IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 11
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
∞ |
2 |
n + 1 |
|
∞ |
3n − 1 |
|
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
. |
||
|
n2 |
|
||||
n =1 |
|
|
n =1 |
5 n |
2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:
∞ |
( |
− |
n |
|
∞ |
6 |
|
а) ∑ |
1 ) |
; |
б) ∑ |
. |
|||
3 2 n − 1 |
|
||||||
n =1 |
|
n =1 |
4 n2 − 9 |
3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:
∞ |
|
π |
|
|
∞ |
1 |
|
а) ∑ tg |
|
|
; |
б) ∑ |
|
. |
|
|
2n + 5 |
||||||
n =1 |
3(n + 1) |
|
|
n =1 |
|
4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:
∞ |
n! |
|
∞ |
1 4 7 ... (3n − 2) |
|
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
. |
||
n =1 |
2 n |
|
n =1 |
7 9 11 ... (2n + 5) |
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
n |
|
∞ |
1 |
|
||
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
. |
||||
n2 |
|
(n + 5) 4 |
|||||
n =1 |
+ 7 |
|
n =1 |
n + 5 |
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
а)1 − |
|
+ |
|
− |
+ ... ; |
|
б) ∑ |
( − 1 ) n |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
8 |
|
27 |
64 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x + 1 ( x + 1) 2 |
|
( x + 1) 3 |
|
|
∞ |
x |
|
|
∞ |
(−1) n (x − 5)2 n + 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
а) |
1 2 |
|
+ |
|
|
2 3 |
+ |
3 4 |
+ ... ; |
б) |
|
2 n tg |
|
|
|
|
; |
в) |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
3n |
|
|
|
|
n =1 |
3n + 8 |
|
|||||||||
8. а) Разложить функцию |
f (x) |
в ряд Тейлора ( при |
x0 |
≠ 0 ) |
или ряд Маклорена |
|||||||||||||||||||||
( при x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x) |
|
в ряд Маклорена, используя |
||||||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = −1/ x ; |
x0 = −2 ; |
|
|
|
б) f (x) = (1 − 3x) − 3 . |
|
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
y '' = x 2 y ; y(0) = 1; y ' (0) = 1.
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
2, |
− π < x ≤ 0 |
; |
|
б) f (x) = e x ; x ( 0; π ] (по синусам). |
|
а) f (x) = |
|
0 < x ≤ π |
|
||
x, |
|
|
|
|
|
x + 1, |
− 1 < x ≤ |
0 |
; |
б) f (x) = x + 2 ; x ( 0; 2 ) (по косинусам). |
|
11. а) f (x) = |
|
0 < x ≤ |
1 |
||
0, |
|
|
|
290
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 12
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
π |
|
∞ |
n + 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
||
ходимого признака сходимости ряда: а) |
|
|
sin |
|
|
; |
б) |
n =1 n + 3 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
6 n |
|
|
|||||||
2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости: |
|
|||||||||||||||||||
∞ |
2 |
n |
+ 3 |
n |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∑ |
|
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 n |
|
|
|
n (n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения: |
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
ln (n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) ∑ |
|
|
|
; |
б) ∑ |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n =1 |
n + |
1 |
n =1 |
|
n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера: |
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
6 9 ... (3n + 3) |
|
|
|
|
|
|||||
а) ∑ |
n!(2n − 1) |
; |
б) ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
n =1 |
|
|
3 n |
|
|
|
|
n =1 |
|
3 5 ... (2n + 1) |
|
|
|
|
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
1 |
|
∞ |
1 |
|
|
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
. |
|||
( 4n − 3 )2 |
n ln3 n |
|||||
n=1 |
|
n =1 |
|
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
( − 1 )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ ... ; |
|
б) ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
5 |
8 |
11 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
4 |
|
|
x |
5 |
|
∞ |
|
(x − |
3) |
n |
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
||||
а) |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ ... ; |
б) ∑ |
|
|
|
; |
|
в) ∑ |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1) 5 n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
16 |
|
n =1 |
|
|
n =1 n 9n (x − 1) 2 n |
|
|||||||||||||||||
8. а) Разложить функцию f (x) |
в ряд Тейлора ( при |
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
|||||||||||||||||||||||||||||||
( при |
x0 |
|
= 0 ); б) разложить данную функцию |
f (x) |
в ряд Маклорена, используя |
||||||||||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) |
f (x) = arcsin x ; x0 = 0 ; |
б) f |
(x) = |
1 − cos (3x ) |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
y'' = x y ; y(0) = 1; y ' (0) = 0 .
