IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I. Решить дифференциальные уравнения I порядка: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
– с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
а) x + x y = − ( y + x y ) y′ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
б) x 6 + y 2 dx + y 5 + x 2 dy = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
в) |
2 y′ |
|
|
x = y , y(4) = 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
а) x2 + y 2 = 2 x y y′ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
|
′ |
= |
|
3y3 + 2 y x 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 y 2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
– линейные |
|
|
в) |
y + |
|
|
|
x2 + y 2 − x y′ = 0 , y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
а) |
y′ cos x − y sin x = sin (2x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
y′ − |
|
2x − 5 |
y = 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
в) t 2 |
= 2 t s − 3 , s (−1) = 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
– уравнение Бернулли: 3( x y′ + y ) = y 2 ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
π |
|
|
ln 2 |
|
π |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
а) 2 y y′′ = ( y′ ) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y′′ = |
|
|
, y |
4 |
= |
|
|
|
, |
y′ |
4 |
= 1; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
2 |
|||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
а) |
y′′ − 2 y = x e− x + sin (2x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
б) y′′ + 2 y′ = 4 e x + (x2 + 1) ; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
|
′′ |
+ 4 y = sin(2x) + |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y |
1, y(0) = |
4 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y (0) = 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
г) |
y |
′′ |
+ y |
′ |
= x |
3 |
− x , |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 0 , y (0) = 1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
3π |
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) y′′ + y = ctgx ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
y′′ + |
9 y = |
|
|
|
y 6 = 4, |
y′ 6 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
sin(3x) |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 2 y − x ; |
|
б) |
x& = x + 9 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
& |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x − 4 y |
|
|
|
y = 3y − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
260
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
||||||||||||||||||
I. Решить дифференциальные уравнения I порядка: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
– с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
tg x sin 2 y dx + cos2 x ctg y dy = 0 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
б) |
|
|
y |
|
|
1 − y 2 + 1 = 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– однородные |
в) |
(1 + e x ) y y′ = e x , |
y(0) = 1; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
а) |
y |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
′ |
|
x − 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
б) |
y′ |
= |
2 + |
4 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
– линейные |
(x 2 − 3y 2 ) dx + 2 x dy = 0 , y(2) = 4 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а) |
y |
′ |
|
|
|
= x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
− x + 1 = e (x + 1) ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
t |
d s |
|
+ s − et |
= 0 , |
s (0) = 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение Бернулли: 2 y′ + y cos x = |
(1 + sin x ) cos x |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||||||
а) x y′′ + y′ = 0 ; |
б) |
y′′ y |
|
|
= 1, |
|
|
y |
|
|
|
= y′ |
|
= 1 ; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) y′′ + y′ − 6 y = x e2 x + x 2 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) y′′ − y′ = 2 ch (2x) ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||
|
|
|
|
+ 4 y = sin x , y(0) = y (0) = 1; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
г) |
y |
′′ |
+ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
4 y |
+ 4 y = cos (2x) + x , y(0) = y (0) |
|||||||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) y |
′′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e− x |
|
|
|
|
′ |
|
|
||||||||
+ y = tg x ; |
б) |
y |
+ y' = |
|
2 + e− x , |
|
|
|
= ln 9 − 1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
y(0) = ln 27 , y (0) |
||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 4x + y ; |
б) x& = x − 8 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x + 5 y |
|
y = 4x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
261
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 8
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 2 x y′ + y 2 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y (4 + e x ) dy − e x dx = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
|
в) |
(1 − x ) dy − y dx = 0 , y(0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
= y ln x + y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= x − y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– линейные |
|
|
|
|
(x 2 − 3y 2 ) dx + 2x y dy = 0 , |
y(2) = 4 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) |
x y′ + y = x sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y′ ctgx − y = 2 cos2 x ctg x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
d s |
|
|
|
1 |
= 0 , |
|
s (1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
− s − e t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение Бернулли: |
y′ + 4 x3 y = 4 y 2 e x 4 (1 − x3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) x y |
′′ |
− y |
′ |
|
2 |
e |
x |
; |
б) |
y |
′′ |
y |
5 |
+ 2 = 0 , |
|
|
|
|
′ |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= x |
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 4 y′′ − y = ( x3 − 24x ) + e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y′′ − 5 y′ = 2 ch (5x) ( |
chα = |
eα + e−α |
|
); |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y |
′′ |
− 3 y |
′ |
= x |
+ cos x |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
