Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 7

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

 

 

 

 

11

 

 

4

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

3

x

2

 

x

3

dx ;

б)

2

 

 

 

+

2

7

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

cos (5x)dx ;

 

 

 

б) x

1

 

x dx ;

 

 

 

в)

1

+

1+ tg x

dx .

 

 

 

 

2 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x 1+ tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) (5x 2)e3x dx ;

б) (4x 2)cos (3x)dx ;

 

в) x arctg (2x)dx ;

 

г) ln (x 1)dx ;

 

 

 

д) 4 x cos (5 x )dx .

 

 

 

 

 

 

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

7x + 5

 

 

dx ;

б)

 

 

 

 

3x 8

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

9 + 6x 8x

2

 

 

 

2x2 + 4x + 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

а)

 

3x2 +

6x + 1

 

dx ;

б)

 

 

x3 1

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + 2)(x + 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x3 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

а) sin5 x cos4 x dx ;

б) sin 4 (3x)dx ;

в) ctg 3 (4x)dx ; г) cos ec4 x dx ;

 

 

д)

 

dx

 

 

;

 

 

 

 

 

 

е) cos(6x)cos(7x)dx;

 

 

ж)

 

dx

 

.

 

 

sin3 (2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos x sin x

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) 3

x + 1

dx ;

б)

 

3x + 1

 

 

в)

x2

dx

;

г)

 

36

+ x2

 

x4

( 4 x2 )3 dx ;

x2 4 dx

x4 .

8.Разные интегралы

а) x e32 x 2 dx ;

г) 1 sin3 x dx ; sin 2 x

ж) 5 9x dx ; x3

б)

д)

з)

cos ec

4

x

 

 

 

 

dx ;

 

2

 

 

 

 

( 3x 2 )cos ( 2x )dx ;

x

cos 2 x dx .

в)

 

 

3x 7

 

dx ;

1

16x x

2

 

 

 

е)

 

 

x3

 

dx ;

 

 

x

3

27

 

 

 

+

 

 

 

210

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 8

Вычислить неопределённые интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

 

а)

(x2

2x )2

 

dx ;

 

 

б) ( 2

x+2

+ 5 tg x 4 sin x ) dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

sin ( x

1 )

dx ;

 

 

б) x e

x 2

dx ;

 

 

 

в)

 

x arctg x2 + x

dx .

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ( 4x 3 )e2 x dx ;

 

б) ( 5x + 17 )sin (4x)dx ;

 

 

в) 7x arctg ( 5x )dx ;

 

г) x3 ln (3x + 2)dx ;

 

 

д) 4x cos (7x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

dx ;

 

 

б)

 

 

 

 

2 + 9x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x

2

+ 2x +

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 + 2x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

2x2 x + 8

 

 

б)

 

 

3x3 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( x + 4 )(x 2 )

 

( x2 + 1 )2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) sin 2 ( 2 x 1 )cos 3 ( 2 x 1 )dx ; б) sin 4 (3 x)dx ;

 

 

в) ctg 5 x dx ;

 

 

г) sec

4

( 7x )dx ;

 

 

 

д)

 

dx

;

 

 

е) sin (9x)cos (2x)dx ;

 

 

 

 

 

sin3 (9x)

 

 

 

ж)

 

 

 

 

cos x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + sin x + cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

7x

5

dx

;

 

 

 

б) x

2

25 x

2

dx ;

в) 9 + x

2

dx ;

г)

 

 

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

2x + 1

 

 

 

 

 

 

 

x

5

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

8.

Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

г)

ж)

 

dx

 

;

б) 4 arccos (5x)dx ;

в)

 

cos x dx

;

 

3

 

4x

2

+ sin x + cos x

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 dx

 

д)

2x

е) x

2

(1 + x

2

)

5

 

1 9x2

;

( x + 2 )2 ( x2 + 16 ) dx ;

 

 

 

dx ;

7 3 8x dx ;

з) ctg 4 ( 7x )dx .

 

 

 

 

 

 

 

211

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 9

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

 

2

 

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

2

 

 

dx ;

б) tg x +

 

 

 

dx .

1

+ x

1 x

2

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

а)

dx

;

 

 

б) x2 ex 3 dx ;

 

 

 

1 2x

 

 

 

 

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

а) (2 x)e3x dx ;

б) x2 cos (5x)dx ;

 

 

г) ln (x2 + 4) dx ;

д) x ctg 2 x dx .

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

а)

 

x + 2

 

dx ;

б)

2x + 5

dx .

 

5

+ 2x 6x

2

x2 + 8x

25

 

 

 

 

 

 

в) 1 2 cos x dx . sin2 x

в) arctg( 2x + 1)dx ;

5. Метод интегрирования рациональных дробей

а)

4x2 + 3x + 1

dx ;

б)

x3 + 8

dx .