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
а) |
f (x) = x + 3 ; x ( − π ; π ]; |
б) |
0, |
0 < x ≤ π / 2 |
(по косинусам). |
|||||
f (x) = |
π |
/ 2 < x ≤ π |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
||
11. а) |
f (x) = |
|
x |
|
; x ( − 1; 1 ]; |
б) |
f (x) = 2x + 1; |
x ( 0; 2 ] (по синусам). |
||
|
|
291
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 13
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
∞ |
1 |
|
∞ |
n |
2 |
|
|
|
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ |
; |
б) ∑ |
|
|
. |
|||
n + 3 |
n + 1 |
|||||||
n =1 |
|
n =1 |
|
2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:
|
∞ |
|
1 |
1 |
|
|
|
∞ |
4 |
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
а) |
|
|
|
+ |
|
|
; |
б) |
n =1 4n2 |
|
. |
|
|
n =1 3 n |
|
5 n |
|
|
+ 4n − 3 |
|
3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:
∞ |
2 |
|
∞ |
|
2π |
||
а) ∑ |
|
|
; |
б) ∑ tg |
|
. |
|
|
|
|
|||||
n =1 |
n 2 |
+ 1 |
|
n =1 |
|
3 n |
4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:
∞ |
n! |
|
|
∞ |
6 11 16 ... (5n + 1) |
|
а) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
. |
||
n =1 (3n − 1) 2 |
n |
|
n =1 |
1 3 5 ... (2n − 1) |
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
|
1 |
|
|
а) ∑ |
|
; |
||
n |
n + 1 |
|||
n=1 |
|
∞ |
|
б) ∑ arctg ( 5n ) . |
|
n = 2 |
25 n 2+ 1 |
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
8 |
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
− |
+ |
− |
+ ...; |
|
|
б) ∑ |
|
( − 1 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 5 |
|
7 9 |
|
|
|
n =1 |
|
n3 (n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3(x + 2) |
|
|
|
32 |
( x + 2) 2 |
|
33 ( x + 2) 3 |
|
|
∞ |
x n |
|
∞ |
(−1) n + 1 |
|
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
+ ... ; |
|
б) ∑ |
|
|
; |
в) ∑ |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 2 3 |
|
n 3 n |
|
+ 1 |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n =1 n (n + 1) x n |
|
|||||||||
8. а) Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора ( при |
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
||||||||||||||||||||||
( при |
x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя |
||||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = ln x ; |
x0 = 1; |
|
|
|
б) f (x) = x sin ( 3x ). |
|
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
(1 + x 2 ) y '' = 2 y ; y(0) = 1; y ' (0) = 0 .
