IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
II. Элементы векторной алгебры
Вариант 22
Даны четыре точки A ( 2; 0; 1 ), B ( − 1; 1; − 1 ), C ( 0; 1; 1 ) и D ( − 1; − 1; 0 ):
1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).
2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .
3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.
4.Найти 2 a − 3b + c .
5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную
вектору a .
6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны
ли векторы a и b , a и c между собой?
7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .
8. |
Найти Пр |
|
|
|
|
(3 |
|
|
+ |
|
|
) |
и Пр |
|
− |
|
( 2 |
|
|
+ |
|
− |
|
). |
||||||||||
|
+ |
|
|
a |
b |
b |
c |
j |
||||||||||||||||||||||||||
с |
|
k |
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Вычислить |
|
× |
|
, |
|
|
|
× |
|
|
|
и угол |
|
^ |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
c |
|
a |
c |
|
|
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .
11. |
Найти площадь ∆ ABC и длину его высоты, опущенной из точки |
С . |
Найти величину и направляющие косинусы момента силы |
12. |
F = ( 2; − 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .
13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти
векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; − 1; 5 ) .
14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?
110
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
II. Элементы векторной алгебры
Вариант 23
Даны четыре точки A ( − 1; 0; − 1 ), B (1; 2; 0 ) , C ( 1; − 1; 0 ) и D ( 0; 1; 1 ):
1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).
2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .
3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.
4.Найти 2 a − 3b + c .
5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную
вектору a .
6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны
ли векторы a и b , a и c между собой?
7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .
8. |
Найти Пр |
|
|
|
|
(3 |
|
|
+ |
|
|
) |
и Пр |
|
− |
|
( 2 |
|
|
+ |
|
− |
|
). |
||||||||||
|
+ |
|
|
a |
b |
b |
c |
j |
||||||||||||||||||||||||||
с |
|
k |
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Вычислить |
|
× |
|
, |
|
|
|
× |
|
|
|
и угол |
|
^ |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
c |
|
a |
c |
|
|
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .
11. |
Найти площадь ∆ ABC и длину его высоты, опущенной из точки |
С . |
Найти величину и направляющие косинусы момента силы |
12. |
F = ( 2; − 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .
13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти
векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; − 1; 5 ) .
14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?
111
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
II. Элементы векторной алгебры
Вариант 24
Даны четыре точки A ( − 1; 1; 2 ) , B ( 0; − 1; − 1 ) , C (1; 0; − 1 ) и D (1; 0; 1 ):
1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).
2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .
3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.
4.Найти 2 a − 3b + c .
5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную
вектору a .
6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны
ли векторы a и b , a и c между собой?
7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .
8. |
Найти Пр |
|
|
|
|
(3 |
|
|
+ |
|
|
) |
и Пр |
|
− |
|
( 2 |
|
|
+ |
|
− |
|
). |
||||||||||
|
+ |
|
|
a |
b |
b |
c |
j |
||||||||||||||||||||||||||
с |
|
k |
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Вычислить |
|
× |
|
, |
|
|
|
× |
|
|
|
и угол |
|
^ |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
c |
|
a |
c |
|
|
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .
11. |
Найти площадь ∆ ABC и длину его высоты, опущенной из точки |
С . |
Найти величину и направляющие косинусы момента силы |
12. |
F = ( 2; − 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .
13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти
векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; − 1; 5 ) .
14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?
112
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
II. Элементы векторной алгебры
Вариант 25
Даны четыре точки A ( 0; 1; −1 ) , B (1; − 1; 2 ), C ( − 1; 1; 1 ) и D ( − 1; − 1; − 1 ) :
1.Найти векторы a = AB, b = AC и c = AD. Имеются ли среди них коллинеарные? Записать разложение векторов a, b и c по декартовому базису (i, j, k ).
2.Найти единичный вектор того же направления что и вектор a .
3.Найти направляющие косинусы вектора a . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.
4.Найти 2 a − 3b + c .
5.Определить координаты вектора X = ( x; y; z) , коллинеарного вектору a , зная, что X = 5 и он направлен в сторону, противоположную
вектору a .
6.Вычислить скалярные произведения a b и a c . Перпендикулярны
ли векторы a и b , a и c между собой?
7.Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .
8. |
Найти Пр |
|
|
|
|
(3 |
|
|
+ |
|
|
) |
и Пр |
|
− |
|
( 2 |
|
|
+ |
|
− |
|
). |
||||||||||
|
+ |
|
|
a |
b |
b |
c |
j |
||||||||||||||||||||||||||
с |
|
k |
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Вычислить |
|
× |
|
, |
|
|
|
× |
|
|
|
и угол |
|
^ |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
c |
|
a |
c |
|
|
a |
c |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a и b .
11. |
Найти площадь ∆ ABC и длину его высоты, опущенной из точки |
С . |
Найти величину и направляющие косинусы момента силы |
12. |
F = ( 2; − 1; 3 ) , приложенной к точке A относительно точки C .
13.Лежат ли векторы a , b и c в одной плоскости? Могут ли эти
векторы образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор d = (1; − 1; 5 ) .
14.Чему равны объём пирамиды с вершинами A, B , C , D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD ?
113
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 1
1.Даны вершины некоторого треугольника A ( 2; 4 ) , B ( − 3; 1 ) и C (4; 0 ). Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( 2; 4 ) , прямая линия l : x + 3y − 2 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : 3x − y + 4 = 0 и l2 : 3x − y = 0 , причем одной из них в точке
A( 0; 0 ) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 7 x 2 + 9 y 2 = 63 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 16x + y2 + 4y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 9x2 + 7 y2 = 63 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 5x2 − 7 y2 = 35 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 9x2 + 5 y2 = 90 . Написать уравнение директрисы.
114
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 2
1.Даны вершины некоторого треугольника A(1; 2 ) , B (3; 4 ) и C (− 1; 3 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( − 3; 1) , прямая линия l : 2x − y + 1 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : x − y = 0 и l2 : 2x − 2 y + 3 = 0 , причем одной из них в точ-
ке A(1; 1) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 4 x 2 + 5 y 2 = 36 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 2x + y2 + 6 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5x2 + 8 y2 = 40 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 4x2 − 9 y2 = 36 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 5x2 + 4y2 = 20. Написать уравнение директрисы.
115
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 3
1.Даны вершины некоторого треугольника A( 3; 0 ) , B ( 2; − 2 ) и C (1; 3 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( − 2; 3) , прямая линия l : x + 3y − 1 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : 2x + y − 3 = 0 и l2 : 2x + y = 0 , причем одной из них в точке
A(1; − 2 ) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 6 x 2 + 4 y 2 = 24 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 + 4x + y2 − 2y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 4x2 + 3y2 = 12 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 4x2 − 5y2 = 20 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 6 x 2 + 5 y 2 = 30 . Написать уравнение директрисы.
116
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 4
1.Даны вершины некоторого треугольника A( − 3; 2) , B (2; 1 ) и C (− 1; 3 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( 2; − 1) , прямая линия l : 6x − y + 4 = 0 является касательной к окружности.
3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : x + y + 4 = 0 и l2 : 3x + 3y − 12 = 0 , причем одной из них в точке A( − 2; − 2 ) .
4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в
фокусах эллипса l2 : 2 x 2 + 5 y 2 = 10 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 + 6x + y2 + 4 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + y2 = 12 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 4x2 − 5y2 = 20 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 7 y 2 = 28 . Написать уравнение директрисы.
117
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 5
1.Даны вершины некоторого треугольника A(−3; 1) , B ( 2; − 3 ) и C (4; 0 ). Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M (1; 2 ) , прямая линия l : x + 3y + 1 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : x + 3y + 1 = 0 и l2 : x + 3y − 5 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; 1) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 6 x 2 + 8 y 2 = 48 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 4x + y2 + 8y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 4 y2 = 16 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 5x2 − y2 = 15 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + y 2 = 8 . Написать уравнение директрисы.
118
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 6
1.Даны вершины некоторого треугольника A (−1; 2 ) , B(3; 2 ) и C (0; 4 ). Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M (−3; 1) , прямая линия l : 2x − y + 4 = 0 является касательной к окружности.
3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : 3x + y + 2 = 0 и l2 : 3x + y − 4 = 0 , причем одной из них в точке A(1; − 5 ) .
4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в
фокусах эллипса l2 : 2 x 2 + 8 y 2 = 16 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 2x + y2 + 4y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 3y2 = 9 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 2x2 − 8 y2 = 24 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 2 y 2 = 20 . Написать уравнение директрисы.
119