IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 23
1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
ем производной: а) f (x) = |
|
; б) f (x) = 5sin |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
3x + 2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. Продифференцировать указанные функции. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) y = ln (sin (2x)) − |
|
1 |
cos2 |
(3x) ; |
б) y |
= |
|
x |
|
|
+ 3 x ; |
|
|
|
|||||||||
2 |
− 3x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) y = (4 3 − x 3 )ln ( 8x ) ; |
|
|
г) y = e 1− 2 t |
|
9 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
t − 1 |
|
|
( cos t + t sin t ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a |
|
|||||||||
a + x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
e) |
= x y |
2 |
− b |
2 |
; |
|
|
ж) |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
д) y = arctg |
1− a x |
; |
|
|
y |
|
|
|
|
y = a |
( sin t − t cos t ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Найти производную второго порядка от указанных функций. |
|
||||||||||||||||||||||
a) y = (2x + 1)sin (3x), x 0 |
= 0 ; |
б) x = 3sin t ; |
|
|
|
|
|
|
в) x 4 − x y + y 4 |
= 1. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 tg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
+ t |
2 |
) |
|
ра: а) |
y |
= x |
, x 0 |
= 0 ; |
x = ln (1 |
|
= 0 . |
||||
|
|
б) |
|
|
, t0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
ln (cos x) |
|
|
; |
|||||
ln (cos (3x)) |
+ 1 |
||||||||
π |
|
|
|||||||
x→ 2 |
|
|
cos (2x) |
|
|||||
|
1 |
|
; |
||||||
г) lim |
|
|
− |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
||||||
x→0 sin x |
|
|
|
|
|
e2 x − e x |
|
|
|
|
π x |
|
||
б) lim |
|
|
; |
в) lim |
(1 |
− x) tg |
2 |
|
; |
|
|
||||||||
x→ 0 sin (3x) − sin (5x) |
|
x→1 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) lim x x + ln x .
x→ 0
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = |
x − 3 |
. |
|
||
|
4 (x + 5) |
200
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 24
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x13 ; б) f (x) = 5 ln(3x + 2).
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = |
x 3 |
arcctg (2x) − ln(x2 |
|||
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 − x 3 |
||
в) y = sin |
|
|
; |
||
|
|||||
|
2 |
|
|
д) y = ln (cos (ea r c c o s ( t )));
+ 1); б) y = |
5 2 − 3x2 |
+ 10− 8x + 1 ; |
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
г) y = 3 cosec2 x |
|
tg(3 |
2 x ); |
|
|
||
е) 2 x y |
2 |
= tg(y |
− x) ; |
y = e 2t |
|
. |
|
|
ж) |
+ |
|||||
|
|
|
|
|
x = e− t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = ln 2 x + |
1 |
, x 0 = 1 ; |
б) |
x = arctg t |
); |
в) y sin x = ln y . |
|
y = ln (1 + t 2 |
|||||||
x |
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
x 3 |
|
|
x = |
3 cos t |
|
π |
|
ра: а) y = |
|
, x0 = −1 |
; |
б) |
|
, t 0 = |
3 |
. |
3 |
|
|||||||
|
|
|
y = sin t |
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
б) lim |
7 3 x − 3 2 x |
; |
|||
|
|
(3x) |
|
|
|
tgx + x 3 |
||||||||
|
x→ ∞ ln2 |
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
||||||
г) |
|
cos x |
|
|
1 |
|
; |
д) lim x |
1 |
. |
|
|||
|
|
|
x 2 − 1 |
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||
|
− 2π |
|
|
|
|
|||||||||
|
x→ 2π x |
|
|
sin x |
|
x→1 |
|
|
|
в) lim( (1 − cos x) ctgx ) ;
x→0
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = |
x + 6 |
. |
|
||
|
3 x − 2 |
201
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 25
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x 2 − 3x ; б) f (x) = 2 cos(x − 1).
2.Продифференцировать указанные функции.
а)
в)
д)
y = |
1 |
|
+ 3 |
4 − 5x2 + e− x ; |
|
||||||||
|
2x |
|
x |
|
|
|
sin (5x) |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
||||||
y = cos |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− cos |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
π |
|
||
sin |
|
|
|
||
y = arcctg |
|
7 |
|
|
; |
π 2 |
|
|
|||
|
− t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
sin 2
б) y = 4 1 − x + 3 ;
3 x + 2
г) y = 3 x − 8x2 e− x + 2 ;
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
е) y |
− 2xy + b |
= 0 |
; |
ж) |
x |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
=ln(3 − t 2 ).
