РАЗДЕЛ 3. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ КАРТ КОНКРЕТНОГО НАЗНАЧЕНИЯ

В д а н н о м р а з д е л е и з л о ж е н а т е о р и я п р о е к ц и й к а р т , которы е в основном п ред н азн ачен ы д л я реш ен ия той или иной с о в о к у п н о с т и к о н к р е т н ы х з а д а ч . Н е к о т о р ы е и з т а к и х

п ром еж уточн ы х точек линий полож ения, так как при создании

3 .1 . П Р О Е К Ц И И Т О П О Г Р А Ф И Ч Е С К И Х К А Р Т

В р а зл и ч н ы х ст р а н а х д ля со зд ан и я то п ограф и чески х карт

к а я п с е в д о к о н и ч е с к а я п р о е к ц и я Б о н н а ; р а в н о у г о л ь н а я а з и м у т а л ь н а я п р о е к ц и я ; р а в н о п р о м е ж у т о ч н а я в д о л ь меридианов (вертикалов) ази м у та л ь н а я проекция; равн оуголь ­ н ая к о н и ч е ск а я проекц и я; п ростая и в и д ои зм ен ен н ая п ростая п о л и к о н и ч е с к и е п р о е к ц и и ; п о п е р е ч н о - ц и л и н д р и ч е с к и е п роекции; п роекц и и Л аборда, Г ау сса -К р ю гер а и UTM.

3.1.1. ПСЕВДОЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ТРАПЕЦИЕВИДНАЯ ПРОЕКЦИЯ

В э т и х п р о е к ц и я х р а с с т о я н и я м е ж д у п а р а л л е л я м и п р о п о р ц и о н а л ь н ы д л и н а м д у г м е р и д и а н о в , к о т о р ы е

и и с п о л ь з у я ф о р м у л ы х а р а к т е р и с т и к из об щ ей т е о р и и

a = ks, + — = ks2 + — .

аа

Проекция применялась как многогранная и строилась г р а ф и ч е с к и по в ы п р я м л е н н ы м д у г а м м е р и д и а н о в и параллелей листа карты масштаба 1:200 ООО и крупнее, называлась проекцией Мюфлинга и применялась в России

с1848 до 1928 г.

Впределах каждого листа карты искажения составляли

у}0 • 2

малые величины (не более "2~sin Фт )> но ПРИ сложении

листов карты в блок возникал угловой ( г ' ) и линейный разрыв.

е' = ~ 2"(ф2 - ф|)°(>-2 - Х,)°С05фср.

3.1.2. ПОПЕРЕЧНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Пусть РО - начальный осевой меридиан. Отложим вдоль экватора дугу OQ= 90° и соединим полюса Р и Q дугой большого круга . Тогда п о л о ж е н и е любой точки А о п р е д е л я е т с я географическими координатами ф, X нормальной системы к о о р д и н а т и ли с о о т в е т с т в у ю щ и м и им с ф е р и ч е с к и м и полярными координатами Y, X поперечной системы (см. рис. 56).

Из сферических треугольников PQA и AQA2 найдем

меридиане, и применил ее на практике при вычислении ганноверской триангуляции . Теория этой проекции была впервые опубликована Ш рейбером в 1866 г. Подробные исследования данной проекции были выполнены JI.Крюгером в 1912 и 1919 г.г., который предложил способ непосредствен­ ного о т о б р а ж е н и я э л л и п с о и д а на п л о с к о с т ь в з а м е н определения указанной “двойной” проекции. С тех пор эта проекция стала называться проекцией Гаусса-Крюгера.

Проекция Гаусса-Крюгера определяется тремя условиями:

путем последовател ьного дифференцирования, если известно аналитическое вы раж ение для коэффициента AQ.

rj2 = е'1 cos2 ф ;

е ' 2 - квадрат второго эксцентриситета эллипсоида, равный 0,006738525 для эллипсоида Красовского.

Подставив значения коэффициентов (257) и им аналогичные

в в ы р а ж е н и е (255), получаем ф о р м у л ы пр ям о у го ль н ы х координат проекции

В этих формулах разность долгот X текущего и осевого меридианов выражена в радианах. При разности долгот до 3°30' обеспечивается точность вычислений до 0,001 м. Для составления карт масштабов 1:100 000 и мельче в формулах (258) можно сохранить только первые два члена.

Рассмотренная проекция не является строго равноуголь­ ной - в ней выполняется только одно из условий КошиРимана, но при сохранении достаточного количества членов в (258) она практически равноугольна. При этом с увеличением ширины зоны или укрупнением главного масштаба создавае­ мой карты в этих формулах, как и в других формулах проек­ ции Гаусса-Крюгера, количество членов необходимо увеличи­ вать.