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
а) |
f (x) = x2 + x ; x ( − π ; π ]; |
б) |
f (x) = 1 − (2x / π ) ; |
x ( 0; π ) (по синусам). |
||||
11. а) |
0, |
− 2 < x ≤ 0 |
; |
б) |
2, 0 < x |
≤ π / 4 |
(по косинусам). |
|
f (x) = |
0 < x ≤ 2 |
f (x) = |
π / 4 < x ≤ π |
|||||
|
x, |
|
|
1, |
|
292
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 14
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
∞ |
∞ |
(−1)n |
|
|
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ tg (π n) ; |
б) ∑ |
|
. |
|
n (n + 1) |
||||
n =1 |
n =1 |
|
||
|
|
2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:
|
∞ |
|
1 |
1 |
|
|
|
∞ |
5 |
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
а) |
|
|
|
+ |
|
|
; |
б) |
n =1 25n2 |
|
|
. |
|
|
n =1 3 n |
|
2 n |
|
|
− |
5 n − 6 |
3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:
∞ |
1 |
|
∞ |
2 |
− n |
|
||
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
|
|
. |
|||
ln (n + 1) |
n + 1 |
|||||||
n =1 |
|
n =1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:
∞ |
n! |
; |
∞ |
1 3 5 ... (2n − 1) . |
|
а) ∑ |
б) ∑ |
||||
n =1 |
(n + 1) 2 |
|
n =1 |
8 11 14 ... (3n + 5) |
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
n |
|
∞ |
1 |
|
||
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
. |
||||
n4 |
+ 1 |
(n + 8) ln (n + 8) |
|||||
n=1 |
|
n =1 |
|
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
− |
+ |
|
− |
+ ... ; |
б) ∑ |
( − 1 ) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!(2n + 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
102 |
104 |
106 |
108 |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
∞ |
(x − 1) |
2 n |
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
||
а)1 + x + |
|
+ |
|
|
+ ... ; |
|
б) ∑ |
|
|
; |
|
в) ∑ |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n 7 n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
n =1 |
|
|
n =1 n2 (x + 2)n |
|
||||||||||||
8. а) Разложить функцию f (x) |
в ряд Тейлора ( при |
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
||||||||||||||||||||||
( при x0 |
= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) |
|
в ряд Маклорена, используя |
|||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = cos x ; |
x0 = π / 4 ; |
б) f (x) = 1/(5 − x 2 ) . |
|
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y ' + y 2 = e x ; y(0) = 0 . 10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
− π / 4, |
− π < x |
≤ 0 |
; |
б) f (x) = 4x ; x ( 0; π ) (по косинусам). |
|
а) f (x) = |
π / 4, |
0 < x |
≤ π |
||
|
|
|
|||
11. а) f (x) = e x ; |
x ( − 2; 2 ] ; |
|
|
б) f (x) = 2x − 1 ; x ( 0; 1 ] (по синусам). |
293
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 15
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
|
∞ |
|
π |
|
|
|
∞ |
2 n |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
ходимого признака сходимости ряда: а) |
|
sin |
|
|
; |
б) |
|
|
|
. |
|
n =1 |
9 n |
|
|
n =1 |
n + 1 |
|
2. |
Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости: |
||||||||||||||||
|
∞ |
|
n |
− 2 |
n |
∞ |
|
7 |
|
|
|
|
|||||
|
а) ∑ |
3 |
|
|
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
6 n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n =1 |
49n2 + 7n − 12 |
||||||||||
3. |
Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения: |
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
а) ∑ n |
+ 1 ; |
|
|
б) ∑ |
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
(n + 3) 5 n |
|
|||||||||||||
|
n =1 |
|
|
n |
|
|
|
n =1 |
|
|
|
||||||
4. |
Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера: |
||||||||||||||||
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
n − 1 |
|
|
|
||||
|
а) ∑ |
n |
|
|
|
|
; |
|
|
б) ∑ |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! 4 n |
|
|
|||||||
|
n =1 3 n |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
1 |
|
∞ |
n + 1 |
|
|
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
. |
|||
n ln 3n |
|
|||||
n = 2 |
|
n =1 |
n + 2 |
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
16 |
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) − |
+ |
− |
+ |
− ... ; |
б) ∑ |
( − 1 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
6 |
9 |
12 |
|
n =1 |
n2 (n + |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(x + 3) |
n |
∞ |
(−1) |
n |
x |
2 n + 1 |
|
||||
|
а)1 + x + 2! x 2 + 3! x3 + ... ; |
б) ∑ |
|
|
|
; |
в) ∑ |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
n2 |
|
|
|
4n − 3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|||||
8. |
а) Разложить функцию |
f (x) в ряд Тейлора ( при |
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
( при x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x) |
в ряд Маклорена, используя |
стандартные разложения: а) f (x) = e− x2 ; x0 = 0 ; |
б) f (x) = sin( 2x ) + cos( 3x ). |
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y' − y3 = −x ; y(0) = 1. 10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
