IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 3
1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) |
|
f (x) |
= |
|
|
1 |
; б) |
f (x) = 3sin(2x) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Продифференцировать указанные функции. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = 5 ln3 (ax + b) − 5 (1 − 3x)2 ; |
|
б) |
y = |
|
|
+ 3 |
2 |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
3 x + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
в) |
y = (ln(x + 3)) |
2x 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
г) |
y = |
cos(3x) |
2x − 1 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
arccos (π |
6 |
|
2 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t − arcctgt |
|
||||
|
|
− t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
е) |
arctg (x + y) = x ; |
|
|
|
ж) |
+ t 2 ) |
. |
|||||||||
t − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ln(1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
3 |
− 2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = sin ( 2x ) + cos x , |
|
x0 = |
; |
|
|
x = t |
|
; |
|
|
|
|
в)sin y = x + y . |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
ра: а) y = |
|
|
|
|
x = 2 t − t |
|
|
||
|
x |
|
− 3x − 6 |
, x0 |
= 4 ; |
б) |
|
, t0 = 1. |
|
2 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
y = 3t − t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos (2x) |
|
|
|
|
|
π x |
|
|
|||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
б) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
в) |
lim |
cos |
|
ln (1 |
− x ) |
; |
|
|
|
|
π x |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
x→0 cos (7x) − cos (3x) |
|
|
x→ 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
− |
|
|
; |
|
д) |
lim |
|
|
arctgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→∞ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = 4 −x x .
180
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 4
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x x− 1 ; б) y = 5 cos (2x).
2.Продифференцировать указанные функции.
а) |
y = |
3 |
2e |
x |
− 2 |
x |
+ 1 |
+ ln |
5 |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
в) y = (tg(2x)) x 2 +1 ; |
|
|
|
|
|
|||||||
д) |
y = (sin(0.8 x))3 5 3x − 2x 2 ; |
|
б) |
|
x3 |
|
|
|
|
cos2 |
( |
y = |
+ |
4 |
5x |
|||||
1 + x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y = |
arcctg(3t 2 ) |
; |
|
||||
π − t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) e y = x + y ; |
|
|
|
|
ж) |
) ;
|
1 |
|
|
|
x = |
|
|
|
|
t + 1 |
. |
|||
|
t |
|
||
|
|
|||
y = |
t + 1 |
|
||
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
|
|
1 + x |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
а) |
|
, x0 |
= 2 ; |
б) |
x = t |
|
; |
в) cos y = x + y . |
|||
y = |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
− x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y = t 3 |
− 8t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y = x2 − 3x − 1, x0 |
= 4 ; б) x = t − sin t |
, t0 |
= |
π . |
|
y = 1 − cos t |
|
|
3 |
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
ln(sin(2x)) |
|
; |
б) |
lim |
3x2 − 5x ; |
в) lim (tg (5x) ln (tg ( 5x ))) ; |
|||||
|
||||||||||||
x→ 0 |
ln(sin x) |
|
|
|
|
x→ 0 |
sin(3x) |
x → 0 |
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
lim (ctg(3x)) sin(3x) . |
|
||
г) lim |
|
|
− |
|
|
; |
|
д) |
|
|||
|
|
x |
|
|
||||||||
x→0 sin x |
|
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = |
2x |
. |
|
||
|
x + 2 |
181
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 5
1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = 3x2 + 1 ; б) f (x) = cos(2x + 1) . 2. Продифференцировать указанные функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) y = sin 3x + ln( x + 5 1+ 2x ); |
|
|
x − |
1 |
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) |
y = |
+ 3 |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) y = (arctg( |
x )) x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
г) |
y = cos (5x) ln(3 − 2x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
); |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
д) y = |
π |
|
4 |
|
|
− |
|
|
|
= a ; |
ж) |
|
1 |
+ t |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
sin |
− 2t arccos(t |
|
е) ln x + e |
|
|
|
|
|
at 2 |
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
|
|
x 2 |
|
x = 2sin 3 t |
|
|
|
а) y 2 |
= |
|
, x0 = 1 ; |
б) |
; |
в)sin(x + y) = y . |
|
2a − x |
|||||||
|
|
|
y = 2 cos3 t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y = x3 , x0 = 2 ; |
б) x = 3cos t , |
t0 |
= |
π . |
|
y = 4sin t |
|
|
3 |
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
ln x ; |
|
|
|
|
|
б) |
lim 1 − cos3 x ; |
|||||
x → ∞ |
3 x |
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
4x2 |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
||||||
г) lim |
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
д) |
lim |
− arctgx . |
|||
|
− |
2 |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
x→ 0 tg x |
|
x |
|
|
|
|
x→∞ 2 |
|
в) |
|
|
|
1 |
|
; |
lim |
x ln |
|
|
|||
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x −x 2 .
182