9 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; y(0) = 0, y (0) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
x y |
′′ |
− y |
′ |
= x у |
2 |
e |
x |
, |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) y′′ + y = cos ec x ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
, |
|
|
= 2π . |
||||||||||||||||||
y′′ + 16 y = |
|
y 8 = 3, y′ 8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 4x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = y − x |
; |
|
|
|
б) |
x& = x + 6 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y − 4x |
|
|
|
|
|
y = x − 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
262
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 9
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
а) |
dx |
|
+ dy |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
б) 2 x dx − 2 y dy = x2 y dy − 2 x y 2 dx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
|
|
в) y′ = y cos x , |
|
y(0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
а) |
y |
′ |
= − |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
y |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 y |
′ = |
|
|
|
|
|
+ |
6 |
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– линейные |
|
|
|
|
(x 2 + y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 , |
y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) ( x2 − 1) y′ − x y = x3 − x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
′ |
|
2 |
y = x |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
d s |
− |
|
|
|
2 s |
|
− 1 − t = 0 , s (0) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− t 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
– уравнение Бернулли: 3 y′ + 2 x y = 2 x y − 2 e− 2 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
|
′ |
2 |
; б) |
y |
′′′ |
(x − 1) − y |
′′ |
= 0 , y(2) = 2 , |
′ |
|
|
|
|
′′ |
= 1; |
|||||||||||||||||||
а) y |
(1 + y ) = 5 ( y ) |
|
|
|
|
y (2) = 1 , |
y (2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а) y′′ − 4 y′ + 4 y = e3 x + x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
y′′ + 9 y = −36 sin(3x) − 18 e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в) |
y |
′′ |
|
+ 4 y = 8 cos (2x) , |
|
|
|
|
′ |
= 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
− y |
′ |
= x |
2 |
+ 1 , |
y(0) = |
′ |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
а) y′′ |
|
2 |
|
2 x |
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π 2 |
, |
1 |
|
|
1 |
|
|
. |
||||||||
− 2 y′ = 4 x |
|
e |
|
|
y′′ + π |
|
|
y = |
|
|
|
|
|
y |
|
|
= 1, |
y′ |
|
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin(π x) |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 3x − 5 y ; |
|
|
|
б) x& = x + 2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = 2x − 3y |
|
|
|
|
|
y = 2x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
263
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 10
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) y |
|
= |
|
y − 1 |
|
|
|
|
|
||||||
′ |
|
x + 1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) (e x + 2) dy − y 2 e x dx = 0 ; |
|||||||||||||||
в) x dy − y dx = 0 , |
|
y(1) = 1; |
|||||||||||||
– однородные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
а) x y′ |
|
|
|
|
|
||||||||||
= y cos ln |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
б) x y′ = 4 x2 + y 2 + y ; |
|||||||||||||||
в) ( y 2 − 3x 2 ) dy + 2 x y dx = 0 , y(1) = 2 ; |
|||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ y = e x ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
2 x y |
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− 1 + x2 = 1 + x ; |
|||||||||||||
y |
|||||||||||||||
в) |
d s |
+ s tg t = |
|
1 |
|
, s (0) = 1; |
|||||||||
d t |
cos t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– уравнение Бернулли: |
2 x y′ − 3y = − ( 5 x2 + 3) y3 . |
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:
– допускающие понижение порядка
а) |
|
2 |
( y′ ) |
2 |
; б) y′′ − |
y′ |
y′ |
||
y′′ + |
|
= 0 |
|
1 |
+ ln |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
1 − y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
= 0 , y(1) |
|
1 |
, |
′ |
= e ; |
|
= |
|
y (1) |
|||
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– со специальной правой частью
а) y′′ + 4 y′ + 4 y = 25sin x + e− 2 x ;
|
|
б) y′′ − 4 y′ = 16 sh (4x) ( |
shα = |
eα − e−α |
|
); |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y |
′′ |
− y |
= 9 x e |
2 x |
, |
y(0) = 0, |
′ |
= − 5 ; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
г) |
y |
′′ |
+ 9 y = sin(3x), |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y(0) = y (0) = 1; |
|
|
|
|
|
||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
π |
|
|
π |
|
|
||||||||||
а) y′′ + 4 y′ + 4 y = e |
− 2 x |
ln x ; |
|
|
б) |
y′′ + 4 y = 8 ctg (2x) , |
|
= 4 . |
||||||||||
|
|
|
y |
= 5, |
y′ |
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) x& = x + y ; |
|
б) |
x& = 2x + 7 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y − x |
|
|
y = x − 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
264
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 11
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
а) ( x y 2 + x ) dx + ( y 2 − x2 y 2 ) dy = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) ( 4 + e2 x ) y y′ = e 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– однородные |
|
в) |
(1 + y 2 ) dx − x y dy = 0 , y(2) = 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y′ |
= |
|
|
|
+ tg |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
′ |
|
|
|
x 2 + 2 x y − y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
= |
|
|
|
2x 2 − 2 x y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– линейные |
|
в) |
( x2 + y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 , |
y(4) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
y '− y ctg x = 2 x sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
′ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
− x |
+ 1 y = e ( x + 1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
t |
d s |
|
− t 2 = 2s , |
|
s (1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: 3 x y′ + 5 y = ( 4 x − 5 ) y 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) y |