− 1, |
− π < x ≤ 0 |
; |
б) f (x) = x 2 − 1; x ( 0; π ] (по косинусам). |
|
а) f (x) = |
1, |
0 < x ≤ π |
||
|
|
б) f (x) = 3x ; x ( 0; 1 ] (по синусам). |
||
11. а) f (x) = 1 − x ; |
x ( − 2; 2 ] ; |
294
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 16
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|||||
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ |
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin (π / 2n ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n |
+ |
3 |
|
n=1 2 n |
|
||||||||
2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости: |
|
|||||||||||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
||||||
а) ∑ |
|
; |
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
5 2 n |
|
|
49n2 − 56n − 33 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) ∑ tg |
|
|
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n =1 |
|
|
|
7 n |
|
n =1 |
|
n5 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ |
|
n |
2 |
+ 4 |
|
|
∞ |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) ∑ |
|
|
; |
б) ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 n |
|
|
|
|
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
а) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
. |
||
(n + 1) 2 |
|
n ln 9n |
||||
n =1 |
+ 1 |
n = 2 |
|
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|||
а) − 1 + |
|
− |
+ |
+ ... ; |
б) ∑ |
( − 1 ) |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 5 7 |
|
|
|
n =1 |
n2 (n + |
3) |
|
|
|
|
||||||||||
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
2 |
|
x |
|
3 |
∞ |
(x + 2) n |
∞ |
x 2 n − 1 |
|||||||||||
а) |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ ... ; |
б) ∑ |
|
|
|
; |
в) ∑ |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
n = 2 |
n |
|
|
|
n = 2 |
4 n (2n − 1) |
||||||||
8. а) Разложить функцию |
f (x) в ряд Тейлора ( при |
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
|||||||||||||||||||||
( при |
x0 |
= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя |
|||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = cos x ; |
x0 = π / 3 ; |
б) f (x) = e−3x − cos ( 3x ) . |
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
y '' = (2x − 1) y − 1; y(0) = 0 ; y ' (0) = 1.
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
0, |
− π < x ≤ 0 |
; |
б) f (x) = |
π − x |
; x |
( 0; |
π ] (по синусам). |
||
а) f (x) = |
|
0 < x ≤ π |
2 |
|
|||||
x, |
|
|
|
|
|
|
|
||
11. а) f (x) = 4 − 2x ; |
x ( − 3; 3 ]; |
б) f (x) = e x ; |
x ( 0; 1 ] (по косинусам). |
295
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 17
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
∞ |
(−1) |
n |
∞ |
5n |
2 |
− 1 |
|
|
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
|
. |
|||
n3 |
|
|
n |
|
||||
n =1 |
|
|
n =1 |
|
|
|
2. |
Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости: |
||||||||||||||
|
∞ |
(−1) |
n |
|
∞ |
|
7 |
|
|
||||||
|
а) ∑ |
|
|
; |
|
б) ∑ |
|
. |
|
||||||
|
|
3 n |
|
|
|
49 n2 + 21n − 10 |
|||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|||||
3. |
Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения: |
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
2π |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
||||
|
а) ∑ tg |
|
|
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 n + |
|
|
|
|||||||
|
n =1 |
|
|
5 n |
|
n =1 |
1 |
|
|
||||||
4. |
Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера: |
||||||||||||||
|
∞ |
10 |
n |
|
∞ |
3 5 7 ... (2n + 1) |
|
||||||||
|
а) ∑ |
|
|
; |
|
|
б) ∑ |
. |
|||||||
|
n =1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
n =1 |
2 5 8 ... (3n − 1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
1 |
|
∞ |
|
n |
|
|
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
|
. |
|||
n + 1 |
n6 |
+ 2 |
|||||
n=1 |
|
n =1 |
|
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
− |
|
+ ... ; |
б) ∑ |
( − 1 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ln 2 |
|
ln 3 |
|
|
ln 4 ln 5 |
|
n =1 |
3 n n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
1 x3 |
|
|
|
1 x 4 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
π |
|
∞ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
2)n sin |
|
|
|
|
∑ |
n! (x + 3)n . |
|
а) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ ... ; |
б) |
|
(x − |
|
|
; |
в) |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
22 4 |
|
|
|
n =1 |
|
|
|
2 n |
|
n = 2 |
|
|||||||||
8. а) Разложить функцию f (x) |
в ряд Тейлора ( при |
|
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
|||||||||||||||||||||||||||
( при |
x0 |
|
= 0 ); б) разложить данную функцию |
f (x) в ряд Маклорена, используя |
||||||||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = x /(x + 4) ; |
x0 = 0 ; |
б) f (x) = sin( 2x ) − cos( 2x ) . |
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
y '' − y cos x = x ; y(0) = 1; y ' (0) = 0 .
