IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 7
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
|
|
11 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
−1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ |
3 |
x |
2 |
− |
|
x |
3 |
dx ; |
б) ∫ |
2 |
|
|
|
+ |
2 |
− 7 |
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) |
∫ cos (5x)dx ; |
|
|
|
б) ∫ x |
− |
1 |
|
x dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
1 |
+ |
1+ tg x |
dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 1+ tgx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) ∫ (5x − 2)e3x dx ; |
б) ∫ (4x − 2)cos (3x)dx ; |
|
в) ∫ x arctg (2x)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ ln (x − 1)dx ; |
|
|
|
д) ∫ 4 x cos (5 x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
7x + 5 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
3x − 8 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9 + 6x − 8x |
2 |
|
|
|
2x2 + 4x + 25 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
3x2 + |
6x + 1 |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
x3 − 1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x2 + 2)(x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
5x3 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin5 x cos4 x dx ; |
б) ∫ sin 4 (3x)dx ; |
в) ∫ ctg 3 (4x)dx ; г) ∫ cos ec4 x dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
д) ∫ |
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
е) ∫ cos(6x)cos(7x)dx; |
|
|
ж) ∫ |
|
dx |
|
. |
|
||||||||||||
|
sin3 (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos x − sin x |
|
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫ 3 |
x + 1 |
dx ; |
б) |
|
|
3x + 1 |
|
|
|
в) ∫ |
x2 |
dx |
; |
г) |
|
36 |
+ x2 |
|
x4
∫ ( 4 − x2 )3 dx ;
x2 − 4 dx
∫x4 .
8.Разные интегралы
а) ∫ x e3− 2 x 2 dx ;
г) ∫ 1 − sin3 x dx ; sin 2 x
ж) ∫ 5 − 9x dx ; x3
б)
д)
з)
∫ cos ec |
4 |
x |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
∫ ( 3x − 2 )cos ( 2x )dx ;
x
∫ cos 2 x dx .
в) ∫ |
|
|
3x − 7 |
|
dx ; |
||
1 |
− 16x − x |
2 |
|||||
|
|
|
|||||
е) ∫ |
|
|
x3 |
|
dx ; |
|
|
|
x |
3 |
27 |
|
|||
|
|
+ |
|
|
|
210
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 8
Вычислить неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
(x2 |
− 2x )2 |
|
dx ; |
|
|
б) ∫ ( 2 |
x+2 |
+ 5 tg x − 4 sin x ) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
sin ( x |
−1 ) |
dx ; |
|
|
б) ∫ x e |
− x 2 |
dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
x arctg x2 + x |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ ( 4x − 3 )e−2 x dx ; |
|
б) ∫ ( 5x + 17 )sin (4x)dx ; |
|
|
в) ∫ 7x arctg ( 5x )dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ x3 ln (3x + 2)dx ; |
|
|
д) ∫ 4x cos (7x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
5 − x |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
2 + 9x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6x |
2 |
+ 2x + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
2x2 − x + 8 |
|
|
б) ∫ |
|
|
3x3 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x ( x + 4 )(x − 2 ) |
|
( x2 + 1 )2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin 2 ( 2 x − 1 )cos 3 ( 2 x − 1 )dx ; б) ∫ sin 4 (3 − x)dx ; |
|
|
в) ∫ ctg 5 x dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ sec |
4 |
( 7x )dx ; |
|
|
|
д) ∫ |
|
dx |
; |
|
|
е) ∫ sin (9x)cos (2x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin3 (9x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
cos x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 + sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
7x |
− 5 |
dx |
; |
|
|
|
б) ∫ x |
2 |
25 − x |
2 |
dx ; |
в) ∫ 9 + x |
2 |
dx ; |
г) ∫ |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а)
г)
ж)
∫
∫
∫
|
dx |
|
; |
б) ∫ 4 arccos (5x)dx ; |
в) ∫ |
|
cos x dx |
; |
||
|
3 |
|
4x |
2 |
+ sin x + cos x |
|||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 dx |
|
д) ∫ |
2x |
е) ∫ x |
2 |
(1 + x |
2 |
) |
5 |
|
1 − 9x2 |
; |
( x + 2 )2 ( x2 + 16 ) dx ; |
|
|
|
dx ; |
||||
7 3 − 8x dx ; |
з) ∫ ctg 4 ( 7x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
211
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 9
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) ∫ |
|
|
2 |
− |
|
|
dx ; |
б) ∫ tg x + |
|
|
|
dx . |
1 |
+ x |
1 − x |
2 |
cos |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|||||||||
|
а) ∫ |
dx |
; |
|
|
б) ∫ x2 ex 3 dx ; |
|
|
||
|
1 − 2x |
|
|
|
|