′′ |
′ |
2 |
|
б) |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
, |
|
|
1 |
|
′ |
|
|
= 1; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 2 |
+ ln x |
y(1) = |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= ( y ) |
; |
|
y (1 + ln x ) + |
|
|
2 , y (1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) y′′ − 7 y′ + 10 y = e2 x + x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
y′′ + 2 y′ + 5 y = 2 sin x + x e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
y |
′′ |
+ y |
= 2 sin x − 6 cos x , |
|
|
′ |
|
|
= 1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
− 2 y |
′ |
= e |
2 x |
|
− |
1, y(0) = |
1 |
, |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) y′′ − 2 y′ + y = |
e x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y′′ |
+ y = 4 ctg x , |
y |
= 4 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
′ |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 2x − y ; |
|
б) |
x& = y − 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 y − 5x |
|
|
y = 9x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
265
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 12
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) ( x y − x )dy + y dx = 0 ;
б) 4 − x2 y′ + x y 2 + x = 0 ;
– однородные |
|
|
|
в) |
2 |
|
|
|
x y dx = dy , |
|
y(1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= x (1 + ln y − ln x ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x y′ = 3 x 2 + y 2 + y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– линейные |
|
|
|
в) |
|
y |
= y + x , |
y(1) = 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) y′ + y = x y3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
d s |
|
= t + 2s , |
s (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: 2 y′ + 2 y = x y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
2 |
+ 1 = y y |
′′ |
; |
|
б) |
|
2 y |
′ |
y |
′′ |
+ y |
2 |
|
|
′ |
2 |
= 0 |
, y(1) = |
′ |
; |
|
|
|
||||||||||||||
а) ( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y ) |
|
0 , y (1) = 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y′′ − 8 y′ + 7 y = 14 + x e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y′′ − 5 y′ = sin x + x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
y |
′′ |
+ 9 y = −18sin(3x) |
− 18 e |
3 x |
, |
|
′ |
|
|
= 1; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
+ 4 y = sin(2x) + 2 , |
|
|
|
′ |
= 1; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 y |
|
y(0) = y (0) |
|
||||||||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) y |
′′ |
|
|
′ |
= ch (2x) |
|
chα = |
eα + e−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
′ |
|
|
|
4 e− 2 x |
|
′ |
|
|||||||||||||||
− y |
( |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
); |
б) |
y |
+ 8 y = 2 + e2 x , |
= 0 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 y |
|
y(0) = y (0) |
|||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 2 y − 3x ; |
|
|
|
б) x& = 4x − 2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = x + 6 y |
|
|
|
|
|
y = x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
266
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 13
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) y y′ + x + 1 = 0 ; |
|
|
|
|
||
б) |
y′ x ln x = y ; |
π |
|
|
||
в) |
y′ sin x − y ln y = 0 , |
= e ; |
||||
y |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
– однородные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y |
= e |
|
|
+ x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
2 y |
= x2 + 8 x + 8 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
в) |
x dy − y dx = |
|
|
|
x2 + y 2 dx , |
y(2) = 0 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) 2 x y′ − 3y = − 20 x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
− x |
|
= − x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
d s |
|
− s = et , |
|
s (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: |
|
y′ + y = x |
|
|
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) y y |
′′ |
= y |
2 |
y |
′ |
′ |
2 |
; б) |
(1 + x |
2 |
) y |
′′ |
− |
2 x y |
′ |
= 0 , |
|
|
|
|
′ |
= 3 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ ( y ) |
|
|
|
|
|
|
y(0) = 0 , y (0) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y′′ − y′ + y = x3 + 6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y′′ + y′ = 2 shx + 3 |
( |
shα |
= |
eα − e−α |
|
); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ + y = 2 cos (7x) − 3 |
sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
+ 4 y |
|
= cos (2x) + e |
2 x |
, y(0) |
|
|
′ |
= 1 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 y |
|
|
= y (0) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
|
|
′ |
= 2 sh(2x) |
|
|
shα = |
eα − e−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
′ |
|
9e 3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) y |
− |
4y |
( |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
); |
|
б) y |
|
+ 3y |
= 1+ e 3x , |
y(0) = ln4 , |
|
||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
− ln 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y (0) = 3(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
& |
|
= 9x + 3y ; |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) x& |
|
|
|
б) |
|
x& |
= 6x − y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y |
|
= x − y |
|
|
|
|
|
|
y |
= 2x + 4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
267
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 14
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) |
tg y dx + tg x dy = 0 ; |
б) (1 + e 2 x ) y y′ = e 2 x ; |
|
в) |
y (1 + x2 ) y′ = x (1 + y 2 ) , y(1) = 1; |
– однородные
а) ( 6x + y ) dx + ( 4 y + x ) dy = 0 ;
|
|
′ |
|
|
|
x 2 + 3 y x − y 2 |
|
|
||||||
б) |
y |
= |
|
|
|
3 x2 − 2 x y ; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|||
в) |
y |
= x |
− y , y(1) = 1; |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
– линейные |
y′ = a sin x + by ; |
|
||||||||||||
а) |
|
|||||||||||||
б) y′ + x y = 3 x3 ; |
|
|||||||||||||
в) |
d s |
+ |
|
|
s |
|
+ x 2 = 0 , s (0) = 0 |
; |
||||||
d t |
1 + t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
– уравнение Бернулли: x y′ + y = x y 2 .