(x2 + 1)(x + 2)2

 

x3 + 4x2

6. Интегрирование тригонометрических функций

а) sin 4 (2x)cos3 (2x )dx ;

б) cos6 x dx ;

г) sec

4

(3x)dx ;

 

д)

 

dx

 

;

 

 

sin

3

(7x)

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

1 + sin x + cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) tg 3 (5x)dx ;

е) sin (2x)sin (8x)dx ;

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) 3

 

dx

;

б)

x2 dx

;

 

 

в)

x2 dx

 

;

г)

x2 121 dx .

 

3x + 1 1

 

25 x2

 

 

 

 

( 49 + x2 )3

 

 

x

8. Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

2 7x

 

dx ;

б) ln2 x dx ;

 

 

 

в) ( x + 6 )5x dx ;

 

x2 8x + 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) ctg 5 x dx ;

 

 

д)

4x2 1 dx

;

 

 

е) 6 sin x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

cos x

 

 

5

 

 

 

 

 

 

x1

5

 

4

 

 

 

ж) cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

;

 

з)

3

 

7(1+ x2 ) +

2

5

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

212

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 10

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

 

 

 

x

 

 

2

 

 

5

 

7

 

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) (2e

+ 4x

 

 

x

)dx ;

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

2

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод замены переменной интегрирования

 

в) arcsin7 x + 8 dx .

а) e3x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

7x5

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

3. Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

в) arctg ( x )dx ;

а) x 2 x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x2 cos x dx ;

 

 

 

г) (x + 1)2 ln (x + 1) dx ;

 

д) ex sin (6x)dx .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

x + 10

 

 

 

 

dx

;

 

 

б)

 

 

 

8x

11

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

2

4x

 

5

 

 

 

 

 

5 + 2x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

5x 2

 

 

 

 

dx ;

 

 

б)

 

x5 + x

1

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

+

2x

2

+ x

 

 

 

 

 

x

3

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

 

а) sin3 (5x)cos4 (5x)dx ;

 

б) cos6 (8x)dx ;

 

 

в) tg 3 x dx ;

 

 

 

 

 

 

3

(10x)dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

е) sin (3x)cos (6x)dx ;

г) sec

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin4 (7x)

 

 

 

 

ж)

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + cos(4x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

;

 

б) x

2

64 x

2

dx ;

 

 

в)

 

x2 dx

;

г)

x2 144 dx

.

3 x2 2 x

 

 

 

 

 

 

 

(16 + x2 )3

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 + 2x2 )2

 

а)

 

11x + 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) cos

6

( 3 5x )dx ;

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

7 2x x

2

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

5x2 + 3x

 

 

 

2 x3 7x

 

 

 

г)

3 x + 1 dx ;

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

2

( x3 + 1 )

 

dx ;

 

е)

16 x2

dx ;

ж)

arcsin x dx ;

 

 

 

 

 

 

з) sin (7x)sin (3x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

213

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 11

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

б) sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 5x

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод замены переменной интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

3

x

 

dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

3x

+ 2

dx ;

 

 

 

в)

5 2cos x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

x2

 

 

 

 

6sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

в) arctg(

3x 17)dx ;

а) (2x + 5)e3x dx ;

 

б) (3x 4)cos (2x)dx ;

г) ln (x 53 )

dx ;

 

д) 2x sin x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

x + 11

 

 

 

 

dx ;

 

б)

 

 

 

4 x

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

6x 2x

2

 

5

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

x3 + 4x

2 5x 7

 

б)

 

2x3 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + 9)(x 4)2

dx ;

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 + 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) sin5 (2x)cos3 (2x )dx ;

б) cos4 (8x)dx ;

 

в) tg 5 x dx ;

г) cos ec4 x dx ;

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

dx

 

 

 

;

 

 

 

 

е) cos(7x)cos(9x)dx ;

 

 

 

ж)

 

 

dx

 

 

.

sin3 (11x)

 

 

 

 

 

 

 

2 + sin x + cos x

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

x dx

;

 

 

 

 

 

б)

x2 dx

;

 

 

 

в)

2x2 dx

;

г)

 

x2 1 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

 

(16 x2 )3

 

 

 

 

 

 

 

( 4 + x2 )3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

8. Разные интегралы

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ( 7 6x )cos ( 3x )dx ;

 

б)

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

в)

 

 

dx

 

 

 

;

 

 

(1 x2 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 3 (3 4 x )

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) cos ec4 ( x + 7 )dx ;

 

 

 

 

 

12 17x

 

 

 

г) x2 9

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е)

 

dx ;

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 8x + 1

 

 

 

ж)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з)

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

+ 5x

2 dx ;

 

 

 

 

 

1 7 sin x +

 

5 sin

2

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

214

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 12

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

а)

5 7

x

dx ;

б)

3 2 ctg

2 x

dx .

x

2

 

cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод замены переменной интегрирования

а) tg (3x + 2 )dx ;

б)

sin

x

dx ;

cos

3

 

 

 

 

x

3. Метод интегрирования по частям

а) (5x 4)2 x dx ;

б) (3x 2)sin(2x)dx ;

г)

ln (7x 2)

dx ;

д) e4 x cos (6x) dx .