Для вычисления частных масштабов длин и сближения меридианов проекции используем формулы общей теории

П о д с т а в и в в эти в ы р а ж е н и я п р о и з в о д н ы е от (258), получим

(259)

В проекции Гаусса-Крюгера отображение эллипсоида на плоскости осуществляется в меридианных зонах: шестигра­ д у с н ы х - д л я с о з д а н и я к а р т м а с ш т а б о в 1 :1 0 0 0 0 - 1:1 000 0 00, в трехградусных - для карт масштабов 1:2 000 -

Для топографических карт ряда стран в настоящее время прим ен яется в ш ести градусн ы х зонах проекция UTM - у н и в е р с а л ь н а я п о п е р е ч н о - ц и л и н д р и ч е с к а я п р о е к ц и я Меркатора, называемая также проекцией Гаусса-Боага.

Д анная проекция отли чается от проекции Г аусса-К рю гера

Для установления связи формул этих проекций необходи­ мо учесть следующее. В нашей стране для решения задач математической картографии и геодезии применяется левая плоская прямоугольная система координат, в которой ось л: направлена на север, ось у - на восток. В США и в некоторых

С учетом этого формулы связи этих проекций имеют вид: - при определении проекции UTM в левой системе координат

X UTM = кХг.к. I Уитм ~ ^Уг.к. » m UTM = ^тг.к.! У UTM = У г.к.

-при определении проекции UTM в правой прямоугольной системе координат

X UTM =кУгк.\ Уитм = к х г к.\ m UTM = ^тг.к.\ У UTM = У г.к.

где к = 0.9996.

Нулевые изоколы в проекции UTM проходят примерно параллельно среднему меридиану при удалении от него в обе стороны около 200 км.

3.1.5.ПРОЕКЦИЯ ГАУССА-КРЮГЕРА ДЛЯ ШИРОКОЙ ПОЛОСЫ

Для ее получения можно использовать несколько способов. Приведем способ определения этой проекции, принятый Л . К р ю г е р о м и п о д р о б н о р а с с м о т р е н н ы й в р а б о т а х В.В.Каврайского, М.Д.Соловьева, В.П.Морозова.

В данном способе проекцию получают методом тройного о т о б р а ж е н и я : р а в н о у г о л ь н о о т о б р а ж а ю т п о в е р х н о с т ь эллипсоида на поверхность шара по Мольвейде; получают равноугольную проекцию Гаусса-Ламберта шара на плоскости; о с у щ е ст в л я ю т конф ормное п р е о б р азо в а н и е полученной проекции при условии сохранения длин на среднем меридиане.

При изображении эллипсоида на поверхность шара связь геодезических координат точек эллипсоида и географических

искомой строго равноугольной проекции Гаусса -Крюгера можно представить в виде

sh4rj = 2sh2r|ch2ri; ch4r| = sh2r|2 + c h 2 r |2;

sh 6r| = sh 4rj ch 2r\ + ch 4r\ sh 2ri; ch 6r| = ch 4r| ch 2r| + sh 4rj sh 2r|.

В общем виде

Применяя обозначения В.П.Морозова, получим

где Н = 0,994 977 825; е '2 = 0,006738525 4 (для эллипсоида Красовского).

Частные производные с достаточной точностью можно определить из выражений

х ^ = 1 + 2 а 2 cos 2Е, ch 2г| + 4 а 4 cos4Е, ch 4г| + 6а 6 cos б£, ch 6r|+...;

= - 2 а 2 sin 2Е,sh 2r\ - 4 а 4 sin 4^ sh 4r| - 6а 6 sin 6^ sh 6ц~...

Сближение меридианов у в рассматриваемой проекции будет

7 = 7 i +72»

где

у, = a rc tg (s n ^ 'tg r) ;

У 2 = ~ y j ^ ,

У\ - указанные выше частные производные. Достоинством данного способа определения проекции

Гаусса -К рю гера я вл я е тс я то, что полученные формулы, сохран яя сравнительную простоту, позволяют получить данную проекцию практически при любой разности долгот (за исключением особой точки с ф = 0 , X = 90° и ее окрест­ ности).

3.1.6.ПЕРЕВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОСКИХ КООРДИНАТ ГАУССА-КРЮГЕРА ИЗ ЗОНЫ В ЗОНУ, А ТАКЖЕ В КООРДИНАТЫ ДРУГИХ ПРОЕКЦИЙ

Преобразование прямоугольных координат большинства из применяемых проекций рассмотрено ниже в разделе 4. Однако, учитывая специфику и связь различных аспектов и с п о л ь з о в а н и я проекции Гаусса, рассм отри м м етоди ку указанных преобразований этой проекции в данном пункте.

