Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:

 

 

 

 

– с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x + x y = − ( y + x y ) y;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x 6 + y 2 dx + y 5 + x 2 dy = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– однородные

 

 

в)

2 y

 

 

x = y , y(4) = 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x2 + y 2 = 2 x y y;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

=

 

3y3 + 2 y x 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y 2 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

в)

y +

 

 

 

x2 + y 2 x y′ = 0 , y(1) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

ycos x y sin x = sin (2x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y′ −

 

2x 5

y = 5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) t 2

= 2 t s 3 , s (1) = 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: 3( x y′ + y ) = y 2 ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

 

 

– допускающие понижение порядка

π

 

 

ln 2

 

π

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

а) 2 y y′′ = ( y)

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′′ =

 

 

, y

4

=

 

 

 

,

y

4

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

2

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y′′ − 2 y = x ex + sin (2x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′′ + 2 y′ = 4 e x + (x2 + 1) ;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

′′

+ 4 y = sin(2x) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1, y(0) =

4

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0) = 0 ;

 

 

 

 

 

г)

y

′′

+ y

= x

3

x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = 0 , y (0) = 1;

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

π

 

 

π

 

 

3π

 

 

 

а) y′′ + y = ctgx ;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

,

 

 

 

 

 

 

.

 

 

y′′ +

9 y =

 

 

 

y 6 = 4,

y6

=

 

 

 

sin(3x)

 

2

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

а) x& = 2 y x ;

 

б)

x& = x + 9 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x 4 y

 

 

 

y = 3y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

260

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7

 

 

I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:

 

 

– с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

tg x sin 2 y dx + cos2 x ctg y dy = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

y

 

 

1 y 2 + 1 = 0 ;

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

– однородные

в)

(1 + e x ) y y′ = e x ,

y(0) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y

=

2 +

4

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

– линейные

(x 2 3y 2 ) dx + 2 x dy = 0 , y(2) = 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

 

 

 

= x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

x + 1 = e (x + 1) ;

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

в)

t

d s

 

+ s et

= 0 ,

s (0) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: 2 y′ + y cos x =

(1 + sin x ) cos x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

а) x y′′ + y′ = 0 ;

б)

y′′ y

 

 

= 1,

 

 

y

 

 

 

= y

 

= 1 ;

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′′ + y′ − 6 y = x e2 x + x 2 ;

 

 

 

 

 

б) y′′ − y′ = 2 ch (2x) ;

 

 

 

 

 

в)

y

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4 y = sin x , y(0) = y (0) = 1;

 

 

 

 

 

г)

y

′′

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

4 y

+ 4 y = cos (2x) + x , y(0) = y (0)

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

а) y

′′

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

+ y = tg x ;

б)

y

+ y' =

 

2 + ex ,

 

 

 

= ln 9 1.

 

 

 

y(0) = ln 27 , y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

а) x& = 4x + y ;

б) x& = x 8 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + 5 y

 

y = 4x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

261

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 8

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 2 x y′ + y 2 = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y (4 + e x ) dy e x dx = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

– однородные

 

 

 

в)

(1 x ) dy y dx = 0 , y(0) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

= y ln x + y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y

 

 

 

x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

 

 

(x 2 3y 2 ) dx + 2x y dy = 0 ,

y(2) = 4 ;

 

 

 

 

 

 

а)

x y′ + y = x sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

yctgx y = 2 cos2 x ctg x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

d s

 

 

 

1

= 0 ,

 

s (1) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

s e t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли:

y′ + 4 x3 y = 4 y 2 e x 4 (1 x3 ) .

