Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 23

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

ем производной: а) f (x) =

 

; б) f (x) = 5sin

 

 

 

.

 

 

 

3x + 2

2

 

 

 

2. Продифференцировать указанные функции.

 

 

 

а) y = ln (sin (2x))

 

1

cos2

(3x) ;

б) y

=

 

x

 

 

+ 3 x ;

 

 

 

2

3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = (4 3 x 3 )ln ( 8x ) ;

 

 

г) y = e 12 t

 

9

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

( cos t + t sin t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = a

 

a + x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e)

= x y

2

b

2

;

 

 

ж)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) y = arctg

1a x

;

 

 

y

 

 

 

 

y = a

( sin t t cos t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

a) y = (2x + 1)sin (3x), x 0

= 0 ;

б) x = 3sin t ;

 

 

 

 

 

 

в) x 4 x y + y 4

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 tg t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

 

2

 

3

 

 

 

+ t

2

)

 

ра: а)

y

= x

, x 0

= 0 ;

x = ln (1

 

= 0 .

 

 

б)

 

 

, t0

 

 

 

 

 

 

 

y = t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln (cos x)

 

 

;

ln (cos (3x))

+ 1

π

 

 

x2

 

 

cos (2x)

 

 

1

 

;

г) lim

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x0 sin x

 

 

 

 

 

e2 x e x

 

 

 

 

π x

 

б) lim

 

 

;

в) lim

(1

x) tg

2

 

;

 

 

x0 sin (3x) sin (5x)

 

x1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

д) lim x x + ln x .

x0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) =

x 3

.

 

 

4 (x + 5)

200

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 24

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x13 ; б) f (x) = 5 ln(3x + 2).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y =

x 3

arcctg (2x) ln(x2

 

3

 

 

 

 

 

x

 

2 x 3

в) y = sin

 

 

;

 

 

2

 

 

д) y = ln (cos (ea r c c o s ( t )));

+ 1); б) y =

5 2 3x2

+ 108x + 1 ;

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

г) y = 3 cosec2 x

 

tg(3

2 x );

 

 

е) 2 x y

2

= tg(y

x) ;

y = e 2t

 

.

 

ж)

+

 

 

 

 

 

x = et

t

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = ln 2 x +

1

, x 0 = 1 ;

б)

x = arctg t

);

в) y sin x = ln y .

y = ln (1 + t 2

x

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

x 3

 

 

x =

3 cos t

 

π

 

ра: а) y =

 

, x0 = −1

;

б)

 

, t 0 =

3

.

3

 

 

 

 

y = sin t

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

 

x

 

;

 

 

 

б) lim

7 3 x 3 2 x

;

 

 

(3x)

 

 

 

tgx + x 3

 

x→ ∞ ln2

 

 

 

 

 

x0

 

г)

 

cos x

 

 

1

 

;

д) lim x

1

.

 

 

 

 

x 2 1

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

x2π x

 

 

sin x

 

x1

 

 

 

в) lim( (1 cos x) ctgx ) ;

x0

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) =

x + 6

.

 

 

3 x 2

201

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 25

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 2 3x ; б) f (x) = 2 cos(x 1).

2.Продифференцировать указанные функции.

а)

в)

д)

y =

1

 

+ 3

4 5x2 + ex ;

 

 

2x

 

x

 

 

 

sin (5x)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

;

y = cos

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

π

 

sin

 

 

 

y = arcctg

 

7

 

 

;

π 2

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

sin 2

б) y = 4 1 x + 3 ;

3 x + 2

г) y = 3 x 8x2 ex + 2 ;

 

2

 

2

 

 

 

 

е) y

2xy + b

= 0

;

ж)

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

=ln(3 t 2 ).

=t 2 + et

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y =

ln(x 2)

 

, x0 = 1 ;

б) x = 5 cos t ;

в) 3y 3x = 2 y .

x 2

 

 

y = 4sin t

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а)

y = x

3

, x0

= 1 ;

x = 2 e t

 

б)

, t0 = 0 .