=t 2 + e− t
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = |
ln(x − 2) |
|
, x0 = 1 ; |
б) x = 5 cos t ; |
в) 3y − 3x = 2 y . |
|
x − 2 |
||||||
|
|
y = 4sin t |
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) |
y = x |
3 |
, x0 |
= 1 ; |
x = 2 e t |
|
|
б) |
, t0 = 0 . |
||||
|
|
|
|
|
y = e |
− t |
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
|
|
|
x2 + 3x |
|
|
|
|
|
|
ln(9 − 2x2 |
) |
|
|
|
π |
||||
а) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
; |
в) |
lim arccos x − |
|
ctgx ; |
|
ln x |
|
|
|
|
sin(2π x) |
|
2 |
|||||||||||
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
x→0 |
|
||||||
г) |
|
1 |
|
|
|
1 |
; |
д) |
lim(ctg(3x)) |
sin(3x) |
. |
|
|
|
|||||
lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2x − 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f ( x) = x − 2x .
202
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный технический университет Кафедра “Высшая математика” им. В.В. Пака
Индивидуальные домашние задания
по высшей математике
Часть 3. Интегральное исчисление
Донецк – 2011
203
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Модульный блок № 3
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 1
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
1 |
− sin3 x |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|||
а) ∫ |
|
|
2 |
|
dx ; |
б) ∫ 14x |
|
+ |
|
|
|
dx . |
|
sin |
x |
|
1 + x |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Метод замены переменной интегрирования
а) ∫ e |
2 x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
1 + ln x |
dx |
; |
|
|
в) ∫ |
arctg x + x |
dx . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) ∫ ln x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ x e2 x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ x arctgx dx ; |
|
||||||||||||||||||||
г) ∫ x2 cos x dx ; |
|
|
|
|
|
д) ∫ e2 x sin x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
x + 5 |
|
|
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 − |
4x − |
4x |
2 |
|
|
|
|
|
9x2 + 6x + 13 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ 2x3 |
|
+ 1 dx ; |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) (x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ sin 2 x cos2 x dx ; |
|
б) ∫ cos3 (2x)dx ; |
|
|
|
в) ∫ tg 5 x dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ sec |
4 |
x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
е) ∫ sin (2x)cos (3x)dx ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 (4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ж) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 + 3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ 3 |
|
x + 1 |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
4 − x2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ x2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) ∫ (25 + x2 ) |
|
|
25 + x2 |
; |
|
x2 − 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
∫ |
|
|
6x + 7 |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ sec |
4 |
( 2x )dx |
|
||||||||||||
|
7 x |
|
− 2x + |
|
|
dx ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
− 4x |
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
д) |
∫ ln ( 3x + 23) dx ; |
е) ∫ sin6 (5x)dx ; |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
+ 5sin x + 2cos x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( 3x + 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ж) ∫ x2 |
|
9 − x2 dx ; |
|
з) ∫ |
|
|
3x − 5 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
(x − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
204
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 2
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
−2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
а) ∫ x |
(1 − x) |
dx ; |
|
5 sin x + |
|
|
|||
|
|
б) ∫ |
1 − x |
2 |
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
ex + e2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ tg (5x)dx ; |
|
б) ∫ |
x3 |
|
dx ; |
в) ∫ |
dx . |
|||||||||||||||||
|
|
1 − x8 |
1 + e2 x |
||||||||||||||||||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
x |
|
|
|
|
б) ∫ x sin (5x)dx ; |
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) ∫ x |
|
|
e |
|
2 dx ; |
|
в) ∫ x arctg |
|
dx ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
г) ∫ x ln( x2 + 3) dx ; |
д) ∫ e2 x cos x dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
2x − 6 |
dx ; |
б) ∫ |
|
3x + 1 |
|
dx . |
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
8x − x2 − 12 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ 5x + 7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
3x + 5 |
; |
б) ∫ |
x3 + 5x − 1 |
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
4 |
+ x |
2 |
x |
3 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
а)
д)
∫
∫
cos 5 x |
dx ; |
б) ∫ sin |
6 |
(3x)dx ; |
в) ∫ ctg |
3 |
(2x)dx ; |
г) ∫ |
|
dx |
|
; |
||||
sin |
3 |
x |
|
|
sin |
3 |
(2x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos ec4 x dx ; |
е) ∫ sin (5x)cos (3x)dx ; |
ж) ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|||||
3sin x − 4 cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫ |
dx |
|
|
б) ∫ |
|
|
2 |
|
|
x + 1 (3 x + 1 + 1) ; |
9 − x |
|
dx ; |
||||||
в) ∫ |
dx |
; |
|
г) ∫ |
x2 − 1 dx |
. |
|||
x2 16 + x2 |
|
x |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Разные интегралы
а) ∫ ( 8x + 9 )8− x dx ;
г) ∫ 5x 4− x 2 dx ;
ж) ∫ arcsin x dx ; 2 − x
|
|
x |
|
3 |
|
|
9 − 10x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||
б) ∫ |
5 cos x − e |
|
+ |
4 − x |
2 |
dx ; в) ∫ |
15 − 6x − x |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) ∫ cos (9x)cos (11x)dx ; |
|
е) ∫ |
9x2 − 1 dx |
; |
|
||||||
|
3x |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) ∫ tg 3 (3x − 4)dx .
