Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XIII. Тензорная алгебра

Вариант 22

1.

Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена

из старой путем поворота на угол π вокруг оси абсцисс.

 

 

 

4

 

2.

Найти координаты вектора

 

=

1

в новой системе координат п.1. Вы-

a

 

 

 

 

2

 

числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.

 

4

1

3

 

3

4

6

 

3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора

 

 

1

2

0

 

 

 

и найти его свёртку.

 

 

4

 

0

 

4. Найти внешнее произведение вектора

 

=

1

и вектора

 

 

=

2

.

a

b

 

 

 

2

 

 

1

 

5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-

 

8

0

0

 

га

0

0

2

.

 

0

2

2

 

6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.

7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-

3

2

1

 

ричного тензора второго ранга

2

2

0

.

 

1

0

1

 

8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.

 

1

0

0

 

9. Состояние среды задаётся тензором напряжений:

0

1

0

. Какие дей-

 

0

0

0

 

 

 

ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .

10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с

1

нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-

1

тавляющие.

11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 102 ((x y z) i + (y + 2z) j + (x + y 2z) k ), определить тип деформаций и

вычислить объёмную деформацию.

420

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XIII. Тензорная алгебра

Вариант 23

1.

Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена

из старой путем поворота на угол π вокруг оси ординат.

 

 

 

2

 

2.

Найти координаты вектора

 

=

2

в новой системе координат п.1. Вы-

a

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

7

 

3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

и найти его свёртку.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

4. Найти внешнее произведение вектора

 

=

2

и вектора

 

 

=

2

.

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-

 

1

1

0

 

га

1

4

0

.

 

0

0

1

 

6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.

7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-

2

2

1

 

ричного тензора второго ранга

2

3

1

.

 

1

1

2

 

 

 

8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.

 

4

0

0

 

9. Состояние среды задаётся тензором напряжений:

0

0

0

. Какие дей-

 

0

0

2

 

 

 

ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .

10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с

1

нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-

1

тавляющие.

11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 103 ((4x + y) i + (x + z) j + (2 y z) k ), определить тип деформаций и вы-

числить объёмную деформацию.

421

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XIII. Тензорная алгебра

Вариант 24

1.

Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена

из старой путем поворота на угол π вокруг оси аппликат.

 

 

 

3

 

2.

Найти координаты вектора

 

=

4

в новой системе координат п.1. Вы-

a

 

 

 

 

1

 

числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.

2

4

3

3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора

2

0

4

 

 

1

2

4

 

и найти его свёртку.

 

 

3

 

2

 

4. Найти внешнее произведение вектора

 

=

4

и вектора

 

 

=

3

.

a

b

 

 

 

1

 

 

0

 

5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-

 

3

0

0

 

га

0

2

1

.

 

0

1

1

 

6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.

7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-

4

4

2

 

ричного тензора второго ранга

4

1

1

.

 

2

1

1

 

8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.

 

0

0

0

 

9. Состояние среды задаётся тензором напряжений:

0

1

0

. Какие дей-

 

0

0

1

 

 

 

ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .

10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с

1

нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-

1

тавляющие.

11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 104 ((x 3y) i + (y + 3z) j + (z 3x) k ), определить тип деформаций и вы-

числить объёмную деформацию.

422

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XIII. Тензорная алгебра

Вариант 25

1.

Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена

из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси аппликат.

 

 

 

2

 

2.

Найти координаты вектора

 

=

1

в новой системе координат п.1. Вы-

a

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1

1

 

3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

и найти его свёртку.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

9

 

 

 

 

4. Найти внешнее произведение вектора

 

=

1

и вектора

 

 

=

5

.

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-

 

1

0

0

 

га

0

2

2

.

 

0

2

1

 

6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.

7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-

 

4

2

8

 

ричного тензора второго ранга

2

1

3

.

 

8

3

2

 

 

 

8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.

1

0

0

 

9. Состояние среды задаётся тензором напряжений:

0

0

0

. Какие дей-

 

0

0

2

 

 

 

ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .

10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с

1

нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-

1

тавляющие.

