Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 3

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а)

 

f (x)

=

 

 

1

; б)

f (x) = 3sin(2x) .

 

 

 

 

 

 

 

x

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Продифференцировать указанные функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

а) y = 5 ln3 (ax + b) 5 (1 3x)2 ;

 

б)

y =

 

 

+ 3

2

 

;

 

 

 

 

3 x + 2

 

 

 

 

 

в)

y = (ln(x + 3))

2x 3

;

 

 

 

 

 

 

г)

y =

cos(3x)

2x 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

2

 

 

 

 

 

 

arccos (π

6

 

2

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = t arcctgt

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

y =

 

 

 

 

 

 

 

е)

arctg (x + y) = x ;

 

 

 

ж)

+ t 2 )

.

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = ln(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

3

2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y = sin ( 2x ) + cos x ,

 

x0 =

;

 

 

x = t

 

;

 

 

 

 

в)sin y = x + y .

 

 

 

2

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

1

 

2

 

 

 

 

2

 

ра: а) y =

 

 

 

 

x = 2 t t

 

 

 

x

 

3x 6

, x0

= 4 ;

б)

 

, t0 = 1.

2

 

3

 

 

 

 

 

 

y = 3t t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos (2x)

 

 

 

 

 

π x

 

 

а)

lim

 

 

 

 

 

 

 

;

б)

lim

 

 

 

 

 

;

в)

lim

cos

 

ln (1

x )

;

 

 

 

π x

 

 

 

 

 

2

 

x0

 

 

 

 

x0 cos (7x) cos (3x)

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

x ctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

;

 

д)

lim

 

 

arctgx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x→∞ π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 4 x x .

180

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 4

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x x1 ; б) y = 5 cos (2x).

2.Продифференцировать указанные функции.

а)

y =

3

2e

x

2

x

+ 1

+ ln

5

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

в) y = (tg(2x)) x 2 +1 ;

 

 

 

 

 

д)

y = (sin(0.8 x))3 5 3x 2x 2 ;

 

б)

 

x3

 

 

 

 

cos2

(

y =

+

4

5x

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y =

arcctg(3t 2 )

;

 

π t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) e y = x + y ;

 

 

 

 

ж)

) ;

 

1

 

 

 

x =

 

 

 

 

t + 1

.

 

t

 

 

 

y =

t + 1

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

 

1 + x

 

 

 

 

2

 

 

а)

 

, x0

= 2 ;

б)

x = t

 

;

в) cos y = x + y .

y =

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

y = t 3

8t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x2 3x 1, x0

= 4 ; б) x = t sin t

, t0

=

π .

 

y = 1 cos t

 

 

3

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln(sin(2x))

 

;

б)

lim

3x2 5x ;

в) lim (tg (5x) ln (tg ( 5x ))) ;

 

x0

ln(sin x)

 

 

 

 

x0

sin(3x)

x 0

 

1

 

1

 

 

 

 

 

lim (ctg(3x)) sin(3x) .

 

г) lim

 

 

 

 

;

 

д)

 

 

 

x

 

 

x0 sin x

 

 

 

 

 

 

x 0

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) =

2x

.

 

 

x + 2

181

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 5

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 3x2 + 1 ; б) f (x) = cos(2x + 1) . 2. Продифференцировать указанные функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y = sin 3x + ln( x + 5 1+ 2x );

 

 

x

1

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y =

+ 3

x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = (arctg(

x )) x 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y = cos (5x) ln(3 2x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3at

 

 

 

 

 

 

 

 

);

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

д) y =

π

 

4

 

 

 

 

 

= a ;

ж)

 

1

+ t

 

 

 

.

 

 

 

x

 

 

 

sin

2t arccos(t

 

е) ln x + e

 

 

 

 

 

at 2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + t

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

 

x 2

 

x = 2sin 3 t

 

 

а) y 2

=

 

, x0 = 1 ;

б)

;

в)sin(x + y) = y .

2a x

 

 

 

y = 2 cos3 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x3 , x0 = 2 ;

б) x = 3cos t ,

t0

=

π .

 

y = 4sin t

 

 

3

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln x ;

 

 

 

 

 

б)

lim 1 cos3 x ;

x → ∞

3 x

 

 

 

 

 

 

x0

4x2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

π

 

 

 

г) lim

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

;

д)

lim

arctgx .

 

2

 

 

x0 tg x

 

x

 

 

 

 

x→∞ 2

 

в)

 

 

 

1

 

;

lim

x ln

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x0

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x x 2 .

182

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 6

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 2x3 x + 3 ; б) f (x) = 3sin(5x) .

