IDZ_VysshMatematTerehov

1

x

; б) f (x) = 5sin

.

3x + 2

2

2. Продифференцировать указанные функции.

а) y = ln (sin (2x)) −

1

cos2

(3x) ;

б) y

=

x

+ 3 x ;

2

− 3x2

2

в) y = (4 3 − x 3 )ln ( 8x ) ;

г) y = e 1− 2 t

9

;

t − 1

( cos t + t sin t )

x = a

a + x

x

e)

= x y

2

− b

2

;

ж)

.

д) y = arctg

1− a x

;

y

y = a

( sin t − t cos t )

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

a) y = (2x + 1)sin (3x), x 0

= 0 ;

б) x = 3sin t ;

в) x 4 − x y + y 4

= 1.

y = 2 tg t

2

3

+ t

2

)

ра: а)

y

= x

, x 0

= 0 ;

x = ln (1

= 0 .

б)

, t0

y = t 2

f (x) =

x − 3

.

4 (x + 5)

1

x = arctg t

y = ln (1 + t 2

x

x 3

x =

3 cos t

π

ра: а) y =

, x0 = −1

;

б)

, t 0 =

.

3

y = sin t

f (x) =

x + 6

.

3 x − 2

а) y =

ln(x − 2)

, x0 = 1 ;

б) x = 5 cos t ;

в) 3y − 3x = 2 y .

x − 2

y = 4sin t

ра: а)

y = x

3

, x0

= 1 ;

x = 2 e t

б)

, t0 = 0 .

y = e

− t

x2 + 3x

ln(9 − 2x2

)

π

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim arccos x −

ctgx ;

ln x

sin(2π x)

2

x→ ∞

x→2

x→0

г)

1

1

;

д)

lim(ctg(3x))

sin(3x)

.

lim

−

2x − 1

x

x→ 0

x → 0

1

− sin3 x

3

3

а) ∫

2

dx ;

б) ∫ 14x

+

dx .

sin

x

1 + x

2

а) ∫ e

2 x

dx ;

б) ∫

1 + ln x

dx

;

в) ∫

arctg x + x

dx .

x

1+ x

2

3. Метод интегрирования по частям

а) ∫ ln x dx ;

б) ∫ x e2 x dx ;

в) ∫ x arctgx dx ;

г) ∫ x2 cos x dx ;

д) ∫ e2 x sin x dx .

4. Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

x + 5

dx ;

б) ∫

2 − x

dx .

3 −

4x −

4x

2

9x2 + 6x + 13

5. Метод интегрирования рациональных дробей

3

2

а) ∫ 2x3

+ 1 dx ;

б) ∫

x + 1

dx .

(x

2

x

− 1

+ 1) (x − 2)

6. Интегрирование тригонометрических функций

а) ∫ sin 2 x cos2 x dx ;

б) ∫ cos3 (2x)dx ;

в) ∫ tg 5 x dx ;

г) ∫ sec

4

x dx ;

д) ∫

dx

;

е) ∫ sin (2x)cos (3x)dx ;

sin3 (4x)

ж) ∫

dx

.

5 + 3cos x

7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) ∫ 3

x + 1

dx ;

б) ∫

4 − x2 dx ;

3x +

1

dx

г) ∫ x2

dx

в) ∫ (25 + x2 )

25 + x2

;

x2 − 9 .

8. Разные интегралы

а) ∫

2

9

∫

6x + 7

в) ∫ sec

4

( 2x )dx

7 x

− 2x +

dx ;

б)

dx ;

;

x

2

− 4x

+

x

1

г) ∫

dx

;

д)

∫ ln ( 3x + 23) dx ;

е) ∫ sin6 (5x)dx ;

1

+ 5sin x + 2cos x

( 3x + 2 )

ж) ∫ x2

9 − x2 dx ;

з) ∫

3x − 5

dx .

2

x

(x − 1)

−2

3

4

а) ∫ x

(1 − x)

dx ;

5 sin x +

б) ∫

1 − x

2

dx .

2.

Метод замены переменной интегрирования

ex + e2 x

а) ∫ tg (5x)dx ;

б) ∫

x3

dx ;

в) ∫

dx .

1 − x8

1 + e2 x

3.

Метод интегрирования по частям

2

−

x

б) ∫ x sin (5x)dx ;

x

а) ∫ x

e

2 dx ;

в) ∫ x arctg

dx ;

2

г) ∫ x ln( x2 + 3) dx ;

д) ∫ e2 x cos x dx .

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

2x − 6

dx ;

б) ∫

3x + 1

dx .

x

2

8x − x2 − 12

+ 5x + 7

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

а) ∫

3x + 5

;

б) ∫

x3 + 5x − 1

dx .

dx

x

4

+ x

2

x

3

− 1

6.

Интегрирование тригонометрических функций

а) ∫

dx

б) ∫

2

x + 1 (3 x + 1 + 1) ;

9 − x

dx ;

в) ∫

dx

;

г) ∫

x2 − 1 dx

.

x2 16 + x2

x

4

4.

Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

x + 2

dx ;

б) ∫

1 − x

dx .

9x

2

− 6x

+ 13

5 − 4x − x2

5.

Метод интегрирования рациональных дробей

а) ∫

x3 + 3

б) ∫

x + 4

dx ;

x2 (x2 + 1)dx .

x3 − x2 − 2x

6.

Интегрирование тригонометрических функций

а) ∫ sin4 (2x)cos2 (2x)dx ;

б) ∫ cos5 x dx ;

в) ∫ tg 3 (2x)dx ;

г) ∫ sec4 (3x)dx ;

д) ∫

dx

е) ∫ cos(2x)cos(3x)dx ;

ж) ∫

dx

;

.

cos3 (2x)

3 + cos x

7.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) ∫

x

dx ;

б) ∫

1 − 4x2 dx ;

2x + 1 + 1

dx

x2 − 9 dx

(1 + x2 )3

x2

8.

Разные интегралы

3

6

15

x

x

2

а) ∫

+

−

3 dx ;

б) ∫

cos

+ sin

dx .

x

2

x

2

x

2

б) ∫

x2

dx ;

в) ∫

3x − 5arctg 2 x

dx .

3

1 + x

3

1+ x

2

3. Метод интегрирования по частям

а) ∫ (4 − 3x)e−3x dx ;

б) ∫ (x + 5)sin (3x)dx ;

в) ∫ arcsin (4x)dx ;

д) ∫ e3x sin(2x)dx .

(x + 3)

4. Интегрирование квадратичных полиномов

а) ∫

3x + 1

dx ;

б) ∫

4 − x

dx .

5

− 4x −

2x

2

x2 + 8x + 25

а) ∫

x3 + 1

dx ;

б) ∫

x + 2

dx .

(x − 2)(x − 4)

x

4

2

+ 16x

а) ∫ sin2 x cos3 x dx ;

б) ∫ cos4 (3x) dx ;

в) ∫ ctg 3 (2x)dx ; г) ∫ cos ec4 x dx ;

д) ∫

dx

е) ∫ sin (3x)cos x dx ;