IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 16
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
|
а) (1 − 5 x ) dy = 3 y dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) 2 x + 2 x y 2 + 2 − x2 y ' = 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
– однородные |
|
в) |
(1 + e x |
|
|
)y y ' = e x , y(0) = 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y ' = e |
|
|
|
+ |
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
4 y ' = |
y 2 |
+ 10 |
|
|
y |
+ 5 ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
в) |
( x2 + 3 y 2 )dx = 2 x y dy , |
y(2) = 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) y '− |
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y ' − |
|
y |
|
|
= − |
ln x |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
d s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
− s = e |
|
|
, |
s (0) = 1; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– уравнение Бернулли: |
|
y '+2 x y = 2 x3 y3 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x y ''+ y ' = 0 ; |
|
б) |
y '' y 2 |
= ( y ')3 , |
y(1) = 1, |
y '(1) = 2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y ''+ 4 y = 8sin(2x) + x 2 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) y ''+2 y ' = x e x + 3 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y ''−9 y '+8 y = x e x + sin x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y ''−9 y = (2 − x) + cos x , |
y(0) = 1, y '(0) = 2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) y ''− y = 2 sh x ( |
shα = |
eα − e−α |
|
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
π 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
б) y ''+π |
|
y = |
|
|
|
, |
y |
|
|
= 1 , y ' |
|
= |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin(π x) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 7x + y |
; |
|
|
|
б) |
x& = x − y . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = x + 7 y |
|
|
|
|
|
|
|
y = y − 3x |
|
|
|
|
|
|
|
270
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 17
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
а) |
|
dx |
+ |
|
|
dy |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + |
1 |
|
|
y + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
б) y ln y + x y′ = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
– однородные |
|
|
в) |
y′ ctg x + y = 2 , y(0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + x y − 5 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
а) y′ = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 6 x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
б) x y y′ = x2 + y 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
– линейные |
|
|
в) |
( y + |
x2 + y 2 |
)dx − x dy = 0 , |
y(0) = 1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
а) |
y′ + 3 y tg (3x) = sin(6x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
y′ + 2 x y = |
x sin x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d s |
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
в) |
− s tg t = sec t , s (0) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: |
|
x y′ + y = y 2 ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
′ |
2 |
|
′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
′ |
|
|
||
|
= y y |
; |
б) |
(1 + ln x ) + |
x = 2 + ln x |
, |
y(1) = 2 , |
|
|
|||||||||||||||||||||
а) 1 + ( y ) |
|
|
|
y |
y (1) = 1; |
|
||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
y′′ + y′ − 2 y = 8sin(2x) + 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) y′′ + 16 y = sh (4x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) y′′ + 4 y′ + 4 y = −2 e− 2 x + x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
г) |
y′′ + y′ = e− x (x − 1) + cos x |
, |
y(0) = 0 , |
′ |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 1 |
||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) y ''−2 y = 2 sh(2x) ( |
shα = |
|
eα − e−α |
|
); |
|
|
б) y′′ + π |
2 |
y |
= |
π 2 |
|
, |
y(0) = 3 , y′(0) = 0 . |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cos (π x) |
||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 5x − 8 y ; |
|
|
б) |
|
x& = x + y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2x + 3y |
|
|
|
|
y = x − 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
271
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 18
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) 2 x 1 − y 2 dx + y dy = 0 ;
б) |
5 + y 2 + y′ y 4 − x 2 = 0 ; |
в) |
e y ( y '+1 ) = 2 , y(0) = 0 ; |
– однородные
а) x y′ = 4 2 x2 + y 2 + y ;
|
|
y |
|
|
|
||||
б) x sin |
|
|
y′ + x |
||||||
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
||||
в) |
|
|
y |
|
y |
, |
|||
y′ = |
|
|
|
|
ln |
|
|
||
|
x |
|
|||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
; |
|
= y sin |
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
y(1) = 1; |
|
|
– линейные
а) |
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||
′ |
− x |
|
= x 4 ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
б) |
y |
= x + 1 + x − 1 ; |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
в) |
d s |
− |
2 s |
|
= |
1 |
, s (1) = 1; |
|||||||||||
|
|
t |
t 3 |
|||||||||||||||
|
d t |
|
|
|
|
|
–уравнение Бернулли: 2 y′ + 3 y cos x = ( 8 + 12 cos x )e− 3 sin x y −1 . II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:
–допускающие понижение порядка
а) |
|
2 |
) y′′ − x y′ = 2 ; б) |
y′′ y |
3 |
= 1, |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(1+ x |
|
|
y |
|
= |
1, |
y′ |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
y′′ − 6 y′ + 8 y = (2 x + 1) + sin(2x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) y′′ − y′ = e x + x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
y′′ − 6 y′ + 9 y = cos x + 2sin(2x) ; |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
г) |
y′′ + y = − sin(2x) + 3 |
, y( ) |
|
y ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
= |
′ π |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
y′′ − y′ = ch(2x) |
( |
chα = |
eα + e−α |
|
); |
б) |
|
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
9 e 3 x |
, |
y(0) |
= |
′ |
= |
0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
|
− 9 y |
+ 18 y = 1 + e− 3 x |
|
y (0) |
|
||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) x& = 3y − x ; |
|
б) x& = 7x − y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y − 5x |
|
|
|
y = 5x + 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
272
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 19
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
а) ( x3 + 2 ) y′ = 3 y + 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
|
|
4 + y 2 + 2 − x2 y y′ = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
– однородные |
|
в) (1 + y 2 ) dx = x y dy , y( 2 ) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y′ |
= |
|
|
|
+ cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
б) |
|
|
′ |
|
|
x 2 |
+ x y − 3 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y |
= |
|
|
|
2 x2 − 6 x y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= x , y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( x y′ − y ) arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а) |
y |
= e |
|
|
|
− 1 + x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
б) y′ + 4 x y = − 4 x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
в) |
(1 + t 2 ) |
d s |
− t s = t 2 , s (0) = |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: 4 y′ + x3 y = ( x3 + 8) e− 2 x |
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) |
y′′ tg x = y′ + 1 |
; |
б) |
y′′ e y = |
y′ |
, y(0) = |
′ |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
а) y′′ − 5y′ + 6 y = 2sin(2x) + 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б) y′′ − 4 y = e2 x + ( x2 − 1 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
в) |
y′′ + 9 y = cos (3x) + e3 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
г) |
y′′ − 4 y′ + 3y = e x + ( x − 3 ) |
, y(0) = 3 , |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 9 ; |
|
|
|
|
|||||||||
– методом вариации постоянных |
+ 4 y = 4 ctg (2x) |
|
π |
|
|
′ π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) |
y′′ + 2 y′ + y = 3e− x |
x + 1 |
; |
|
|
|
|
|
б) |
y′′ |
, |
= |
= |
2 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
4 |
|
|
3, y |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = y − 2x |
; |
|
б) x& = x + 4 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x + 2 y |
|
|
|
y = x − 6 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
273
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 20
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) 2 x y′ + y 2 = 1;
б) 2x + 2 x y 2 + 1 − x y′ = 0 ;
– однородные |
|
|
|
в) |
y′ = y cos x , |
|
y(0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x y′ − y = x tg |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
б) y′ = |
x 2 + x y − 5 y 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 6 x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
– линейные |
|
|
|
|
в) |
( x2 + 2 y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 , |
y(1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y |
− x ln x = x ln x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
′ |
|
|
|
|
2 x y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 + x2 = 1 + x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
ctg t |
d s |
|
+ s = 2 , |
s (0) = 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение Бернулли: 8 x y′ − 12 y = − ( 5 x2 + 3) y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) |
′′ |
|
|
′ |
) |
2 |
= 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
′′ |
(2 x − 1) |
|
′ |
, |
|
y(2) = 2 , |
′ |
|
|
|
|
|
||||||||
y |
( 2 y + 3) − 2 ( y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= y |
|
y (2) = 1 ; |
|
||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) y′′ − y = ( 5 x + 2 ) e x + 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y′′ − 6 y′ + 5 y = cos x + e 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) y′′ + 25 y = sin(5x) + (x + 5) ; |
|
|
|
= |
|
|
|
′ |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y′′ − y′ = 2sin(2x) + 3cos (3x) |
, |
y(0) |
2 , |
|
|
0 |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) |
y′′ + 4 y = 2 tg x |
; |
|
|
б) |
y |
′′ |
− 2 y |
′ |
|
|
4 e− 2 x |
|
|
, y(0) |
= |
ln 4 |
′ |
|
= |
ln 4 |
− |
2 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
= 1 + e− 2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y (0) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 6x + y |