2

 

(7x 2)

 

 

 

 

4. Интегрирование квадратичных полиномов

а)

 

 

2x 9

 

dx ;

б)

3x + 4

dx .

x

2

+ 2x 11

2x2 6x + 1

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

а)

2x3 40x 9

б)

5x 3

 

dx ;

(x2 + 1)x

dx .

x (x + 4)(x 2)

в)

3x 5

dx .

 

1 + x2

 

в) arctg(

3x + 4)dx;

6. Интегрирование тригонометрических функций

а) sin 2 (9x)cos3 (9x)dx ;

б) sin 4 (7x)dx ;

 

 

в) tg 3 (5x 1) dx ;

г) sec

6

x dx ;

 

д)

 

 

dx

 

 

;

 

 

 

 

е) sin (6x)cos (9x)dx ;

 

 

sin3 (5x)

 

 

 

 

ж)

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 + cos (2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 3

 

x

 

dx ;

б)

16 x2 dx ;

 

 

 

 

в)

dx

;

г)

 

x2 25 dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + x2 )

3

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x3

 

 

 

 

 

а) ln ( x

2

+ 1 ) dx

;

б) sin

8

x cos

3

x dx ;

 

в)

+ 8 x

dx ;

 

 

 

 

 

16 + x

4

 

cos (

2x )

 

 

 

 

 

 

 

( 1

x )dx ;

 

 

 

 

 

 

г)

dx ;

 

д) tg

5

 

 

е) x

2

7

x 1

dx

;

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

x2 dx

 

;

 

з)

 

23x2

+ 4

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x

4 )

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 9x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

215

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 13

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

а)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

dx ;

б)

(1 + 2x)3

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

 

 

e2 x

 

 

а)

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

;

 

 

 

 

dx .

 

3x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 4 x

 

 

 

4 + e4 x

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

в) arctg( 7x + 3) dx;

 

а) ( x 2 )e3x dx ;

 

 

 

б) (2x + 5)cos (7x)dx ;

 

 

г)

ln x

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) 3x cos x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

3x + 7

 

 

 

dx ;

 

 

б)

 

 

4x 3

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

x

2

14x +

1

 

 

 

12x2 x + 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

x2 + 9x 12

 

dx

;

б)

5x3 + 6

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

(x

2

+

9)

x

3

+ 8x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

а) sin6 (7x)cos5 (7x)dx ;

б) cos6 (6x)dx ;

 

 

 

в) ctg 3 (5x)dx ;

 

г) sec

4

(11x)dx ;

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

dx

 

 

 

;

 

 

 

е) sin (8x)sin (12x)dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin3 (14x)

 

 

 

 

ж)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 + 5 cos x + 8sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

а)

 

2x + 5

 

dx ;

 

б) x2

36 x2 dx ;

 

 

 

 

в)

dx

;

г)

x2 49 dx .

 

 

 

x 2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9 + x2 )3

 

 

x4

 

8.

Разные интегралы

 

x3 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) sin (5x)sin (7x)dx ;

 

 

б)

 

dx ;

 

 

 

в) ( 7x + 3 )5x dx ;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) 3

 

 

x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

д) sin6 ( 2x + 3 )dx ;

 

е) 95x 7 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

x + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

dx

;

з)

5sin x + 3cos x

 

 

 

4 7x

dx .

5 + 4x x2

 

216

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 14

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

а)

 

 

 

 

 

cos (2 x )

 

 

dx ;

б)

(4 + 3

 

 

 

x

)2

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

2

x cos

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод замены переменной интегрирования

 

 

1 + x

 

 

а) e2 x 5 dx ;

 

 

 

 

 

б) cos3 x sin(2x)dx ;

 

 

в)

dx .

 

 

 

 

 

 

2

3. Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

25 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) (2x 11 )e5x dx ;

б) ( 3 x )cos (7x)dx ;

 

в) arcsin (3x)dx ;

г)

ln x

dx ;

 

 

 

 

 

д)

 

x sin

x

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2

 

 

 

dx ;

б)

 

 

5 3x

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+

 

 

 

 

7

+ 6x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24x + 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

 

а) 2x3 x2 7x + 12 dx ;

б)

 

5x 8

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( x 3 )( x + 1)

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

а) sin 4 x cos3 x dx ;

б) sin 4 (2x + 6)dx ;

 

 

в) tg 5 (3x 1)dx ;

г) sec4 (5x)dx ;

 

 

 

 

д)

 