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x y

′′

y

 

2

e

x

;

б)

y

′′

y

5

+ 2 = 0 ,

 

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

 

 

 

y(0) = y (0)

 

 

 

 

 

 

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 4 y′′ − y = ( x3 24x ) + e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′′ − 5 y′ = 2 ch (5x) (

chα =

eα + eα

 

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

y

′′

3 y

= x

+ cos x

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; y(0) = 0, y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

x y

′′

y

= x у

2

e

x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0) = 1;

 

 

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

π

 

π

 

 

 

 

 

 

а) y′′ + y = cos ec x ;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

,

 

 

= 2π .

y′′ + 16 y =

 

y 8 = 3, y8

sin 4x

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

а) x& = y x

;

 

 

 

б)

x& = x + 6 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = y 4x

 

 

 

 

 

y = x 3y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

262

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 9

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

а)

dx

 

+ dy

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 2 x dx 2 y dy = x2 y dy 2 x y 2 dx ;

 

 

 

 

– однородные

 

 

 

 

в) y′ = y cos x ,

 

y(0) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

= −

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

y

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

′ =

 

 

 

 

 

+

6

 

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

 

 

(x 2 + y 2 ) dx 2 x y dy = 0 ,

y(1) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ( x2 1) y′ − x y = x3 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y

 

2

y = x

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

d s

 

 

 

2 s

 

1 t = 0 , s (0) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: 3 y′ + 2 x y = 2 x y 2 e2 x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

2

; б)

y

′′′

(x 1) y

′′

= 0 , y(2) = 2 ,

 

 

 

 

′′

= 1;

а) y

(1 + y ) = 5 ( y )

 

 

 

 

y (2) = 1 ,

y (2)

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′′ − 4 y′ + 4 y = e3 x + x2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y′′ + 9 y = −36 sin(3x) 18 e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

y

′′

 

+ 4 y = 8 cos (2x) ,

 

 

 

 

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y

′′

y

= x

2

+ 1 ,

y(0) =

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)

 

 

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 2

 

а) y′′

 

2

 

2 x

; б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

π 2

,

1

 

 

1

 

 

.

2 y′ = 4 x

 

e

 

 

y′′ + π

 

 

y =

 

 

 

 

 

y

 

 

= 1,

y

 

 

=

 

 

 

 

 

 

sin(π x)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

а) x& = 3x 5 y ;

 

 

 

б) x& = x + 2 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2x 3y

 

 

 

 

 

y = 2x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

263

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 10

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

а) y

 

=

 

y 1

 

 

 

 

 

 

x + 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) (e x + 2) dy y 2 e x dx = 0 ;

в) x dy y dx = 0 ,

 

y(1) = 1;

– однородные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

а) x y

 

 

 

 

 

= y cos ln

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

б) x y′ = 4 x2 + y 2 + y ;

в) ( y 2 3x 2 ) dy + 2 x y dx = 0 , y(1) = 2 ;

– линейные

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

а)

y

 

 

 

 

 

 

 

+ y = e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

2 x y

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2 = 1 + x ;

y

в)

d s

+ s tg t =

 

1

 

, s (0) = 1;

d t

cos t

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли:

2 x y′ − 3y = − ( 5 x2 + 3) y3 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а)

 

2

( y)

2

; б) y′′ −

y

y

y′′ +

 

= 0

 

1

+ ln

 

 

 

 

 

 

1 y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

= 0 , y(1)

 

1

,

= e ;

 

=

 

y (1)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– со специальной правой частью

а) y′′ + 4 y′ + 4 y = 25sin x + e2 x ;

 

 

б) y′′ − 4 y′ = 16 sh (4x) (

shα =

eα eα

 

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

в)

y

′′

y

= 9 x e

2 x

,

y(0) = 0,

= − 5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)

 

 

 

 

 

 

 

г)

y

′′

+ 9 y = sin(3x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0) = 1;

 

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

π

 

 

π

 

 

а) y′′ + 4 y′ + 4 y = e

2 x

ln x ;

 

 

б)

y′′ + 4 y = 8 ctg (2x) ,

 

= 4 .