; |
|
|
|
б) x& = 5 y − x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = 3y − x |
|
|
|
|
|
y = 5x + 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
274
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 21
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) e x − y y′ = 1;
б) 6 x dx − y dy = y x 2 dy − 2 x y 2 dx ;
|
|
|
в) |
y |
′ |
= |
|
y + 1 |
, y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
– однородные |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
а) ( x 2 + y 2 ) dx − x y dy = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
|
|
′ |
|
|
y 2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
= x 2 |
+ 6 x + 6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
– линейные |
|
|
в) |
( x2 + 5 y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 , |
y(1) = 1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
а) y′ + 2 x y = x e− x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
б) |
y |
|
|
|
y |
x + 5 |
e |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
t |
d s |
− s = t 2 , |
s (0) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: |
y′ + x y = (x − 1) e x |
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
2 |
= 0 ; |
|
б) |
|
|
′′ |
|
|
|
2 |
|
′ |
|
|
= 1; |
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
− x |
+ 1 = x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) y '' y ln y + (1 + ln y ) ( y ) |
|
|
|
|
(x − 1) , y(0) = y (0) |
|||||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
а) |
|
y′′ + 9 y′ − 10 y = ( 6x + 1 ) + sin x ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
б) |
y′′ − 9 y′ + 8 y = x e x + cos (2x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
в) |
y′′ + 4 y = sin(2x) + 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
г) |
|
y′′ + y′ = 2sin x + e2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) y′′ + 3y′ + 2y = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
4y′′ + y = ctg |
|
, |
y(π ) = 2 , |
y′(π ) = |
|
|
. |
|||||||||||
e x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) x& = x − 9 y ; |
|
|
б) |
x& = y − 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 9x + y |
|
|
|
|
y = x + 6 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
275
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 22
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
а) ( x y 2 + x ) dx + ( y − x2 y ) dy = 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) 3x + 3 x y 2 + 3 − x 2 y′ = 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– однородные |
|
в) |
(1 + y 2 ) dx + x y dy = 0 , |
y(2) = 1 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y′ = 4 + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
б) x y′ = 6 2 x 2 + y 2 + y ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– линейные |
|
в) |
( y 2 − 3x 2 ) dy + 2 x y dx = 0 , |
y(1) = 2 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) y′ + 2 x y = − 4 x5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
′ |
|
|
|
y |
|
ln x |
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
− x |
+ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
|
d s |
+ s = t e−t , |
s (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– уравнение Бернулли: 4 x y′ + 3 y = − e x |
x4 y5 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) x y |
′′ |
′ |
; |
|
б) |
2 y y |
′′ |
− 3 |
|
|
′ |
) |
2 |
= |
4 y |
2 |
, |
y(0) |
= 1, |
′ |
= 0 ; |
|
|||||||||
|
= y |
|
|
( y |
|
|
|
y (0) |
|
||||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
y′′ + 4 y = cos (2x) + x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) y′′ − 5 y′ = x2 + x e− 2 x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) y′′ + 5 y′ + 4 y = sin x + 5 x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
г) |
y′′ − 4 y′ + 3y = e |
5 x + 3 |
, y(0) = 3 |
′ |
|
= 9 |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, y (0) |
||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) y′′ + y = |
cos (2x) ; б) |
|
y′′ + y' = |
|
|
, y(0) = ln 27 , |
y′(0) = 1 − ln 9 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 + e x |
|||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = y − 2x ; |
б) |
x& = 7x + 2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = 2 y − 3x |
|
|
y = 6x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
276
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 23
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
а) y y′ = 1 + 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
9 − x2 y′ + x2 ( y + 1) = 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в) |
y′ sin x = y ln |
2 |
|
y |
, |
π |
|
= e ; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
а) x y′ = xe |
|
|
+ y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) x y′ = 4 x2 + y 2 + y ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
в) |
( x2 + 3y 2 ) dx + 2 x y dy = 0 , |
y(1) = 1; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
y′ − y cos x = − sin (2x); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
− |
y |
= 3x |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
t |
d s |
|
− s = t 2 et , |
s (1) = 2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– уравнение Бернулли: |
y |
′ |
+ |
y |
= x |
2 |
y |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) ( y |