 

dx

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

е) cos(4x)cos(3x)dx ;

 

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3sin x + 4 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

а) 3

 

 

 

 

2x

3

dx ;

б)

1 25x2 dx ;

 

 

 

 

 

в)

 

dx

; г)

x2 1 dx

.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

5x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4 + x2 )3

 

 

 

 

 

 

8. Разные интегралы

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x +17

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

3x 25

 

 

 

 

;

б)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

dx;

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x2 +1)( x 1) 2

 

4x2 10x + 1

1 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) cos ec4 ( 6x )dx ;

 

д) (7

 

x + 5 6 x5 )dx ;

е) ( 8 3x )cos (5x)dx ;

ж)

ln x

dx ;

 

 

 

 

 

з) 16x2 1 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

217

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 15

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

 

 

 

x

 

 

 

5

x

 

 

17 4 cos

3

x

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

dx .

 

5

 

1 +

 

x

3

dx ;

 

cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

а)

dx

;

 

 

 

 

б) sin 2 x cos x dx ;

 

 

x 10

 

 

 

 

 

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

а) (6x 7 )9 x dx ;

б) (4x 17 )sin(3x)dx ;

 

г)

ln x

dx ;

 

 

 

д) 2x sin(4x)dx .

 

 

5

 

 

 

 

 

 

7x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

а)

 

 

 

3x 18

 

dx ;

б)

15 6x

 

dx .

 

 

4x

2

2x

+ 5

x

2 + 2x + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

а)

3x5

14x3 11

 

б)

3x 22

 

x3 + x

dx ;

(x2 + 16)(x 2)

dx .

в) 3

2x + 16 dx .

 

 

x

25

 

 

 

 

5x

 

в) arcsin

 

dx ;

 

2

 

 

 

6. Интегрирование тригонометрических функций

а) sin 4 x cos 2

x dx ;

б) sin5 (2x 1)dx ;

 

в) tg 5 (x + 1 )dx ;

 

 

г) sec

4

(2x)dx ;

 

д)

 

dx

;

 

е) sin (8x)sin x dx ;

 

 

 

 

sin3 (27x)

 

 

 

 

ж)

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin(2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

а)

 

 

dx 4

;

б) 1 9x2 dx ;

в)

x2 dx

; г)

dx

.

 

2x 1

2x 1

 

 

 

 

 

 

(4 + x2 )5

x2 x2 169

8. Разные интегралы

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

а) x arctgx dx ;

 

б)

 

 

;

 

в) ln x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(25 + x2 )3

 

 

 

 

 

г) tg 5 x dx ;

 

д) cos3 (2x)dx ;

 

е)

x + 5

 

dx ;

 

 

3 4x 4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

ж) e2 x dx ;

 

з)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

5

+ 3cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

218

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 16

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

а) e

x

 

ex

б)

( 2 3x )2

 

 

+

 

 

 

 

 

dx .

1

x

2

dx ;

3x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

 

 

 

а) ctg ( 2x + 1)dx ;

б)

dx

;

в)

4 3x

dx .

 

x (1 + ln x )

 

5 x2

3.

Метод интегрирования по частям

 

в) arcsin (2x )dx ;

 

а) ( 2x + 5 )4 x dx ;

б) x2 sin x dx ;

 

 

г)

ln x

dx ;

д) e x cos ( 4x )dx .

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

8x

 

 

 

 

 

 

 

4. Интегрирование квадратичных полиномов

а)

 

 

4x 7

 

dx ;

б)

12 3x

dx .

1

+ 2x 4x

2

3 + 2x x2

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

а)

2x3 3x2 + 10

dx ;

б)

 

6x + 17

dx .

 

( x 2 )( x 4 )

 

x

+ 16x

 

6. Интегрирование тригонометрических функций

а) sin3 ( 2x )cos4 ( 2x )dx ;

б) sin6 ( 2x 9)dx ;

г) sec

4

 

 

x

 

д)

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

;

 

3

 

 

sin

3

( 2x 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

 

sin x

+ 2 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) tg 5 ( 3x + 4)dx ;

е) sin (5x)cos (7x)dx ;

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

а)

 

x3

 

dx ;

б)

1 16x2 dx ;

 

в)

 

 

dx

;

г)

x2 144 dx .

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1 + x2

 

 

 

 

 

 

8. Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

1 + ln x

 

 

б)

 

 

2 x

 

 

 

 

в)

 

dx

 

 

x

 

dx ;

 

9x2 + 6x + 13 dx ;

 

 

;

 

 

 

 

sin3 (4x)

г)

 

 

 

 

 

 

д) sin (2x)cos (3x)dx ;

 

е)

3

+ 1 dx ;

4 x2 dx ;

 

 

2x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

x

 

1

 

ж) x e

2 x

 

 

 

 

з)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

14x

 

+

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

219

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]