Как отмечалось, проекция Гаусса-Крюгера применяется для создания карт в 3° зоне, в 6° зоне, в широкой полосе (до ±90° ) и при с о с т а в л е н и и п л ан о в в т р а п е ц и е в и д н о й и прямоугольной разграфках.

Возникает необходимость перехода от одной к другой системе координат, различающихся значениями своих осевых меридианов и видом разграфок.

в ы ч и сл и ть п р я м о у го л ь н ы е ко о р д и н а ты и х а р а к т е р и с т и к и

пред вари тельн о перед вы числением геодезических координат

Пример. Выполнить преобразование прямоугольных координат

3.1.7.О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ПЛАНОВ 1:2 ООО И КРУПНЕЕ, ИМЕЮЩИХ РАЗГРАФКУ ПО ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КООРДИНАТНОЙ СЕТКЕ, В ПРОЕКЦИЮ ГАУССАКРЮГЕРА

При реш ении этой задачи могут быть два случая. В первом - и м е ю т с я в н а л и ч и и с т а р ы е п ла н ы (к а р т ы ) м а с ш т а б о в

дано изображение контурных точек, опознающихся на старых п л а н а х . Во в т о р о м с л у ч а е и м е ю т с я т о л ь к о п л а н ы в прямоугольной разграфке.

В п е р во м с л у ч а е на и м е ю щ и х с я п л а н а х и з м е р я е м прямоугольные координаты нескольких (не менее двух) контурных точек.

Преобразование координат точек и координатной сетки в с и с т е м у к о о р д и н а т п р о е к ц и и Г а у с с а - К р ю г е р а м ож н о выполнить, исходя из следующего.

Поскольку планы масштабов 1:2 ООО и крупнее занимают очень малую площадь, то, вне зависимости от того, в какой картографической проекции они были составлены, (инстру­ ментально и с необходимой точностью) искажения длин в пределах плана будут очень малы и они будут очень мало изменяться при переходе из одной точки в другую. Поэтому для обработки таких планов можно использовать любые картографические проекции, в том числе проекцию ГауссаКрюгера.

По геодезическим координатам опорных точек, о которых было сказано выше, вычисляют в соответствующей зоне, прямоугольные координаты проекции Гаусса-Крюгера по формулам математической картографии, например, ф орму ­ лам (260).

В любой приборной системе выполняют измерения прямо­ угольных координат х , у всех опорных и определяемых точек, в том числе точек рамок рассматриваемого плана.

Эти координаты будут отличаться от координат ГауссаКрюгера (на этот участок местности) только смещением и поворотом, так как в пределах плана искажения длин будут

координат не менее двух одноименных опорных точек).

х г.к. = ао + х и cos<* + Уи sin а;

Уг. к. = ьо - х „ sina + Уи cosa ’

а0, Ь{) - величины смещения абсцисс и ординат начальных

точек одной системы координат относительно другой. При наличии трех опорных точек, не расположенных на одной прямой, или большего их количества можно выполнить

аффинное преобразование

в систему координат проекции Гаусса можно выполнить и графически с точностью, которая во многих случаях будет достаточной.

Для этого на плане, имеющего прямоугольную разграфку, и планах 1:5 ООО или 1:2 ООО с трапециевидной разграфкой необходимо иметь не менее двух одноименных опорных точек.

В ц елях вы полнени я п р е о б р азо в а н и я достаточно на пластик нанести прямоугольные координаты этих точек и кар то гр аф и ческу ю сетку в проекции Г аусса -К р ю гер а в масштабе преобразуемого плана, совместить пластик с планом в прямоугольной р а з г р а ф к е по общим точкам и переколоть на этот план с пластика узлы координатной сетки.

Во втором случае, когда в наличии имеются только планы в прямоугольной разграфке, для их преобразования в систему координат проекции Гаусса-Крюгера (или в другую проекцию) необходимо предварительно одним из известных методов ( в поле) определить геодезические координаты не менее двух опорных точек, имеющиеся на рассматриваемом плане, а затем вычислить, например, по формулам (260) прямоуголь­ ные координаты проекции Гаусса-Крюгера этих точек.

Пример. Выполнить преобразование прямоугольных координат измеренных на плане, имеющему разграфку по прямоугольной координатной сетке, в систему координат проекции Гаусса-Крюгера.

На п л а н е с п р я м о у г о л ь н о й р а з г р а ф к о й и з м е р е н ы в

На плане в проекции Гаусса-Крюгера измерены прямоуголь­ ные координаты этих точек, относительно первой, в которой

Хгх = 5767006,5 м; угк,= 205493,0 м.