|||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|||||||
|
а) ∫ (2 − x)e−3x dx ; |
б) ∫ x2 cos (5x)dx ; |
|
|||||||
|
г) ∫ ln (x2 + 4) dx ; |
д) ∫ x ctg 2 x dx . |
|
|||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|||||||||
|
а) ∫ |
|
x + 2 |
|
dx ; |
б) ∫ |
2x + 5 |
dx . |
||
|
5 |
+ 2x − 6x |
2 |
x2 + 8x |
− 25 |
|||||
|
|
|
|
|
|
в) ∫ 1 − 2 cos x dx . sin2 x
в) ∫ arctg( 2x + 1)dx ;
5. Метод интегрирования рациональных дробей
а) ∫ |
4x2 + 3x + 1 |
dx ; |
б) ∫ |
x3 + 8 |
dx . |
(x2 + 1)(x + 2)2 |
|
||||
x3 + 4x2 |
6. Интегрирование тригонометрических функций
а) ∫ sin 4 (2x)cos3 (2x )dx ; |
б) ∫ cos6 x dx ; |
|||||||||
г) ∫ sec |
4 |
(3x)dx ; |
|
д) ∫ |
|
dx |
|
; |
||
|
|
sin |
3 |
(7x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
1 + sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ tg 3 (5x)dx ;
е) ∫ sin (2x)sin (8x)dx ;
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫ 3 |
|
dx |
; |
б) ∫ |
x2 dx |
; |
|
|
в) ∫ |
x2 dx |
|
; |
г) ∫ |
x2 − 121 dx . |
|
|
3x + 1 − 1 |
|
25 − x2 |
|
|
|
|
( 49 + x2 )3 |
|
|
x |
||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) ∫ |
|
2 − 7x |
|
dx ; |
б) ∫ ln2 x dx ; |
|
|
|
в) ∫ ( x + 6 )5− x dx ; |
||||||
|
x2 − 8x + 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) ∫ ctg 5 x dx ; |
|
|
д) ∫ |
4x2 − 1 dx |
; |
|
|
е) ∫ 6 sin x dx ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x−1 |
5 |
|
4 |
|
|
|
ж) ∫ cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x dx |
; |
|
з) |
∫ |
3 |
|
− 7(1+ x2 ) + |
2 |
− 5 |
dx . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
212
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 10
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) ∫ (2e |
+ 4x |
|
|
x |
)dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 + x |
2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Метод замены переменной интегрирования |
|
в) ∫ arcsin7 x + 8 dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ e3x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
7x5 |
|
dx ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
||||||
3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
в) ∫ arctg ( x )dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ x 2 x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ x2 cos x dx ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
г) ∫ (x + 1)2 ln (x + 1) dx ; |
|
д) ∫ ex sin (6x)dx . |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
x + 10 |
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
8x |
− 11 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4x |
2 |
− 4x |
|
− 5 |
|
|
|
|
|
5 + 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
5x − 2 |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
x5 + x |
− 1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
3 |
+ |
2x |
2 |
+ x |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ sin3 (5x)cos4 (5x)dx ; |
|
б) ∫ cos6 (8x)dx ; |
|
|
в) ∫ tg −3 x dx ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
(10x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ sin (3x)cos (6x)dx ; |
||||||||||||||||
г) ∫ sec |
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin4 (7x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ж) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 + cos(4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) ∫ x |
2 |
64 − x |
2 |
dx ; |
|
|
в) ∫ |
|
x2 dx |
; |
г) ∫ |
x2 − 144 dx |
. |
|||||||||||
3 x2 − 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
(16 + x2 )3 |
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 + 2x2 )2 |
|
||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
11x + 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ cos |
6 |
( 3 − 5x )dx ; |
|
в) ∫ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||
7 − 2x − x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − |
5x2 + 3x |
|
|
|
2 x3 − 7x |
|
|
|
|||||||||||||||||
г) ∫ |
3 x + 1 dx ; |
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
2 |
( x3 + 1 ) |
|
dx ; |
|
е) ∫ |
16 − x2 |
dx ; |
|||||||||||||||||||||
ж) ∫ |
arcsin x dx ; |
|
|
|
|
|
|
з) ∫ sin (7x)sin (3x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
213
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 11
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
б) ∫ sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7 − 5x − |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ |
3 |
x |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
