), выбирем семейство географических параллелей и меридианов, составляющих географическую систему коорди­ нат: (р = const и Л = const.

В произвольной точке A (<ptA) эллипсоида проведем нор­ маль АО' к этой поверхности (рис.1), через которую можно провести бесчисленное множество нормальных сечений. Из них мы выбирем два главных: сечение, совпадаю щ ее с

Рис.1 Геодезическая и геоцентрическая пространственная система координат

плоскостью меридиана РАР\ называемое меридианным, и

1/2

- первый эксцентриситет,

а, b — большая и малая полуоси эллипсоида вращения.

Рассмотрим пространственную геоцентрическую ситему координат ОХг Y Z , в которой начало совмещено с центром масс Земли (с центром эллипсоида вращ ения), ось Zr - направлена на средний северный полюс Земли, ось Хг - в точку пересечения Гринвичского меридиана с экватором, ось Yг - на восток.

Тогда связь геоцентрической и географической систем

СФЕРОИДИЧЕСКАЯ (СФЕРИЧЕСКАЯ) СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Т о п о ц е н тр и ч е с к о й горизонтной системой к о о р д и н а т (рис. 2) будем называть систему, в которой начало совмещено

Для установления связи этой системы QqXYZ и геоцент­

Zr = Zr + e2 N0sm%; Z = Z+N{) + H0.

С учетом (3 ) - (6) ф ормулы связи топоцентрической и географической систем координат принимают вид:

X = (N + А^Шфсозфо - cosф sin ф0 cos(k - А.0)] + + e2(Nо sin фо - N 8Шф)со8ф0;

+e2( N 0 sin фо - N sin ф) sin ф0 - (jV0 + # 0) ;

где h - превышения точек (при отображении поверхности Земли все И=0)

С. , леж ащ ие в соответствующих нормальных плоскостях

Если в точке С провести нормаль СО"к эллипсоиду, которая пересечется с осью вращения эллипсоида в точке О, то образу­ ется треугольник О О С .

Учитывая широту данной точки, значения сторон О С= N Q’ ; 0"C=N', 0 0* = e2(Nsin<p-A^0sin^0) и значение N из формулы

N(> = N 0{1 - — (siny - sinф0)2[1 + — (5sin2 ф + sin2 ф0 +

(9)

+ 2sin<psin<p0 - 4]+...}.

При отображении поверхности шара получим: sin z cos а = г,; sin г sin а = /4; cos z = t5-

1.1.2.3. ПОЛЯРНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярными геодезическими координатами точки С ( (р,А ) называется длина геодезической линии s от полюса полярной системы координат Q0 ( ^ 0>>^0) до данной точки и азимут а линии Q0C в точке Q0 (рис 3). В этой системе семействами ко­ ординатных линий являются:

а * const — пучок геодезических линий из полюса ,

s =» const — геодезические окружности, ортогональные первому семейству, не являющиеся геодезическими линиями

ипредставляющие собой сложные кривые двойной кривизны.

1.1.2.4.ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

Любую картографируемую поверхность можно определить при помощи уравнений вида:

Ф ( х , у , г ) = 0 ;

где х, у, z , — прямоугольные пространственные координаты:

x = F l(u,v) ;

y = F2(u,v) ;

Z= Fi(u,v).

Независимые переменные и, v являются криволинейными координатами, определяющими положение точки на карто­ графируемой поверхности.

В основу получения эллиптических координат положены две системы софокусных сферических эллипсов (Н.А.Урмаев, 1962 г., Л.А. Вахрамеева, 1986 г.).

Сферическим эллипсом называется геометрическое место точек на поверхности шара, сумма расстояний которых от двух неподвижных точек (фокусов) постоянна.

На рис. 4 фокус F является общим для сферического эл­ липса МС, который имеет второй фокус в точке F , и для сферического эллипса M B , второй фокус которого находится в точке Fv

Положение произвольной точки М определяется у д а ­ лением ее от ближайших фокусов: FM= а и F М = Ь. Если Я — долгота точки Л/, отнесенная к плоскости начального мериди­

координаты зависят от положения на поверхности шара ф о ­ кусов сферических эллипсов (F\F ,FXyFx ). По этому признаку эллиптические координаты подразделяются на различные системы, в частных случаях определяют координаты Гюйу, Пирса, Адамса.

Э ллиптические координаты Гюйу, в которых широта

л

полюса <р0 = , вычисляются по формулам:

4

меридиана АР и положить, что *о - —, то получают систему

4

эллиптических координат Пирса, вычисляемые по формулам:

cosa = cos<pcos^ + Х\;

a + b

В случае, когда фокусы сферического эллипса располага­ ю тся в полю се и на э к в а т о р е , п о л у ч а ю т у р а в н е н и я поверхности шара в эллиптических координатах Адамса:

X= cos ^ cos А= coswcost? ;

У=cos^sin А = sinuy/l + cos2v + sinWl + cos2и j ;

Z = sin(p - —(sinuyl1 + cos21; - sinWl + cos2w J .