′′ |
2 |
′ |
) |
2 |
|
|
|
|
б) |
(1 + x |
2 |
) y |
′′ |
+ 2 x y |
′ |
= 0 |
, y(0) = 2 , |
′ |
= 3 ; |
|||||||||||||||
|
) = ( |
y |
+ 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а) y′′ − 7 y′ + 12 y = x e 3 x + 4 ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
y′′ + 5 y′ = sin (5x) + 3 x3 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в) y′′ − 4 y′ + 4 y = e2 x + x2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
г) |
y′′ + y′ = 4 cos x + (3 x + 2) |
, |
′ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(π ) = y (π ) = 0 ; |
|
|||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) y′′ + 4 y′ = ctg (2x) ; |
б) |
y′′ + y = |
1 |
, |
y(0) = 1, y′(0) = 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 8x − 3y ; |
б) |
x& = 5 y − 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
|
y = 4x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
277
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 24
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ( |
|
|
x y − x ) dy + y dx = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) (1 − e x ) y y′ = e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
– однородные |
|
в) |
2 |
|
|
y dx = ( x + 1) dy , |
|
y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
y |
′ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y3 + 4 y x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x y |
′ = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 y 2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
2 x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
y |
= y − 2 x , y(−1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
а) |
|
x y′ − y = x2 cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
− x = − x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
d s |
− 2 s = −t 2 , |
s (0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: |
|
y |
′ |
− y tg x = − |
2 |
|
|
y |
4 |
sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а) y |
′′ |
= |
y′ |
; |
|
|
|
б) |
|
(1 + x |
2 |
)y |
′′ |
+ 2 x y |
′ |
= 0 |
, |
|
′ |
|
= 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 0 , y (0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
y′′ + 4 y′ = 2sin(2x) + x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y′′ + 2 y′ − 3y = x e x + cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
y′′ + 4 y′ + 4 y = 3 + cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
y′′ − y′ = e x + ( x − 1 ) |
, |
′ |
= 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) y′′ + 5 y′ + 6 y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
π |
|
|
π |
|
|||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y′′ + y = cos ec x , y |
|
|
= |
|
, |
y′ |
|
|
= |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
+ e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 2 y |
|
; |
|
|
б) |
|
x& = 3x + 7 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 5x + y |
|
|
|
|
|
|
y = 2x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
278
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 25
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
а) 2x 1 − y 2 dx − y d y = 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
4 + y 2 dx − y dy = x 2 y dy ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– однородные |
в) |
y + |
|
|
x2 + y 2 − x y′ = 0 , y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
y′ = |
|
|
|
+ cos |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
б) x y′ = 3 2 x2 + y 2 + y ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
2 x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
в) |
y |
= y |
|
− 2 x , y(−1) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
а) |
y |
′ |
|
|
|
= x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ ctgx − y = 2 cos2 x ctg x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
d s |
|
− |
|
|
2 s |
|
− 1 − t = 0 , s (0) = 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
d t |
|
1 |
− t 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– уравнение Бернулли: 2 x y′ − 3y = − ( 5 x2 + 3) y3 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
y |
′′ |
′ |
2 |
б) |
2 y |
′ |
|
y |
′′ |
+ y |
2 |
|
|
′ |
|
2 |
= 0 |
, y(1) = 0 |
′ |
= 1 |
; |
|
||||||||
|
= ( y ) |
; |
|
|
|
|
|
( y ) |
|
, y (1) |
|
||||||||||||||||||||
– со специальной правой часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) y′′ − y′ + y = x3 + 6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) y′′ − 6 y′ + 9 y = 3 x e 2 x + e 3 x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
y ''+ y = 2 e x + cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
г) |
y ''−9 y = (2 − x) + cos x , y(0) = 1, y '(0) = 2 ; |
|
||||||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
9 e 3 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) |
y′′ |
+ 2 y′ + y = 3e− x |
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
||||||
; |
|
|
|
|
|
б) y |
|
− |
+ 18 y = 1 |
+ e− 3 x |
, |
= 0 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 y |
y(0) = y (0) |
|||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 6x + y ; |
б) x& = y − 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3y − x |
|
y = x + 6 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
279