 

 

 

y

= 5,

y

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

 

а) x& = x + y ;

 

б)

x& = 2x + 7 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = y x

 

 

y = x 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

264

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 11

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

а) ( x y 2 + x ) dx + ( y 2 x2 y 2 ) dy = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ( 4 + e2 x ) y y′ = e 2 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– однородные

 

в)

(1 + y 2 ) dx x y dy = 0 , y(2) = 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

 

 

+ tg

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

x 2 + 2 x y y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

 

 

2x 2 2 x y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

в)

( x2 + y 2 ) dx 2 x y dy = 0 ,

y(4) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

а)

y 'y ctg x = 2 x sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

+ 1 y = e ( x + 1) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

t

d s

 

t 2 = 2s ,

 

s (1) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: 3 x y′ + 5 y = ( 4 x 5 ) y 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

′′

2

 

б)

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

,

 

 

1

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= 2

+ ln x

y(1) =

 

 

 

 

 

= ( y )

;

 

y (1 + ln x ) +

 

 

2 , y (1)

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′′ − 7 y′ + 10 y = e2 x + x2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y′′ + 2 y′ + 5 y = 2 sin x + x e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

y

′′

+ y

= 2 sin x 6 cos x ,

 

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y

′′

2 y

= e

2 x

 

1, y(0) =

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0) = 1;

 

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

а) y′′ − 2 y′ + y =

e x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

y′′

+ y = 4 ctg x ,

y

= 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

2

 

 

 

 

 

4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

 

а) x& = 2x y ;

 

б)

x& = y 3x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4 y 5x

 

 

y = 9x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

265

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 12

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

а) ( x y x )dy + y dx = 0 ;

б) 4 x2 y′ + x y 2 + x = 0 ;

– однородные

 

 

 

в)

2

 

 

 

x y dx = dy ,

 

y(1) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= x (1 + ln y ln x ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x y′ = 3 x 2 + y 2 + y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

 

в)

 

y

= y + x ,

y(1) = 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′ + y = x y3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

d s

 

= t + 2s ,

s (0) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: 2 y′ + 2 y = x y 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ 1 = y y

′′

;

 

б)

 

2 y

y

′′

+ y

2

 

 

2

= 0

, y(1) =

;

 

 

 

а) ( y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y )

 

0 , y (1) = 1

 

 

 

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′′ − 8 y′ + 7 y = 14 + x e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

y′′ − 5 y′ = sin x + x2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

y

′′

+ 9 y = −18sin(3x)

18 e

3 x

,

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

y

′′

 

 

 

 

 

 

+ 4 y = sin(2x) + 2 ,

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4 y

 

y(0) = y (0)

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

′′

 

 

= ch (2x)

 

chα =

eα + eα

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

4 e2 x

 

 

y

(

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

);

б)

y

+ 8 y = 2 + e2 x ,

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 6 y

 

y(0) = y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

а) x& = 2 y 3x ;

 

 

 

б) x& = 4x 2 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x + 6 y

 

 

 

 

 

y = x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

266

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 13

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

а) y y′ + x + 1 = 0 ;

 

 

 

 

б)

yx ln x = y ;

π

 

 

в)

ysin x y ln y = 0 ,

= e ;

y

2

 

 

 

 

 

 

– однородные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

= e

 

 

+ x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

2 y

= x2 + 8 x + 8 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

 

 

в)

x dy y dx =

 

 

 

x2 + y 2 dx ,

y(2) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

а) 2 x y′ − 3y = − 20 x2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

x

 

= − x3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

d s

 

s = et ,

 

s (0) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли:

 

y′ + y = x

 

 

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y y

′′

= y

2

y

2

; б)

(1 + x

2

) y

′′

2 x y

= 0 ,

 

 

 

 

= 3 ;

 

 

 

 

 

+ ( y )

 

 

 

 

 

 

y(0) = 0 , y (0)

 

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′′ − y′ + y = x3 + 6 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

y′′ + y′ = 2 shx + 3

(

shα

=

eα eα

 