 

 

 

 

 

y = e

t

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

 

 

 

x2 + 3x

 

 

 

 

 

 

ln(9 2x2

)

 

 

 

π

а)

lim

 

 

 

 

;

 

 

 

б)

lim

 

 

 

;

в)

lim arccos x

 

ctgx ;

 

ln x

 

 

 

 

sin(2π x)

 

2

 

x→ ∞

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

x0

 

г)

 

1

 

 

 

1

;

д)

lim(ctg(3x))

sin(3x)

.

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

x

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f ( x) = x 2x .

202

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет Кафедра Высшая математикаим. В.В. Пака

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Часть 3. Интегральное исчисление

Донецк – 2011

203

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Модульный блок № 3

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 1

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

1

sin3 x

 

 

3

 

3

 

 

а)

 

 

2

 

dx ;

б) 14x

 

+

 

 

 

dx .

 

sin

x

 

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод замены переменной интегрирования

а) e

2 x

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

1 + ln x

dx

;

 

 

в)

arctg x + x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ln x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x e2 x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x arctgx dx ;

 

г) x2 cos x dx ;

 

 

 

 

 

д) e2 x sin x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

x + 5

 

 

 

dx ;

 

б)

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

3

4x

4x

2

 

 

 

 

 

9x2 + 6x + 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 2x3

 

+ 1 dx ;

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1) (x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

а) sin 2 x cos2 x dx ;

 

б) cos3 (2x)dx ;

 

 

 

в) tg 5 x dx ;

 

 

г) sec

4

x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

dx

;

 

 

 

 

 

 

е) sin (2x)cos (3x)dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

sin3 (4x)

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 + 3cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

 

а) 3

 

x + 1

dx ;

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

4 x2 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

г) x2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) (25 + x2 )

 

 

25 + x2

;

 

x2 9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

6x + 7

 

 

 

 

 

 

в) sec

4

( 2x )dx

 

 

7 x

 

2x +

 

 

dx ;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

;

 

 

 

 

x

2

4x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

;

д)

ln ( 3x + 23) dx ;

е) sin6 (5x)dx ;

 

1

+ 5sin x + 2cos x

 

 

 

 

 

 

 

( 3x + 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) x2

 

9 x2 dx ;

 

з)

 

 

3x 5

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

204

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 2

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

2

 

3

 

 

 

4

 

 

а) x

(1 x)

dx ;

 

5 sin x +

 

 

 

 

б)

1 x

2

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Метод замены переменной интегрирования

ex + e2 x

 

 

 

а) tg (5x)dx ;

 

б)

x3

 

dx ;

в)

dx .

 

 

1 x8

1 + e2 x

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

 

 

б) x sin (5x)dx ;

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x

 

 

e

 

2 dx ;

 

в) x arctg

 

dx ;

 

 

 

 

 

2

 

г) x ln( x2 + 3) dx ;

д) e2 x cos x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

2x 6

dx ;

б)

 

3x + 1

 

dx .

 

 

 

 

 

x

2

 

8x x2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 5x + 7

 

 

 

 

 

 

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

а)

 

 

 

3x + 5

;

б)

x3 + 5x 1

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

+ x

2

x

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

а)

д)

cos 5 x

dx ;

б) sin

6

(3x)dx ;

в) ctg

3

(2x)dx ;

г)

 

dx

 

;

sin

3

x

 

 

sin

3

(2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ec4 x dx ;

е) sin (5x)cos (3x)dx ;

ж)

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

3sin x 4 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

а)

dx

 

 

б)

 

 

2

 

 

x + 1 (3 x + 1 + 1) ;

9 x

 

dx ;

в)

dx

;

 

г)

x2 1 dx

.

x2 16 + x2

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Разные интегралы

а) ( 8x + 9 )8x dx ;

г) 5x 4x 2 dx ;

ж) arcsin x dx ; 2 x

 

 

x

 

3

 

 

9 10x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

б)

5 cos x e

 

+

4 x

2

dx ; в)

15 6x x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

д) cos (9x)cos (11x)dx ;

 

е)

9x2 1 dx

;

 

 

3x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з) tg 3 (3x 4)dx .