11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-

ем u (r )= 104 ((z x y) i + (2x 3y + z) j + (x 8y + z) k ), определить тип деформаций

и вычислить объёмную деформацию.

423

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Список использованных источников

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. – 10-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2003.

– 304 с.

2.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. – М.: Нау-

ка, 1965.– 664 с.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –

М.: Наука, 1977. – 416 с.

4.Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – Харьков: „Вища школа”, 1986. – 216 с.

5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984. – 256 с.

6.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление: 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1984. – 431 с.

7.Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. –

М.: Наука, 1978. – 296 с.

8.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

9.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 480 с.

10.Виноградов И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов, пед. вузов. В 2 ч. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 725 с.

11.Вычислительная математика. Основы теории вероятностей, математической статистики: Методические указания к выполнению лабораторных работ – СПб: СЗГТУ, 2001. – 51 с.

12.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах, ч.1. – М.: Физматлит, 2008. – 672 с.

13.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах, ч.2. – М.: Физматлит, 2008. – 504 с.

14.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах, ч.3. – М.: Физматлит, 2008. – 488 с.

15.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479 с.

16.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. –

400с.

424

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

17.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.– М.: Физматгиз, 1962.

– 400 с.

18.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. –

М.: Наука, 1980. – 392 с.

19.Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971. – 327 с.

20.Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак. – Изд. 3-е, стереотип. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – 288 с.

21.Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т., Т.1.: Учебник для студентов вузов. – 4-е изд., стереотип. – Минск: ТетраСистемс, 2003. –

544с.

22.Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. –

Минск: Изд. БГУ, 1973. – 532 с.

23.Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Интегральное исчисление”. / Сост.: Носенко Ю.Л., Носенко Н.П. – Донецк: ДПИ, 1986. – 56 с.

24.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1964. – 478 с.

25.Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. – 2-е изд., испр. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с. (Решебник).

26.Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. –

407с.

27.Ильин В.А. Аналитическая геометрия: Учебное пособие для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2003. – 240 с.

28.Ильин В.А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 5-е изд., стер. – М.: Физматлит, – 2002. – 320 с. – (Курс высшей математики и математической физики / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А. Г. Свешникова; Вып. 4).

29.Интегрирование тригонометрических функций. Методические указания для самостоятельной работы / Сост.: Цибенова Р.В., Сордохонова Е.Н. – Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. – 40 с.

30.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. III).

425

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

31.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 336 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. IV).

32.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.

Харьков: Изд. ХГУ, 1971. – Ч. III.– 500 с.

33.Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М.: Факториал, 1995.

– 454 с.

34.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (основы линейной и векторной алгебр; аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-металлургического факультета. Первый курс, первый семестр. Часть 1 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 49 с.

35.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (пределы и непрерывность функции; дифференциальное исчисление и исследование функций с помощью производных) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО фи- зико-металлургического факультета. Первый курс, первый семестр. Часть 2/ Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 54 с.

36.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (неопределенный и определенный интегралы) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-ме- таллургического факультета. Первый курс, второй семестр. Часть 3 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 69 с.

37.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (дифференциальные уравнения; ряды) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-металлурги- ческого факультета. Первый курс, второй семестр. Часть 4 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 69 с.

38.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (тензорная алгебра и её применение) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-металлургиче- ского факультета. Второй курс, третий семестр. Часть 5 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 57 с.

426

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

39.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т.1. – М.: Выс-

шая школа, 1981. – 678 с.

40.Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. 5-е изд. –

СПб. : Изд-во “Лань”, 2002. – 656 с.

41.Методические указания к организации самостоятельной работы при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии / Состав.: Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1988. – 44с.

42.Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу “Высшая математика” / Сост.: Н.С. Ищенко, Н.Г. Плаксина, В.Я. Шварц. – Донецк: ДПИ, 1983. – 28 с.

43.Методические указания к выполнению типовых расчетов по курсу “Высшая математика” (I сем.) /Сост.: Н.С. Ищенко, О.П. Кирсанова, Л.М. Шевченко. – Донецк: ДПИ, 1984. – 68 с.