2.Продифференцировать указанные функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x8

 

 

3

 

 

 

 

а) y = ln(2x 7) + xe x + x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

 

 

 

 

 

 

б) y =

 

 

 

+ 4

x

;

 

 

 

 

 

 

8 (1 x2 )4

 

 

 

в) y = (sin(8x))3 x 1 ;

 

 

 

 

 

 

г) y = x2 arcsin(ln(3x)) ;

 

 

sin(2t )

 

 

2

 

π

 

 

3

 

 

 

3

 

 

x y

 

 

 

t

 

д) y = 7 7 arctg

 

;

е) y

 

 

;

 

ж)

x = e

 

.

 

cos

 

t

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = e t cos (2t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

 

2

 

 

а) y = ln(2x + 7) , x0 = 0 ;

x = t

 

;

в) cos(x + y) = x + 2 y .

б)

 

 

y = 2t 3

+ 6

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

3

 

 

 

 

t

 

 

ра: а) y = x

, x0

= 1 ;

x = 2 e

 

, t0

= 0 .

 

б)

t

 

 

 

 

y = e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim ex ;

x→ ∞ x5

 

1

 

1

 

 

г) lim

 

 

 

 

;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

 

tg(2x)

 

б)

д)

 

 

2 x 1

 

 

lim

 

 

 

 

 

;

 

 

 

x0 ln(1 + 2 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

lim (e3x + x)

 

.

 

3x

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

в) lim tg(x + 1)ln

 

 

x→ −1

x + 1

;

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 8x 2x .

183

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 7

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 2 9x + 2 ; б) f (x) = 2 cos (3x) .

2.Продифференцировать указанные функции.

a) y

в) y

д) y

=

1

sin(

 

 

 

1

 

+ ln(3

5

x )cos

 

 

 

 

 

 

x

 

 

= (x3 + 2x) 3x ;

 

 

 

 

 

 

 

4t 2

π

2

 

;

 

= arcsin5

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(ax)

 

 

 

1

 

x) ; б)

 

3 2

 

;

 

x

y =

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

cos (

bx )

 

 

 

 

 

4

 

 

 

г)

y = e x 2 x arctg 2 (13 5x) ;

е)

ln y =

x

 

c ;

 

 

 

ж) x = 2 ln(ctg t ) + 1 .

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = tg t + ctg t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

ln(x 2)

 

 

 

2 t

 

а) y =

 

 

x = 3e

 

 

 

 

, x0

= 1 ;

б)

;

в) arctg y = x + y .

x 2

 

 

 

y = e5 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

3

 

 

 

3

+ 1

 

 

ра: а) y =

 

 

x = t

 

 

 

 

, x0

= −2 ;

б)

 

 

, t0

= 0 .

x

 

 

 

 

 

y = t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

 

 

ln x

 

 

;

б)

lim

 

4x

 

;

в) lim (sin(x + 1)ln(x + 1)) ;

x → ∞

 

x2 + x

1

 

x0 tg(π (2

+ x))

 

x→ −1

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

;

 

д)

lim x ln( e

x

1 ) .

 

 

г) lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 1 + x 21 .

184

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 8

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) =

1

; б)

 

f (x) = ln(5x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Продифференцировать указанные функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y = 5 e x

+ cos (x 2 )+ 3 3 1

 

 

 

 

 

+

 

x

2

+ 1

 

+ sin

(1 + 2x) ;

 

 

 

 

 

; б) y = ln 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = (3 2x)x 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

arctg(

x );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) y = ln

x

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg 2 (t π )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

t

3

t

д) y =

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

;

 

е) x

 

y

 

+ 5xy + 4 = 0

;

 

 

 

 

ж)

 

 

 

 

 

1 .

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = x3e4 x + 3 , x0 = 1 ;

б)

 

2

t ;

в) 5 arcsin y = x + y .

x = cos

 

 

 

y = 2 sin t

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y =

1

x2

+ 1 , x0 = 4 ;

б) x = 2 cos t ,

t0

= −

π .

2

 

 

 

y = sin t

 

 

3

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а)

lim

ln(5x)

;

 

 

 

б)

lim

cos (2x) cos x

;

 

x + 3

 

 

 

 

 

 

x→ ∞

 

 

 

 

 

 

x0

1 cos x

г)

 

1

 

 

1

 

;

д)

 

 

3

.

 

 

 

 

 

4 + ln x

 

lim

 

 

 

x

 

lim x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 ex 1

 

 

 

 

x 0

 

 

 

в)

 

(4

x

2

 

π x

;

lim

 

)tg

 

 

x2

 

 

 

 

4

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x12 1x .

185

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 9

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 41 ; б) f (x) = 3sin(5x) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = (3 2 sin(4x))2

6

+ x + x

в) y = (arctg( x ))1x ;

д) = arccos(3π 2t ) ; y

π t 2

 

x

 

 

 

 

 

tg

 

 

+ 1

 

1

 

; б) y = ln

2

 

 

 

 

+ 21x ;

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) y = 3 x 8x2 ex + 2 ;

ж) y = tg(2 t )

 

е) 2x = 2x + y 2 y ;

.