205

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 3

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

 

x

 

а) sin

 

 

2

 

 

 

 

 

x

2

1 3x + 7x4

 

cos

 

 

dx ; б)

x

dx .

2

 

 

 

 

2. Метод замены переменной интегрирования

а) 2 5x dx ;

б)

 

x

dx ;

 

 

1

x2

 

3. Метод интегрирования по частям

 

а) arccos x dx ;

б) x5 ln x dx ;

г) arctgx dx ;

д) ex sin(2x)dx .

в) arcsin 2 x + 1 dx . 1 x2

в) x2 3x dx ;

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

а)

 

 

 

x + 2

 

 

dx ;

б)

1 x

 

dx .

 

 

 

 

9x

2

6x

+ 13

5 4x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

а)

 

 

x3 + 3

 

 

б)

x + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

x2 (x2 + 1)dx .

 

 

 

 

 

x3 x2 2x

 

 

 

6.

Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

а) sin4 (2x)cos2 (2x)dx ;

б) cos5 x dx ;

в) tg 3 (2x)dx ;

г) sec4 (3x)dx ;

 

д)

 

dx

 

 

 

е) cos(2x)cos(3x)dx ;

 

ж)

dx

 

 

 

;

 

 

 

 

.

 

cos3 (2x)

 

 

 

3 + cos x

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

а)

 

 

 

x

dx ;

б)

1 4x2 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

2x + 1 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

dx

 

;

г)

x2 9 dx

.

 

 

 

 

 

 

(1 + x2 )3

x2

 

 

 

 

 

8.

Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 3

 

8

 

2x + 1

dx ;

 

2x + 1

 

2x + 1

 

 

 

 

 

г)

7x4 5x +

2

dx ;

 

x

3

+ x

2

2x

 

 

 

 

 

 

ж) ( 7 x)sin ( 9x )dx ;

б)

 

 

 

 

dx

 

) 3

;

 

 

в) sin

3

x cos

5

x dx

;

 

 

(1 + 16x2

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

dx

 

;

 

 

 

е)

 

6x + 7

 

dx ;

 

 

sin

3

(3x 5)

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x + 1

 

 

з)

 

 

 

x

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

+ sin

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

206

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 4

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

 

 

 

 

3

6

 

 

 

15

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

3 dx ;

 

б)

cos

 

 

 

+ sin

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод замены переменной интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

а) ctg (3x)dx ;

 

 

 

б)

 

 

 

x2

 

 

dx ;

 

 

 

 

в)

3x 5arctg 2 x

dx .

 

 

 

3

1 + x

3

 

 

 

 

1+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) (4 3x)e3x dx ;

 

б) (x + 5)sin (3x)dx ;

 

 

в) arcsin (4x)dx ;

 

г) ln (x + 34) dx ;

 

 

 

д) e3x sin(2x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

3x + 1

 

 

 

dx ;

 

б)

 

 

 

 

4 x

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

4x

2x

2

 

 

 

 

x2 + 8x + 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

x3 + 1

 

 

 

dx ;

 

б)

 

 

x + 2

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)(x 4)

 

 

x

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 16x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

а) sin2 x cos3 x dx ;

б) cos4 (3x) dx ;

 

 

в) ctg 3 (2x)dx ; г) cos ec4 x dx ;

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) sin (3x)cos x dx ;

 

 

 

 

ж)

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

cos3 (5x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 + 6sin x

 

 

 

 

 

 

 

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

 

 

а) 3

 

 

 

dx

 

 

 

 

;

 

 

 

 

б)

 

 

 

x4 dx

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

x2 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

г)

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4 + x2 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

7x5

dx ;

 

 

 

б)

 

 

 

7x 15

 

dx ;

 

 

в)

6

 

dx ;

 

 

x

3

64

 

 

 

 

4x

2

2x +

5

 

 

7x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

;

д) sin

5

x dx

;

 

 

 

 

 

 

 

е)

10x8

11x

dx

;

 

2

 

+ 3cos x + 4 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

з) x tg 2 ( 3x )dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

 

 

1 121x2 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

207

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 5

Вычислить неопределённые интегралы:

 

 

 

 

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

(1 2

 

x )2

 

2

 

2

 

 

а)

 

 

 

dx ;

б) cos

 

x +

 

 

 

dx .

x

2

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

в) x arccos x dx .