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
а) |
f (x) = 3x − 4 ; |
x ( − π ; π ]; |
б) |
f (x) = 1 − 2x ; x ( 0; π ) (по синусам). |
|||
11. а) |
f (x) = e− x ; |
x ( − 1; 1 ]; |
б) |
1, |
− 1 < x ≤ |
0 |
(по косинусам). |
f (x) = |
0 < x ≤ |
1 |
|||||
|
|
|
|
x, |
|
296
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 18
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
∞ |
2 |
n |
|
∞ |
7n + 1 |
|
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ |
|
; |
б) ∑ |
. |
||
5 (n + 1) |
|
|||||
n =1 |
|
n =1 |
n |
|||
|
|
|
|
|
2. |
Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости: |
||||||||||||
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
а) ∑ |
; |
|
|
|
б) ∑ |
|
|
|
. |
|||
|
7 n |
|
( 2 n − 1) ( 2 n + 1) |
||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n =1 |
|
||||||
3. |
Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения: |
||||||||||||
|
∞ |
5 |
− n |
|
∞ |
|
|
1 . |
|
||||
|
а) ∑ |
|
|
; |
|
|
б) ∑ |
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
n |
n + 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера: |
||||||||||||
|
∞ |
|
3 n |
|
∞ |
6 n |
|
|
|||||
|
а) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
|
. |
|
|
( n + 1)! |
3n + 2 |
|
||||||||||
|
n =1 |
|
n =1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
2 n |
|
∞ |
1 |
|
||
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
. |
||||
n2 |
+ 3 |
n ln 5n |
|||||
n =1 |
|
n = 2 |
|
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
− |
+ |
|
− |
+ ... ; |
|
б) ∑ |
|
( − 1 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 7 10 13 |
|
|
|
|
n =1 |
|
n! 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin (2x) |
|
|
sin (3x) |
|
∞ |
|
n |
|
∞ |
(−1) |
n |
( n |
3 |
+ 1) |
|
|||||
а) |
sin x + |
|
+ |
+ ...; |
б) ∑ |
|
( x − 1 ) |
; |
в) ∑ |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 3 |
|
3 3 |
|
n =1 |
|
5 n |
|
n =1 |
3 n (x − 2)n |
|||||||||||||||
8. а) Разложить функцию |
f (x) |
в ряд Тейлора ( при |
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
||||||||||||||||||||||
( при |
x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x) |
в ряд Маклорена, используя |
|||||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = tg x ; |
x0 = 0 ; |
|
б) f (x) = sin x − x cos x . |
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
y '' + x y ' + y = x 2 ; y(0) = 0 ; y ' (0) = 0 .
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
а) |
− x, |
− π < x ≤ 0 |
; |
б) |
f (x) = 1 + x ; x ( 0; π ] (по косинусам). |
||
f (x) = |
0, |
0 |
< x ≤ π |
||||
|
|
|
|
|
|||
11. а) |
− 1, |
− 4 |
< x ≤ 0 |
; |
б) |
f (x) = e x ; x ( 0; 1 ] (по синусам). |
|
f (x) = |
x, |
0 < x ≤ 4 |
|||||
|
|
|
|
|
297
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 19
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
∞ |
3 |
n |
|
||
ходимого признака сходимости ряда: |
а) ∑ |
|
|
|
|
; |
б) ∑ |
|
|
. |
|||||||||||||
|
( 2 n − 1)2 |
n + 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
n =1 |
|
|||||||||
2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости: |
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) ∑ |
; |
|
|
|
|
б) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n =1 |
5 n |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
( n + 1) ( n + 2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||
3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∑ |
|
|
|
; |
б) |
∑ n + 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 n 3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n =1 |
1 |
|
n =1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
n! |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
n! sin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n =1 |
3 n + |
1 |
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
n |
|
∞ |
|
1 |
|
|
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
|
. |
|||
n + 2 |
3 |
( n + 1)4 |
|||||
n =1 |
|
n =1 |
|
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
( − 1 ) n n |
|
|
|
|
|
||
а) |
|
|
− |
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
+ ...; |
б) ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
2 |
2 2 2 |
3 2 3 |
|
4 2 4 |
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( x − 1) 2 |
|
|
( x − 1) 3 |
|
|
∞ |
|
x n |
|
∞ |
(−1) n n + 1 |
|
|||||
а) ( x − 1) |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ ... ; |
|
б) ∑ |
|
|
|
; |
в) ∑ |
|
. |
|||||
|
|
2 2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
5 n n |
3 n (x + 3)n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
n =1 |
|
||||||
8. а) Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора |
( при |
x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена |
||||||||||||||||||||||
( при |
x0 |
= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя |
||||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = ln x ; |
x0 = 2 ; |
|
|
б) f (x) = e x − cos x . |
|
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
y ' = x + y ; y(0) = 1; y ' (0) = 1.