 

x = cos2 ( t )

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = x5 ln x , x0 = 1 ;

б) x = sin 2 t

;

в) ln(x + y) = 3x ;

 

y = 2cost

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y =

1

 

2

 

, x0

= 0 ;

б)

x = 8sin 3 t

, t0 =

π

.

 

x

 

+ 1

 

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 8 cos3 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim 2x + 1 ; x→ ∞ ln(3x)

 

 

 

1

 

 

1

 

 

г) lim

 

 

 

 

 

 

;

 

x

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

x0

 

 

tgx

 

б) 1 cos x ; lim ( )2

x0 e3x 1

 

 

 

π x

д)

tg

 

 

lim (2 x)

 

2

.

x1

 

π

в) lim arccos x

2

ctgx ;

x0

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x πx .

186

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 10

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а)

f (x) =

x 1

; б) f (x) = x2

5x + 10 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Продифференцировать указанные функции.

 

 

а) y = 1 + 3 4 5x2 + ex ;

 

 

 

 

1 + sin(x 2 )

 

 

x

 

 

 

б) y = ln

 

+ 5

 

;

 

 

 

 

2

 

 

 

1 sin(x2 )

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = (1 x2 )arccos(x3 ) ;

 

г) y = cos3 (5x)ln( x );

 

y =

 

д) y = arctg

6

 

π

+ t

2

е) y

3

+ 3y + 2ax = 0

;

 

 

ж)

1

 

cos

8

;

 

 

 

 

t 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

2 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = (x + 3)ln x(x + 3) , x0 = 1;

б) x = tg t ;

в) ln(2x + y) = y .

 

y = t

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x2 4x + 5 + 1, x0 = 0 ;

б) x = sin 2 t ,

t 0

=

π .

 

y = cos2 t

 

 

6

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

x2 + 3x

;

 

 

 

б)

lim

x2 1

;

в) lim(sin(3x)ln(tg(3x))) ;

 

 

 

 

 

 

ln x

x→ ∞

ln x

 

 

 

 

 

 

x0

 

x0

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2 x π

 

г) lim

 

 

 

 

;

д)

lim (tg x)

 

.

2x 1

x

 

x0

 

 

 

 

 

xπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx +24 .

187

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 11

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = (x 11)3 ; б) f (x) = sin(3x + 1) .

2.Продифференцировать указанные функции.

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

2x

 

2

sin x

 

 

а) y =

 

4

 

5

 

 

;

б)

 

8

 

;

 

 

 

9x

 

x

y = ln

 

 

+

 

x2

 

 

x

2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

в) y = (cos (

 

x ))arctg

x ;

г)

y = sin 6 (5x 12)

 

7

 

;

 

 

 

x 1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) y =

 

 

 

t

2

 

 

 

;

е) x sin y + cos 2 y = cos y ;

 

ж)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg

(

t π 3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=ln(3 t 2 ).

=t 2 + et

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = (2x + 1)cos x , x0 = π ;

x =

t + 3

;

в)tg(x + y) = 2x .

б)

 

 

y = t 2

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x

2

4x + 5

, x0

= 4 ;

x = 1

t 2

, t 0 = 2 .

 

б)

t 3

 

 

 

 

 

y = t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

 

tgx

 

;

 

 

 

 

 

tg(5x)

 

 

 

 

xπ

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

г) lim

 

 

 

;

 

 

π

π

cos x

 

 

x

 

 

x2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) lim 2x 16 ; x4 sin(π x)

1

д) lim(1 + x2 )x .

x0

в) lim(2x ln x) ;

x0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x + 1x .

188

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 12

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x12 ; б) f (x) = sin(5x 1) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а)

в)

д)

y = 11 9 + 5 x9 + ex + 2 ;

y = (x2 + 3)

x .

 

 

 

 

 

 

π

 

sin

 

 

 

y = arcctg

 

7

 

 

;

π 2

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y =

1

 

2

 

;

5

 

x

(1+ cos(2x)) + ln

x

3

 

 

 

 

 

 

г) y = 5 tg (3x 1) ln(2x x2 );

 

2

 

3

1

 

 

x = et + t

 

 

е) y

= a tg

;

ж)

 

 

.

 

 

x (cos x)

 

t )

 

 

 

 

 

 

 

y = e 2 t + sin(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = x ln2 x , x0 = e ;

б) x = 5 cos t ;

в) 2x y = 2 y .

 

y = 4sin t

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = (2 + x) 3 , x0 = 0 ;

б) x = sin t

, t 0

=

π .

 

y = cos(2t)

 

 

6

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

x 2 + 1

;

 

 

б) lim

ln(tgx)

;

в) lim(tgx ln(sin x)) ;

 

 

 

 

 

 

cos(2x)

x→ ∞ e x + 2

 

 

 

xπ

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1

 

 

1

 

 

sin x

 

г) lim

 

 

 

 

 

 

;

д) lim(ctg x)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

x0 tgx sin(2x)

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = 2 4 x .

189

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]