IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 22
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
4 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
4 |
1 |
− 3 |
|
|
3 |
4 |
6 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
−1 |
2 |
0 |
|
|
|
и найти его свёртку.
|
|
4 |
|
0 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
1 |
и вектора |
|
|
= |
2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
8 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
0 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
3 |
2 |
1 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
2 |
− 2 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
1 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
−1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−2 ((− x − y − z) i + (y + 2z) j + (x + y − 2z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
420
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 23
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π вокруг оси ординат. |
|||||
|
|
|
− 2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
7 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
− 2 |
. |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
1 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
4 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
− 1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
− 2 |
− 2 |
− 1 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
− 2 |
3 |
1 |
. |
|
− 1 |
1 |
− 2 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
4 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−3 ((4x + y) i + (x + z) j + (2 y − z) k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
421
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 24
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
3 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
4 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
4 |
− 3 |
||
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
2 |
0 |
4 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
и найти его свёртку.
|
|
3 |
|
− 2 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
4 |
и вектора |
|
|
= |
3 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
3 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
2 |
− 1 |
. |
|
0 |
− 1 |
− 1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
4 |
4 |
2 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
4 |
1 |
− 1 |
. |
|
2 |
− 1 |
− 1 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((x − 3y) i + (y + 3z) j + (z − 3x) k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
422
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 25
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
− 2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
− 1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
1 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− 2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 1 |
и вектора |
|
|
= |
− 5 |
. |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
1 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
− 2 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
4 |
− 2 |
8 |
|
ричного тензора второго ранга |
− 2 |
1 |
3 |
. |
|
8 |
3 |
− 2 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )= 10−4 ((z − x − y) i + (2x − 3y + z) j + (x − 8y + z) k ), определить тип деформаций
и вычислить объёмную деформацию.
423
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Список использованных источников
1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. – 10-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2003.
– 304 с.
2.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. – М.: Нау-
ка, 1965.– 664 с.
3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –
М.: Наука, 1977. – 416 с.
4.Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – Харьков: „Вища школа”, 1986. – 216 с.
5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984. – 256 с.
6.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление: 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1984. – 431 с.
7.Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. –
М.: Наука, 1978. – 296 с.
8.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
9.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 480 с.
10.Виноградов И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов, пед. вузов. В 2 ч. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 725 с.
11.Вычислительная математика. Основы теории вероятностей, математической статистики: Методические указания к выполнению лабораторных работ – СПб: СЗГТУ, 2001. – 51 с.
12.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах, ч.1. – М.: Физматлит, 2008. – 672 с.
13.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах, ч.2. – М.: Физматлит, 2008. – 504 с.
14.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах, ч.3. – М.: Физматлит, 2008. – 488 с.
15.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479 с.
16.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. –
400с.
424
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
17.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.– М.: Физматгиз, 1962.
– 400 с.
18.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. –
М.: Наука, 1980. – 392 с.
19.Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971. – 327 с.
20.Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак. – Изд. 3-е, стереотип. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – 288 с.
21.Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т., Т.1.: Учебник для студентов вузов. – 4-е изд., стереотип. – Минск: ТетраСистемс, 2003. –
544с.
22.Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. –
Минск: Изд. БГУ, 1973. – 532 с.
23.Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Интегральное исчисление”. / Сост.: Носенко Ю.Л., Носенко Н.П. – Донецк: ДПИ, 1986. – 56 с.
24.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1964. – 478 с.
25.Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. – 2-е изд., испр. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с. (Решебник).
26.Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. –
407с.
27.Ильин В.А. Аналитическая геометрия: Учебное пособие для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2003. – 240 с.
28.Ильин В.А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 5-е изд., стер. – М.: Физматлит, – 2002. – 320 с. – (Курс высшей математики и математической физики / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А. Г. Свешникова; Вып. 4).
29.Интегрирование тригонометрических функций. Методические указания для самостоятельной работы / Сост.: Цибенова Р.В., Сордохонова Е.Н. – Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. – 40 с.
30.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. III).
425
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
31.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 336 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. IV).
32.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.
Харьков: Изд. ХГУ, 1971. – Ч. III.– 500 с.
33.Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М.: Факториал, 1995.
– 454 с.
34.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (основы линейной и векторной алгебр; аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-металлургического факультета. Первый курс, первый семестр. Часть 1 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 49 с.
35.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (пределы и непрерывность функции; дифференциальное исчисление и исследование функций с помощью производных) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО фи- зико-металлургического факультета. Первый курс, первый семестр. Часть 2/ Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 54 с.
36.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (неопределенный и определенный интегралы) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-ме- таллургического факультета. Первый курс, второй семестр. Часть 3 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 69 с.
37.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (дифференциальные уравнения; ряды) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-металлурги- ческого факультета. Первый курс, второй семестр. Часть 4 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 69 с.