44.Методические указания к типовым расчетам по разделу курса высшей математики „Обыкновенные дифференциальные уравнения”. / Сост.: Плаксина Н.Г. – Донецк: ДПИ, 1987. – 44 с.

45.Методические указания по организации самостоятельной работы студентов при изучении курса высшей математики. Раздел „Ряды”. / Сост.: Носенко Н.П., Носенко Ю.Л. – Донецк: ДПИ, 1988. –

40с.

46.Методические указания для самостоятельной работы студентов

1курса физического факультета по теме “Определённый интеграл”, часть 1 / Сост.: Гаврилова Р.М., Костецкая Г.С., Карапетянц А.Н. – Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2003. – 24 с.

47.Методические указания для самостоятельной работы студентов

1курса физического факультета по теме “Определённый интеграл”. Приложения, Ч.2 / Сост.: Гаврилова Р.М., Костецкая Г.С., Карапетянц А.Н. – Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2003. – 25 с.

48.Методические указания к решению задач по теме “Дифференциальные уравнения” для студентов вечернего отделения / Сост.: Кузнецова С.Н., Панкратова Т.Ф., Петрас С.В., Янкельзон З.М. –

С.-Пб.: С.-Пб.ГУИТМО, 2005. – 47 с.

49.Методические указания к выполнению типового расчета по курсу теории вероятностей, ч.1(2) / Сост.: Зубченко А.К. – Донецк:

ДПИ, 1983(84). – 42 с. (48 с.)

50.Методические указания к выполнению семестрового индивидуального задания по математической статистике / Сост.: Косолапов Ю.Ф., Плаксина Н.Г. – Донецк: ДПИ, 1989. – 48 с.

427

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

51.Методы интегрирования: методические указания для самостоятельной работы студентов (второе издание) / Сост.: Сибирёва А.Р., Распутько Т.Б.– Ульяновск: УлГТУ, 2005. – 40 с.

52.Навчальний посібник з “вищої математики” та індивідуальні завдання для студентів спеціальності 7.050.104 “Фінанси” (перепідготовка) / Укл.: Терехов С.В. – Донецьк: Міжнародний університет фінансів, 2006. – 192 с.

53.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. – Донецк: ИКФ

“Сталкер”, 1997. – 562 с.

54.Пискунов Н.С. Дифференциальное исчисление для втузов, Т.2.

– М.: Наука, 1985. – 560 с.

55.Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. – М.: МГУ, 1974.–

206с.

56.Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учебное пособие / Л. А. Кузнецов. – М.: Высш. школа, 1983.– 174 с.

57.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.Б.

Демидовича. – М.: Наука, 1993. – Ч.1. – 478 с.

58.Сборник семестровых контрольных работ для студентов всех специальностей очной формы обучения. / Сост.: Терехов С.В. – До-

нецк: ДНТУ, 2005. – 79 с.

59.Сокольников И.С. Тензорный анализ (с приложениями к геометри и механике сплошных сред) – М.: Наука, 1971. – 376 с.

60.Справочник по вероятностным расчетам. – М.: Воениздат, 1970.

– 536 с.

61.Терехов С.В. Математический практикум для абитуриентов. – Донецк: Норд-Пресс, 2006. – 240 с.

62.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.1. – М., 1966. – 608 с.

63.Фомин В.Л. Механика континуума для инженеров. – Ленинград:

ЛГУ, 1975. – 116 с.

64.Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая шко-

ла, 1998. – 479 с.

65.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

428

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Автор: Терехов Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Высшая математикаим. В.В. Пака Донецкого национального технического университета

Учебное пособие: Индивидуальные задания по высшей математике, 428 с., с ил. (на русском языке)

Підписано до друку 10.02.2011 р. Формат 60x84 1/16

Ум. друк. арк. 11,63. Друк лазерний. Зам. № 244. Накл. 350 прим.

Надруковано в ТОВ «Цифрова типографія» Адреса: м. Донецьк, вул. Челюскінців, 291а, тел. (062) 388-07-31; 388-07-30

429

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]