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′ + y = 2 cos (7x) 3

sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y

′′

 

 

 

 

 

 

+ 4 y

 

= cos (2x) + e

2 x

, y(0)

 

 

= 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

 

 

= y (0)

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

= 2 sh(2x)

 

 

shα =

eα eα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

9e 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

4y

(

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

);

 

б) y

 

+ 3y

= 1+ e 3x ,

y(0) = ln4 ,

 

 

 

ln 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0) = 3(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

&

 

= 9x + 3y ;

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x&

 

 

 

б)

 

x&

= 6x y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

= x y

 

 

 

 

 

 

y

= 2x + 4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

267

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 14

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

а)

tg y dx + tg x dy = 0 ;

б) (1 + e 2 x ) y y′ = e 2 x ;

в)

y (1 + x2 ) y′ = x (1 + y 2 ) , y(1) = 1;

– однородные

а) ( 6x + y ) dx + ( 4 y + x ) dy = 0 ;

 

 

 

 

 

x 2 + 3 y x y 2

 

 

б)

y

=

 

 

 

3 x2 2 x y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

в)

y

= x

y , y(1) = 1;

 

 

 

– линейные

y′ = a sin x + by ;

 

а)

 

б) y′ + x y = 3 x3 ;

 

в)

d s

+

 

 

s

 

+ x 2 = 0 , s (0) = 0

;

d t

1 + t

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: x y′ + y = x y 2 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y y

′′

 

2

= 0

;

 

б)

x y

′′

, y(1) = 0 ,

 

 

 

 

+ ( y )

 

 

 

 

= y

 

y (1) = 1;

 

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′′ − 7 y′ + 12 y = e3 x + 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′′ − 6 y′ + 9 y = 3 x e 2 x + e 3 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

y′′ + 4 y′ = − 8sin(2x) + 32 cos (2x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y′′ +

 

π

 

π

 

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin x , y

 

= y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

а) y′′ − y = 2 sh x (

shα =

eα eα

 

);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 8y = 2

+ e2 x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y

6y

y(0) = 1+ 3ln3, y (0) = 10ln3.

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = x 2 y ;

б)

x& = 4x 3y .

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 3x + y

 

 

 

 

 

 

 

y = x 7 y

 

 

 

 

268

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 15

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

а)

 

y

dy

 

 

= 1;

e

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

б) x dx y dy = y x2 dy x y 2 dx ;

в)

( 2 x + 1) dy + y 2 dx = 0 , y(0) = 1;

– однородные

а) ( x y y)dx + x dy = 0 ;

б)

y ' =

y 2

+ 8

y

+ 12 ;

x 2

x

 

 

 

 

в)

( y 2 9 x2 )dx + 2 x y dy = 0 , y(1) = 1;

– линейные

а) y ' + 2 x y = − 2 x3 ;

б)

y ' y cos x = − sin (2x) ;

в)

d s

 

2 s t

= 1, s (0) = 2 ;

 

 

 

 

d t

1 + t 2

– уравнение Бернулли:

y ' +

2 y

= 2 y .

 

 

 

 

 

x

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а)

y '' = −

x

;

б) y y ''+( y ')2 = 2 , y(0) = y '(0) = 1 ;

y'

 

 

 

 

– со специальной правой часть

а) y ''+ y ' = ( x2 + 4)+ e x ;

 

б)

y ''4 y '+8 y = 5sin x 3cos x ;

в)

y ''+ y = 2 e x

+ cos x ;

 

г)

y ''4 y ' + 4 y = sin x + e2 x , y(0) =

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

а) y ''+ y = x cos2 x ; б)

y ''+

 

y

=

 

 

1

 

 

 

, y(0) = 2 ,

π

2

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y '(0) = 1 ;

y '(0) = 0 .

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 5 y 2x ;

б) x& = x + 7 y .

&

&

y = y 10x

y = 6x + y

269

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]