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
а) |
f (x) = 2x − 1 ; |
x ( − π ; π ]; |
б) |
f (x) = x + 5 ; |
x ( 0; π ) (по синусам). |
|
11. а) |
f (x) = x + 1, |
− 1 < x ≤ 0 |
; |
б) |
f (x) = 2 − x ; |
x ( 0; 2 ] (по косинусам). |
|
1, |
0 < x ≤ 1 |
|
|
|
|
298
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
X. Ряды
Вариант 20
1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-
∞ |
n + 11 |
|
∞ |
1 |
|
|
ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ |
; |
б) ∑ |
. |
|||
n + 4 |
n ln n |
|||||
n =1 |
|
n =1 |
|
2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:
∞ |
3 |
n |
+ 2 |
n |
∞ |
1 |
|
|
а) ∑ |
|
|
; |
б) ∑ |
. |
|||
|
6 n |
|
( n + 1) ( n + 3) |
|||||
n =1 |
|
|
|
n =1 |
|
3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:
|
∞ |
2 n |
|
|
∞ |
|
π |
|
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
а) |
|
|
; |
б) |
|
sin |
|
. |
|
n =1 |
n + 1 |
|
|
n =1 |
5 n |
4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:
∞ |
n! |
; |
∞ |
1 4 7 ... ( 3n − 2 ) . |
|
а) ∑ |
б) ∑ |
||||
n =1 |
3 n ( n + 1)! |
|
n =1 |
2 n +1 |
|
5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:
∞ |
1 |
|
∞ |
n |
2 |
+ 1 |
|
а) ∑ |
; |
б) ∑ |
|
. |
|||
|
|
|
|
||||
n = 2 |
n ln 2n |
|
n =1 |
n 2 + 3 |
6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
( − 1 ) n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
− |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
+ ... ; |
|
б) ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n 3 ( n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. Найти область сходимости функциональных рядов: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
x 4 |
|
x6 |
|
x8 |
|
|
∞ (−1) n ( x +1) 2 n 4 n |
|
|
|
∞ |
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
а) |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
+ ... ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
; |
в) |
|
3 n sin |
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
8 |
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
n=1 |
2 n |
||||||||
8. а) Разложить функцию |
f (x) в ряд Тейлора ( при x0 |
≠ 0 ) или ряд Маклорена |
||||||||||||||||||||||||||||
( при |
x0 |
|
= 0 ); б) разложить данную функцию |
f (x) в ряд Маклорена, используя |
||||||||||||||||||||||||||
стандартные разложения: а) f (x) = cos( x / 2 ) ; |
x0 = π / 2 ; |
|
|
б) f (x) = e 2 x − cos ( 2 x ). |
9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:
y '' + y cos x = 0 ; y(0) = 3 ; y ' (0) = 0 .
10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).
а) |
f (x) = x + 7 ; |
x ( − π ; π ]; |
|
б) |
f (x) = e x ; x ( 0; π ] (по косинусам). |
11. а) |
f (x) = − 1, |
− 1 < x ≤ 0 |
; |
б) |
f (x) = 2 − x ; x ( 0; 2 ] (по синусам). |
|
1 + 3 x, |
0 < x ≤ 1 |
|
|
|
299