38.Краткие теоретические сведения по некоторым разделам высшей математики (тензорная алгебра и её применение) и индивидуальные задания из методических разработок преподавателей кафедры для студентов специальностей ОМД и ТО физико-металлургиче- ского факультета. Второй курс, третий семестр. Часть 5 / Сост.: Терехов С.В. – Донецк: ДНТУ, 2005. – 57 с.
426
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
39.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т.1. – М.: Выс-
шая школа, 1981. – 678 с.
40.Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. 5-е изд. –
СПб. : Изд-во “Лань”, 2002. – 656 с.
41.Методические указания к организации самостоятельной работы при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии / Состав.: Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1988. – 44с.
42.Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу “Высшая математика” / Сост.: Н.С. Ищенко, Н.Г. Плаксина, В.Я. Шварц. – Донецк: ДПИ, 1983. – 28 с.
43.Методические указания к выполнению типовых расчетов по курсу “Высшая математика” (I сем.) /Сост.: Н.С. Ищенко, О.П. Кирсанова, Л.М. Шевченко. – Донецк: ДПИ, 1984. – 68 с.
44.Методические указания к типовым расчетам по разделу курса высшей математики „Обыкновенные дифференциальные уравнения”. / Сост.: Плаксина Н.Г. – Донецк: ДПИ, 1987. – 44 с.
45.Методические указания по организации самостоятельной работы студентов при изучении курса высшей математики. Раздел „Ряды”. / Сост.: Носенко Н.П., Носенко Ю.Л. – Донецк: ДПИ, 1988. –
40с.
46.Методические указания для самостоятельной работы студентов
1курса физического факультета по теме “Определённый интеграл”, часть 1 / Сост.: Гаврилова Р.М., Костецкая Г.С., Карапетянц А.Н. – Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2003. – 24 с.
47.Методические указания для самостоятельной работы студентов
1курса физического факультета по теме “Определённый интеграл”. Приложения, Ч.2 / Сост.: Гаврилова Р.М., Костецкая Г.С., Карапетянц А.Н. – Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2003. – 25 с.
48.Методические указания к решению задач по теме “Дифференциальные уравнения” для студентов вечернего отделения / Сост.: Кузнецова С.Н., Панкратова Т.Ф., Петрас С.В., Янкельзон З.М. –
С.-Пб.: С.-Пб.ГУИТМО, 2005. – 47 с.
49.Методические указания к выполнению типового расчета по курсу теории вероятностей, ч.1(2) / Сост.: Зубченко А.К. – Донецк:
ДПИ, 1983(84). – 42 с. (48 с.)
50.Методические указания к выполнению семестрового индивидуального задания по математической статистике / Сост.: Косолапов Ю.Ф., Плаксина Н.Г. – Донецк: ДПИ, 1989. – 48 с.
427
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
51.Методы интегрирования: методические указания для самостоятельной работы студентов (второе издание) / Сост.: Сибирёва А.Р., Распутько Т.Б.– Ульяновск: УлГТУ, 2005. – 40 с.
52.Навчальний посібник з “вищої математики” та індивідуальні завдання для студентів спеціальності 7.050.104 “Фінанси” (перепідготовка) / Укл.: Терехов С.В. – Донецьк: Міжнародний університет фінансів, 2006. – 192 с.
53.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. – Донецк: ИКФ
“Сталкер”, 1997. – 562 с.
54.Пискунов Н.С. Дифференциальное исчисление для втузов, Т.2.
– М.: Наука, 1985. – 560 с.
55.Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. – М.: МГУ, 1974.–
206с.
56.Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учебное пособие / Л. А. Кузнецов. – М.: Высш. школа, 1983.– 174 с.
57.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.Б.
Демидовича. – М.: Наука, 1993. – Ч.1. – 478 с.
58.Сборник семестровых контрольных работ для студентов всех специальностей очной формы обучения. / Сост.: Терехов С.В. – До-
нецк: ДНТУ, 2005. – 79 с.
59.Сокольников И.С. Тензорный анализ (с приложениями к геометри и механике сплошных сред) – М.: Наука, 1971. – 376 с.
60.Справочник по вероятностным расчетам. – М.: Воениздат, 1970.
– 536 с.
61.Терехов С.В. Математический практикум для абитуриентов. – Донецк: Норд-Пресс, 2006. – 240 с.
62.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.1. – М., 1966. – 608 с.
63.Фомин В.Л. Механика континуума для инженеров. – Ленинград:
ЛГУ, 1975. – 116 с.
64.Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая шко-
ла, 1998. – 479 с.
65.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.
428
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Автор: Терехов Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук,
профессор кафедры “Высшая математика” им. В.В. Пака Донецкого национального технического университета
Учебное пособие: Индивидуальные задания по высшей математике, 428 с., с ил. (на русском языке)
Підписано до друку 10.02.2011 р. Формат 60x84 1/16
Ум. друк. арк. 11,63. Друк лазерний. Зам. № 244. Накл. 350 прим.
Надруковано в ТОВ «Цифрова типографія» Адреса: м. Донецьк, вул. Челюскінців, 291а, тел. (062) 388-07-31; 388-07-30
429