3x |
+ 2 |
dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
5 − 2cos x |
dx . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
− x2 |
|
|
|
|
6sin |
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ arctg( |
3x −17)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ (2x + 5)e3x dx ; |
|
б) ∫ (3x − 4)cos (2x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ ln (x − 53 ) |
dx ; |
|
д) ∫ 2x sin x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x − 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
x + 11 |
|
|
|
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
4 − x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7 |
− 6x − 2x |
2 |
|
5 |
− 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
x3 + 4x |
2 − 5x − 7 |
|
б) ∫ |
|
2x3 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(x2 + 9)(x − 4)2 |
dx ; |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6. Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ sin5 (2x)cos3 (2x )dx ; |
б) ∫ cos4 (8x)dx ; |
|
в) ∫ tg 5 x dx ; |
г) ∫ cos ec4 x dx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
е) ∫ cos(7x)cos(9x)dx ; |
|
|
|
ж) ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
sin3 (11x) |
|
|
|
|
|
|
|
2 + sin x + cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
x dx |
; |
|
|
|
|
|
б) ∫ |
x2 dx |
; |
|
|
|
в) ∫ |
2x2 dx |
; |
г) ∫ |
|
x2 − 1 dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
(16 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
( 4 + x2 )3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) ∫ ( 7 − 6x )cos ( 3x )dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos 3 (3 − 4 x ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ cos ec4 ( x + 7 )dx ; |
|
|
|
|
|
12 − 17x |
|
|
|
|||||||||||||||
г) ∫ x− 2 9 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 8x + 1 |
|
|
|
|||
ж) ∫ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
+ 5x |
2 dx ; |
|
|
|
|
|
1 − 7 sin x + |
|
5 sin |
2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
214
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 12
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
а) ∫ |
5 − 7 |
x |
dx ; |
б) ∫ |
3 − 2 ctg |
2 x |
dx . |
|||
x |
2 |
|
cos |
2 |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Метод замены переменной интегрирования
а) ∫ tg (3x + 2 )dx ; |
б) ∫ |
sin |
x |
dx ; |
||
cos |
3 |
|||||
|
|
|
|
x |
||
3. Метод интегрирования по частям |
||||||
а) ∫ (5x − 4)2 x dx ; |
б) ∫ (3x − 2)sin(2x)dx ; |
|||||
г) ∫ |
ln (7x − 2) |
dx ; |
д) ∫ e4 x cos (6x) dx . |
|||
2 |
||||||
|
(7x − 2) |
|
|
|
|
4. Интегрирование квадратичных полиномов
а) ∫ |
|
|
2x − 9 |
|
dx ; |
б) ∫ |
3x + 4 |
dx . |
x |
2 |
+ 2x − 11 |
2x2 − 6x + 1 |
|||||
|
|
|
|
|
5. Метод интегрирования рациональных дробей
а) ∫ |
2x3 − 40x − 9 |
б) ∫ |
5x − 3 |
||
|
dx ; |
(x2 + 1)x |
dx . |
||
x (x + 4)(x − 2) |
в) ∫ |
3x − 5 |
dx . |
|
1 + x2 |
|
в) ∫ arctg( |
3x + 4)dx; |
6. Интегрирование тригонометрических функций
а) ∫ sin 2 (9x)cos3 (9x)dx ; |
б) ∫ sin 4 (7x)dx ; |
|
|
в) ∫ tg 3 (5x − 1) dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ sec |
6 |
x dx ; |
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
е) ∫ sin (6x)cos (9x)dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
sin3 (5x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ж) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 + cos (2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) ∫ 3 |
|
x |
|
dx ; |
б) ∫ |
16 − x2 dx ; |
|
|
|
|
в) ∫ |
dx |
; |
г) ∫ |
|
x2 − 25 dx |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x2 ) |
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) ∫ ln ( x |
2 |
+ 1 ) dx |
; |
б) ∫ sin |
8 |
x cos |
3 |
x dx ; |
|
в) ∫ |
+ 8 x |
dx ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 + x |
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
cos ( |
2x ) |
|
|
|
|
|
|
|
( 1 |
− x )dx ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
г) ∫ |
dx ; |
|
д) ∫ tg |
5 |
|
|
е) ∫ x |
2 |
7 |
x −1 |
dx |
; |
|
|||||||||||||||||||
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ж) ∫ |
|
x2 dx |
|
; |
|
з) ∫ |
|
23x2 |
+ 4 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( x |
− 4 ) |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 + 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
215
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 13
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
а) ∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
б) ∫ |
(1 + 2x)3 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
sin |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x cos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
e2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||
|
3x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 4 x |
|
|
|
4 + e4 x |
|||||||||||||||||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ arctg( 7x + 3) dx; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ ( x − 2 )e3x dx ; |
|
|
|
б) ∫ (2x + 5)cos (7x)dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ 3x cos x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
3x + 7 |
|
|
|
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
4x − 3 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
− 14x + |
1 |
|
|
|
12x2 − x + 18 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
x2 + 9x − 12 |
|
dx |
; |
б) ∫ |
5x3 + 6 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
(x − |
2 |
(x |
2 |
+ |
9) |
x |
3 |
+ 8x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin6 (7x)cos5 (7x)dx ; |
б) ∫ cos6 (6x)dx ; |
|
|
|
в) ∫ ctg 3 (5x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ sec |
4 |
(11x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
е) ∫sin (8x)sin (12x)dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 (14x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 + 5 cos x + 8sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
∫ |
|
2x + 5 |
|
dx ; |
|
б) ∫ x2 |
36 − x2 dx ; |
|
|
|
|
в) |
∫ |
dx |
; |
г) |
∫ |
x2 − 49 dx . |
||||||||||||||||||
|
|
|
x − 2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9 + x2 )3 |
|
|
x4 |
|
|||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
x3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin (5x)sin (7x)dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
dx ; |
|
|
|
в) ∫ ( 7x + 3 )5x dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
г) ∫ 3 |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ sin6 ( 2x + 3 )dx ; |
|
е) ∫ 95x − 7 dx ; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
dx |
; |
з) ∫ |
|
5sin x + 3cos x |
||||
|
|
|
4 − 7x |
dx . |
|
5 + 4x − x2 |
||
|
216
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 14
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
|
cos (2 x ) |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
(4 + 3 |
|
|
|
x |
)2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
sin |
|
2 |
x cos |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. Метод замены переменной интегрирования |
|
|
1 + x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ e2 x − 5 dx ; |
|
|
|
|
|
б) ∫ cos3 x sin(2x)dx ; |
|
|
в) ∫ |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
25 + x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ (2x − 11 )e5x dx ; |
б) ∫ ( 3 − x )cos (7x)dx ; |
|
в) ∫ arcsin (3x)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
x sin |
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
5 − 3x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
2 |
|
+ |
|
|
|
|
7 |
+ 6x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24x + 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ 2x3 − x2 − 7x + 12 dx ; |
б) ∫ |
|
5x − 8 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x ( x − 3 )( x + 1) |
|
|
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6. Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ sin 4 x cos3 x dx ; |
б) ∫ sin 4 (2x + 6)dx ; |
|
|
в) ∫ tg 5 (3x − 1)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ sec4 (5x)dx ; |
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
е) ∫ cos(4x)cos(3x)dx ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3sin x + 4 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ 3 |
|
|
|
|
2x |
3 |
dx ; |
б) ∫ |
1 − 25x2 dx ; |
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
dx |
; г) ∫ |
x2 − 1 dx |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 + x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Разные интегралы |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +17 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
3x − 25 |
|
|
|
|
; |
б) ∫ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
dx; |
|
||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x2 +1)( x −1) 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
4x2 − 10x + 1 |
1 − 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ cos ec4 ( 6x )dx ; |
