IDZ_VysshMatematTerehov
.pdf
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 2
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π / 6 |
вокруг оси ординат. |
||||
|
|
|
1 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
0 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
− 2 |
3 |
0 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
− 1 |
2 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
4 |
||
и найти его свёртку.
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
0 |
и вектора |
|
|
= |
4 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
3 |
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
2 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
2 |
1 |
. |
|
0 |
1 |
− 4 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
3 |
2 |
− 1 |
|
ричного тензора второго ранга |
2 |
− 2 |
0 |
. |
− 1 |
0 |
1 |
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
− 1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u ( r ) = 10−2 ( (2x − 3y) i + (x − y − 2z) j + (− 2 y + z) k ), определить тип деформаций и вычислить объёмную деформацию.
400
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 3
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π / 6 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
|
−1 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
−1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
1 |
1 |
|
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
1 |
− 2 |
|
и найти его свёртку.
|
|
|
− 1 |
|
1 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 1 |
и вектора |
|
|
= |
5 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
1 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
1 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
3 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
1 |
1 |
− 2 |
|
ричного тензора второго ранга |
1 |
− 1 |
0 |
. |
|
− 2 |
0 |
2 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
− 1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
1 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((x − y + z) i + (x + 4z) j + (x − y) k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
401
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 4
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π / 3 |
вокруг оси абсцисс. |
||||
|
|
|
|
0 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
− 2 |
3 |
− 3 |
|
|
1 |
4 |
2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
−1 |
0 |
−1 |
|
|
|
и найти его свёртку.
|
|
|
0 |
|
|
− 1 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
0 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
− 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран- |
|||||||
|
− 2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
га |
0 |
3 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом |
|||||||
базисе. |
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
ричного тензора второго ранга |
3 |
− 1 |
0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−3 ((3x − 4 y) i + (2 y + 5z) j + (− y + 2z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
402
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 5
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π / 3 |
вокруг оси ординат. |
||||
|
|
|
|
3 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
− 2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
3
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 2
1
и найти его свёртку.
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 2 |
и вектора |
|
|
= |
1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
||
1 − 1
0 1
5 − 3
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
6 |
3 |
0 |
|
га |
3 |
0 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
− 1 |
|
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
9 |
− 1 |
0 |
|
ричного тензора второго ранга |
− 1 |
− 1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
− 1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )= 10−4 ((z − x − y) i + (2x − 3y + z) j + (x − 8y + z) k ), определить тип деформаций
и вычислить объёмную деформацию.
403
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 6
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена
из старой путем поворота на угол π / 3 |
вокруг оси аппликат. |
|||
|
|
− 2 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
5 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
1 |
4 |
5 |
|
|
− 2 |
0 |
4 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
− 3 |
2 |
1 |
|
|
|
и найти его свёртку.
|
|
− 2 |
|
|
0 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
5 |
и вектора |
|
|
= |
− 1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
− 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
7 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
1 |
− 3 |
. |
|
0 |
− 3 |
− 2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
1 |
6 |
1 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
6 |
− 4 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
3 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
4 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−2 ((5x − 2z) i + (7x − y) j + (2x + 3y − z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
404
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 7
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π / 4 |
вокруг оси абсцисс. |
||||
|
|
|
|
1 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
−1 |
1 |
4 |
|
|
|
−1 |
8 |
2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
−2 |
−2 |
−7 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
1 |
|
|
− 5 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
− 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
1 |
2 |
0 |
|
|
га |
2 |
3 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
0 |
2 |
− 1 |
|
ричного тензора второго ранга |
2 |
− 2 |
0 |
. |
|
− 1 |
0 |
1 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
− 1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
2 |
. Какие дей- |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u (r )= 10−3 ((− x + 2y − 3z) i + (x − 5y + 2z) j + (x − y + 3z) k ), определить тип дефор-
маций и вычислить объёмную деформацию.
405
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 8
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена
из старой путем поворота на угол π / 4 |
вокруг оси ординат. |
|||
|
|
− 2 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
− 1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 1
3
и найти его свёртку.
|
|
|
− 2 |
|
|
3 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 1 |
и вектора |
|
|
= |
2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
5 |
|
0 |
− 3 |
|
|
||
1 |
− 2 |
|
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
3 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
3 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
1 |
0 |
0 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
0 |
− 3 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
− 1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
5 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((4x − y + 6z) i + (2x − y) j + (− y + z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
406
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 9
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена
из старой путем поворота на угол π / 4 |
вокруг оси аппликат. |
|||
|
|
− 3 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
− 3 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
1 |
2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
3 |
0 |
− 5 |
|
4 |
−1 |
8 |
и найти его свёртку.
|
|
|
− 3 |
|
|
− 1 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 3 |
и вектора |
|
|
= |
− 2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
7 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
5 |
− 1 |
. |
|
0 |
− 1 |
0 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
2 |
1 |
1 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
1 |
− 4 |
0 |
. |
|
1 |
0 |
2 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
7 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задается тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
1 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражени-
ем u ( r ) = 10−2 ( (7x − 3y + z) i + (x + 4 y) j + (x − 2 y + 3z) k ), определить тип дефор-
маций и вычислить объёмную деформацию.
407
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 10
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 3π / 4 вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
5 в новой системе координат п.1. Вы- |
|
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
4 |
3 |
2 |
|
|
7 |
1 |
1 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
− 2 |
−1 |
0 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
5 и вектора |
|
|
= |
7 |
. |
|
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
2 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
4 |
− 2 |
. |
|
0 |
− 2 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
3 |
− 1 |
2 |
|
ричного тензора второго ранга |
−1 |
− 8 |
0 |
. |
|
2 |
0 |
− 2 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
− 2 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задается тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие |
|
0 |
0 |
0 |
|
действия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((− 5y + 2z) i + (2x + 6y − z) j + (2y − z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
408
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 11
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 3π / 4 вокруг оси ординат. |
|||||
|
|
|
− 1 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
3 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
0 |
− 3 |
1 |
|
|
|
5 |
−1 |
0 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
− 1 |
|
6 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
3 |
и вектора |
|
|
= |
2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
0 |
5 |
0 |
|
|
га |
5 |
− 1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
2 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
9 |
− 5 |
− 3 |
|
ричного тензора второго ранга |
− 5 |
0 |
0 |
. |
− 3 |
0 |
2 |
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u ( r ) = 10−3 ( (3x + y − z ) i + (x + 3 y ) j + (x − z ) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
409