Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 22

Даны четыре точки A ( 2; 0; 1 ), B ( 1; 1; 1 ), C ( 0; 1; 1 ) и D ( 1; 1; 0 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a 3b + c .

5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

8.

Найти Пр

 

 

 

 

(3

 

 

+

 

 

)

и Пр

 

 

( 2

 

 

+

 

 

).

 

+

 

 

a

b

b

c

j

с

 

k

a

c

9.

Вычислить

 

×

 

,

 

 

 

×

 

 

 

и угол

 

^

 

.

 

 

 

 

 

a

c

 

a

c

 

 

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

11.

Найти площадь ABC и длину его высоты, опущенной из точки

С .

Найти величину и направляющие косинусы момента силы

12.

F = ( 2; 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; 1; 5 ) .

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

110

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 23

Даны четыре точки A ( 1; 0; 1 ), B (1; 2; 0 ) , C ( 1; 1; 0 ) и D ( 0; 1; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a 3b + c .

5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

8.

Найти Пр

 

 

 

 

(3

 

 

+

 

 

)

и Пр

 

 

( 2

 

 

+

 

 

).

 

+

 

 

a

b

b

c

j

с

 

k

a

c

9.

Вычислить

 

×

 

,

 

 

 

×

 

 

 

и угол

 

^

 

.

 

 

 

 

 

a

c

 

a

c

 

 

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

11.

Найти площадь ABC и длину его высоты, опущенной из точки

С .

Найти величину и направляющие косинусы момента силы

12.

F = ( 2; 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; 1; 5 ) .

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

111

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 24

Даны четыре точки A ( 1; 1; 2 ) , B ( 0; 1; 1 ) , C (1; 0; 1 ) и D (1; 0; 1 ):

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a 3b + c .

5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

8.

Найти Пр

 

 

 

 

(3

 

 

+

 

 

)

и Пр

 

 

( 2

 

 

+

 

 

).

 

+

 

 

a

b

b

c

j

с

 

k

a

c

9.

Вычислить

 

×

 

,

 

 

 

×

 

 

 

и угол

 

^

 

.

 

 

 

 

 

a

c

 

a

c

 

 

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

11.

Найти площадь ABC и длину его высоты, опущенной из точки

С .

Найти величину и направляющие косинусы момента силы

12.

F = ( 2; 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; 1; 5 ) .

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

112

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

II. Элементы векторной алгебры

Вариант 25

Даны четыре точки A ( 0; 1; 1 ) , B (1; 1; 2 ), C ( 1; 1; 1 ) и D ( 1; 1; 1 ) :

1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).

2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .

3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4.Найти 2 a 3b + c .

5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную

вектору a .

6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны

ли векторы a и b , a и c между собой?

7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

8.

Найти Пр

 

 

 

 

(3

 

 

+

 

 

)

и Пр

 

 

( 2

 

 

+

 

 

).

 

+

 

 

a

b

b

c

j

с

 

k

a

c

9.

Вычислить

 

×

 

,

 

 

 

×

 

 

 

и угол

 

^

 

.

 

 

 

 

 

a

c

 

a

c

 

 

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .

11.

Найти площадь ABC и длину его высоты, опущенной из точки

С .

Найти величину и направляющие косинусы момента силы

12.

F = ( 2; 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .

13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти

векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; 1; 5 ) .

14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?

113

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 1

1.Даны вершины некоторого треугольника A ( 2; 4 ) , B ( 3; 1 ) и C (4; 0 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 2; 4 ) , прямая линия l : x + 3y 2 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : 3x y + 4 = 0 и l2 : 3x y = 0 , причем одной из них в точке

A( 0; 0 ) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 7 x 2 + 9 y 2 = 63 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 16x + y2 + 4y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 9x2 + 7 y2 = 63 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 7 y2 = 35 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 9x2 + 5 y2 = 90 . Написать уравнение директрисы.

114

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 2

1.Даны вершины некоторого треугольника A(1; 2 ) , B (3; 4 ) и C (1; 3 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 3; 1) , прямая линия l : 2x y + 1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x y = 0 и l2 : 2x 2 y + 3 = 0 , причем одной из них в точ-

ке A(1; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 4 x 2 + 5 y 2 = 36 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 2x + y2 + 6 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5x2 + 8 y2 = 40 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 9 y2 = 36 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 5x2 + 4y2 = 20. Написать уравнение директрисы.

115

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 3

1.Даны вершины некоторого треугольника A( 3; 0 ) , B ( 2; 2 ) и C (1; 3 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 2; 3) , прямая линия l : x + 3y 1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : 2x + y 3 = 0 и l2 : 2x + y = 0 , причем одной из них в точке

A(1; 2 ) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 6 x 2 + 4 y 2 = 24 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 4x + y2 2y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 4x2 + 3y2 = 12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 5y2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 6 x 2 + 5 y 2 = 30 . Написать уравнение директрисы.

116

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 4

1.Даны вершины некоторого треугольника A( 3; 2) , B (2; 1 ) и C (1; 3 ) . Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M ( 2; 1) , прямая линия l : 6x y + 4 = 0 является касательной к окружности.

3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x + y + 4 = 0 и l2 : 3x + 3y 12 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 2 ) .

4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в

фокусах эллипса l2 : 2 x 2 + 5 y 2 = 10 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 + 6x + y2 + 4 y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + y2 = 12 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 4x2 5y2 = 20 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 7 y 2 = 28 . Написать уравнение директрисы.

117

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 5

1.Даны вершины некоторого треугольника A(3; 1) , B ( 2; 3 ) и C (4; 0 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M (1; 2 ) , прямая линия l : x + 3y + 1 = 0 является касательной к окружности.

3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : x + 3y + 1 = 0 и l2 : x + 3y 5 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 1) .

4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 6 x 2 + 8 y 2 = 48 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 4x + y2 + 8y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 4 y2 = 16 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 5x2 y2 = 15 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + y 2 = 8 . Написать уравнение директрисы.

118

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Вариант 6

1.Даны вершины некоторого треугольника A (1; 2 ) , B(3; 2 ) и C (0; 4 ). Требуется найти:

а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;

в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;

ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .

2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой

M (3; 1) , прямая линия l : 2x y + 4 = 0 является касательной к окружности.

3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-

ных прямых l1 : 3x + y + 2 = 0 и l2 : 3x + y 4 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 5 ) .

4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в

фокусах эллипса l2 : 2 x 2 + 8 y 2 = 16 , а третья – в центре окружности

l1 : x2 2x + y2 + 4y = 0 .

5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 3y2 = 9 .

6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-

куса гиперболы 2x2 8 y2 = 24 до её асимптоты.

7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 2 y 2 = 20 . Написать уравнение директрисы.

119

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]