|
д) ∫ (7 |
|
x + 5 6 x5 )dx ; |
е) ∫ ( 8 − 3x )cos (5x)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
|
|
з) ∫ 16x2 − 1 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
217
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 15
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
|
x |
|
|
|
5 |
− x |
|
|
17 − 4 cos |
3 |
x |
|
||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
dx . |
|||||||
|
5 |
|
1 + |
|
x |
3 |
dx ; |
|
cos |
2 |
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
dx |
; |
|
|
|
|
б) ∫ sin 2 x cos x dx ; |
|
||||||||||
|
x − 10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ (6x − 7 )9 x dx ; |
б) ∫ (4x − 17 )sin(3x)dx ; |
|||||||||||||||||
|
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
д) ∫ 2x sin(4x)dx . |
|
|||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
3x − 18 |
|
dx ; |
б) ∫ |
15 − 6x |
|
dx . |
||||||||
|
|
4x |
2 |
− 2x |
+ 5 |
x |
2 + 2x + 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Метод интегрирования рациональных дробей
а) ∫ |
3x5 |
− 14x3 − 11 |
|
б) ∫ |
3x − 22 |
|
|
x3 + x |
dx ; |
(x2 + 16)(x − 2) |
dx . |
в) ∫ 3 |
2x + 16 dx . |
|
|
x |
− 25 |
|
|
|
|
5x |
|
|
в) ∫ arcsin |
|
dx ; |
|
2 |
||
|
|
|
6. Интегрирование тригонометрических функций
а) ∫ sin 4 x cos 2 |
x dx ; |
б) ∫ sin5 (2x − 1)dx ; |
|
в) ∫ tg 5 (x + 1 )dx ; |
|
|
||||||||||
г) ∫ sec |
4 |
(2x)dx ; |
|
д) ∫ |
|
dx |
; |
|
е) ∫ sin (8x)sin x dx ; |
|
|
|||||
|
|
sin3 (27x) |
|
|
|
|
||||||||||
ж) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 − sin(2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|||||||||||||
а) ∫ |
|
|
dx 4 |
; |
б) ∫ 1 − 9x2 dx ; |
в) ∫ |
x2 dx |
; г) ∫ |
dx |
. |
||||||
|
2x − 1 − |
2x − 1 |
|
|
|
|
|
|
(4 + x2 )5 |
x2 x2 − 169 |
||||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
а) ∫ x arctgx dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
; |
|
в) ∫ ln x dx ; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25 + x2 )3 |
|
|
|
|
|
||
г) ∫ tg 5 x dx ; |
|
д) ∫ cos3 (2x)dx ; |
|
е) ∫ |
x + 5 |
|
dx ; |
|||||||||
|
|
3 − 4x − 4x |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
ж) ∫ e2 x dx ; |
|
з) ∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
+ 3cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
218
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 16
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
а) ∫ e |
x |
|
e− x |
б) ∫ |
( 2 − 3x )2 |
|
|||
|
+ |
|
|
|
|
|
dx . |
||
1 |
x |
2 |
dx ; |
3x |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
||||||
|
а) ∫ ctg ( 2x + 1)dx ; |
б) ∫ |
dx |
; |
в) ∫ |
4 − 3x |
dx . |
|||
|
x (1 + ln x ) |
|
5 − x2 |
|||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
в) ∫ arcsin (2x )dx ; |
|||||||
|
а) ∫ ( 2x + 5 )4 x dx ; |
б) ∫ x2 sin x dx ; |
|
|||||||
|
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
д) ∫ e x cos ( 4x )dx . |
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
4. Интегрирование квадратичных полиномов
а) ∫ |
|
|
4x − 7 |
|
dx ; |
б) ∫ |
12 − 3x |
dx . |
1 |
+ 2x − 4x |
2 |
3 + 2x − x2 |
|||||
|
|
|
|
|
5. Метод интегрирования рациональных дробей
а) ∫ |
2x3 − 3x2 + 10 |
dx ; |
б) ∫ |
|
6x + 17 |
dx . |
|
( x − 2 )( x − 4 ) |
|
x |
+ 16x |
|
6. Интегрирование тригонометрических функций
а) ∫ sin3 ( 2x )cos4 ( 2x )dx ; |
б) ∫ sin6 ( 2x − 9)dx ; |
|||||||||||||
г) ∫ sec |
4 |
|
|
x |
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
; |
|||
|
3 |
|
|
sin |
3 |
( 2x − 1 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ж) ∫ |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
sin x |
+ 2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ tg 5 ( 3x + 4)dx ;
е) ∫ sin (5x)cos (7x)dx ;
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫ |
|
x3 |
|
dx ; |
б) ∫ |
1 − 16x2 dx ; |
|
в) ∫ |
|
|
dx |
; |
г) ∫ |
x2 − 144 dx . |
|||||||
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) ∫ |
1 + ln x |
|
|
б) ∫ |
|
|
2 − x |
|
|
|
|
в) ∫ |
|
dx |
|
||||||
|
x |
|
dx ; |
|
9x2 + 6x + 13 dx ; |
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
sin3 (4x) |
|||||||||||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
д) ∫ sin (2x)cos (3x)dx ; |
|
е) ∫ |
3 |
+ 1 dx ; |
||||||||||
4 − x2 dx ; |
|
|
2x3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
− 1 |
|
ж) ∫ x e |
2 x |
|
|
|
|
з) ∫ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx ; |
|
|
14x |
|
+ |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
219