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:
– допускающие понижение порядка
а) y y |
′′ |
|
′ |
2 |
= 0 |
; |
|
б) |
x y |
′′ |
′ |
, y(1) = 0 , |
|
′ |
|
|
|||||
|
+ ( y ) |
|
|
|
|
= y |
|
y (1) = 1; |
|
||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y′′ − 7 y′ + 12 y = e3 x + 4 ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y′′ − 6 y′ + 9 y = 3 x e 2 x + e 3 x ; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y′′ + 4 y′ = − 8sin(2x) + 32 cos (2x) ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y′′ + |
|
π |
|
π |
|
= 0 ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin x , y |
|
= y′ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) y′′ − y = 2 sh x ( |
shα = |
eα −e−α |
|
); |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
+ 8y = 2 |
+ e− 2 x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) y |
− 6y |
y(0) = 1+ 3ln3, y (0) = 10ln3. |
|
|
|||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|||||||||||||||||||||
а) x& = x − 2 y ; |
б) |
x& = 4x − 3y . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3x + y |
|
|
|
|
|
|
|
y = x − 7 y |
|
|
|
|
268
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 15
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) |
|
y |
dy |
|
|
= 1; |
|
e |
|
|
|
+ 1 |
|
||
|
|
||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
б) x dx − y dy = y x2 dy − x y 2 dx ; |
|||||||
в) |
( 2 x + 1) dy + y 2 dx = 0 , y(0) = 1; |
– однородные
а) ( x y − y)dx + x dy = 0 ;
б) |
y ' = |
y 2 |
+ 8 |
y |
+ 12 ; |
|
x 2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|||
в) |
( y 2 − 9 x2 )dx + 2 x y dy = 0 , y(1) = 1; |
– линейные
а) y ' + 2 x y = − 2 x3 ;
б) |
y ' − y cos x = − sin (2x) ; |
|||||
в) |
d s |
− |
|
2 s t |
= 1, s (0) = 2 ; |
|
|
|
|
||||
|
d t |
1 + t 2 |
||||
– уравнение Бернулли: |
y ' + |
2 y |
= 2 y . |
|||
|
||||||
|
|
|
|
x |
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:
– допускающие понижение порядка
а) |
y '' = − |
x |
; |
б) y y ''+( y ')2 = 2 , y(0) = y '(0) = 1 ; |
|
y' |
|||||
|
|
|
|
– со специальной правой часть
а) y ''+ y ' = ( x2 + 4)+ e x ; |
|
||||||||||
б) |
y ''− 4 y '+8 y = 5sin x − 3cos x ; |
||||||||||
в) |
y ''+ y = 2 e x |
+ cos x ; |
|
||||||||
г) |
y ''− 4 y ' + 4 y = sin x + e2 x , y(0) = |
||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|||||||
а) y ''+ y = x cos2 x ; б) |
y ''+ |
|
y |
= |
|
|
1 |
|
|
|
, y(0) = 2 , |
π |
2 |
|
2 |
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
π |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y '(0) = 1 ;
y '(0) = 0 .
III. Решить системы дифференциальных уравнений
а) x& = 5 y − 2x ; |
б) x& = x + 7 y . |
& |
& |
y = y − 10x |
y = 6x + y |
269