 

а) e5x dx ;

 

 

 

 

б) 3

x3 8 x2 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x2

 

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) arctg (

8x 1)dx ;

 

а) (3x + 4)e3x dx ;

б) (2 x 5 )cos (4 x )dx ;

 

 

г) ln (x + 3)dx ;

 

д) 5x sin x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

3x + 2

 

 

dx ;

б)

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

6x +

10

 

 

 

 

7

12x 4x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

x5 12x3 + 7

dx ;

б)

 

 

2x

+ 1

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

+ 2x

2

 

 

x

3

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

 

а) sin5 x cos2 x dx ;

б) sin 4 (3x)dx ;

в) tg 3 (4x)dx ;

г) sec4 (2x)dx ;

 

 

 

 

 

д)

 

 

dx

 

 

 

 

е) sin (3x)sin (5x)dx ;

 

 

 

 

 

ж)

dx

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

sin3 (5x)

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + cos x

 

 

 

 

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

а) x2

 

 

4 x2 dx ;

б)

 

 

 

 

 

x4 dx

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16 x2 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

x2

 

 

dx

 

;

г)

 

 

 

x2 1 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 + x2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Разные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

12x 1

dx ;

б)

 

 

 

7

dx ;

 

 

 

 

 

 

в) cos ec

4

( 5x )dx ;

 

 

 

9 6x x2

5 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

15

x

 

 

 

;

д)

 

 

3x2 + 5

 

;

 

 

 

 

 

е) ( 3x 1 )2

x

dx ;

 

3 x x dx

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

(x2 1)2

 

 

 

 

 

 

 

ж) ( 9 5x)sin ( 2x )dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з)

5tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

208

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VII. Неопределённый интеграл

Вариант 6

Вычислить неопределённые интегралы:

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции

 

а)

11x 2 dx ;

б) (5tg x + 3ctg x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Метод замены переменной интегрирования

 

в) 3arcsin4 x + 9x dx .

 

а) 102 x 5 dx ;

 

 

 

 

б) x 2x2 + 7 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x2

3.

Метод интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ( 5 6x)e2 x dx ;

б) ( 4x + 7 )cos ( 2x )dx ;

 

в) arccos ( 3x 1)dx ;

 

г)

ln (2x 9)

 

 

 

 

д) 3x cos (5x )dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

( 2x 9 )

 

 

 

 

 

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

4 3x

 

 

 

dx ;

б)

 

 

 

2x + 5

 

dx .

 

 

 

 

 

 

10

6x + x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 12x x2

 

 

 

 

 

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

 

 

 

 

 

 

а)

 

5x3 2x2 + 9

б)

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

x (x + 1 )(x 3 )

 

3x4 + 6x2

 

 

 

 

 

 

6.

Интегрирование тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

а) sin3 (3x )cos2 ( 3x )dx ;

б) cos4 (2x 5)dx ;

 

в) ctg 4 (5x)dx ;

 

г) cos ec

4

x dx ;

д)

 

 

 

dx

 

 

 

;

 

е) cos(2x)cos(5x)dx ;

 

 

 

 

cos 3 (4 x + 1 )

 

 

ж)

 

 

sin x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + sin x + cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

в)

 

dx

 

 

 

2

 

 

а)

1 + 3 x4 + 1 dx ; б)

36 x

 

 

dx ;

 

 

(64 + x2 )3

;

г)

x

 

16 dx .

8.

Разные интегралы

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) arccos ( 8x )dx ;

б)

 

 

 

 

 

;

 

в) sin2( 3x )cos4( 3x )dx;

 

 

 

 

( 4 + x2 )3

 

 

г) ctg 4 ( 2x 1 )dx ;

д) sin (4x)sin (3x)dx ;

 

е) ln ( x + 22) dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (12x2 )

 

 

 

 

( x + 2 )

 

ж) x

2

9x

2

1 dx ;

з)

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 + x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

209

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]