205
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 3
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
x |
|
||
а) ∫ sin |
|
|
− |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 − 3x + 7x4 |
|
||
cos |
|
|
dx ; б) ∫ |
x |
dx . |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
2. Метод замены переменной интегрирования
а) ∫ 2 5x dx ; |
б) ∫ |
|
x |
dx ; |
|
|
1 |
− x2 |
|
3. Метод интегрирования по частям |
|
|||
а) ∫ arccos x dx ; |
б) ∫ x−5 ln x dx ; |
|||
г) ∫ arctgx dx ; |
д) ∫ ex sin(2x)dx . |
в) ∫ arcsin 2 x + 1 dx . 1 − x2
в) ∫ x2 3x dx ;
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
x + 2 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
1 − x |
|
dx . |
|
|
|
||
|
9x |
2 |
− 6x |
+ 13 |
5 − 4x − x2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
x3 + 3 |
|
|
б) ∫ |
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
x2 (x2 + 1)dx . |
|
|
|
||||||
|
|
x3 − x2 − 2x |
|
|
|
||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|||||||||||||
|
а) ∫ sin4 (2x)cos2 (2x)dx ; |
б) ∫ cos5 x dx ; |
в) ∫ tg 3 (2x)dx ; |
г) ∫ sec4 (3x)dx ; |
|||||||||||||
|
д) ∫ |
|
dx |
|
|
|
е) ∫ cos(2x)cos(3x)dx ; |
|
ж) ∫ |
dx |
|||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
cos3 (2x) |
|
|
|
3 + cos x |
||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
x |
dx ; |
б) ∫ |
1 − 4x2 dx ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2x + 1 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) ∫ |
|
|
|
dx |
|
; |
г) ∫ |
x2 − 9 dx |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
(1 + x2 )3 |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ 3 |
|
8 |
|
2x + 1 |
dx ; |
|||
|
2x + 1 − |
|
2x + 1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
г) ∫ |
7x4 − 5x + |
2 |
dx ; |
|
||||
x |
3 |
+ x |
2 |
− 2x |
|
|||
|
|
|
|
|
ж) ∫ ( 7 − x)sin ( 9x )dx ;
б) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
) 3 |
; |
|
|
в) ∫ sin |
3 |
x cos |
5 |
x dx |
; |
||||
|
|
(1 + 16x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
д) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
е) ∫ |
|
6x + 7 |
|
dx ; |
|
||||
|
sin |
3 |
(3x − 5) |
|
|
|
x |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x + 1 |
|
|
|||||||||
з) ∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos |
|
|
+ sin |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
206
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 4
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) ∫ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
3 dx ; |
|
б) ∫ |
cos |
|
|
|
+ sin |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ ctg (3x)dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
x2 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
в) ∫ |
3x − 5arctg 2 x |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
1 + x |
3 |
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ (4 − 3x)e−3x dx ; |
|
б) ∫ (x + 5)sin (3x)dx ; |
|
|
в) ∫ arcsin (4x)dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ ln (x + 34) dx ; |
|
|
|
д) ∫ e3x sin(2x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
3x + 1 |
|
|
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
|
4 − x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
|
− 4x − |
2x |
2 |
|
|
|
|
x2 + 8x + 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
x3 + 1 |
|
|
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(x − 2)(x − 4) |
|
|
x |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 16x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ sin2 x cos3 x dx ; |
б) ∫ cos4 (3x) dx ; |
|
|
в) ∫ ctg 3 (2x)dx ; г) ∫ cos ec4 x dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ sin (3x)cos x dx ; |
|
|
|
|
ж) ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
cos3 (5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + 6sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ 3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
x4 dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
− x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
г) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(4 + x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
7x5 |
dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
7x − 15 |
|
dx ; |
|
|
в) ∫ |
6 |
|
dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
3 |
− 64 |
|
|
|
|
4x |
2 |
− 2x + |
5 |
|
|
7x |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
||||||||||||||||
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
д) ∫ sin |
5 |
x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
е) ∫ |
10x8 |
− 11x |
dx |
; |
|||||||||||||||
|
2 |
|
+ 3cos x + 4 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з) ∫ x tg 2 ( 3x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ж) ∫ |
|
|
1 − 121x2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
207
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 5
Вычислить неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|||||||
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
|||||||||||
|
(1 − 2 |
|
x )2 |
|
−2 |
|
2 |
|
|
||
а) ∫ |
|
|
|
dx ; |
б) ∫ cos |
|
x + |
|
|
|
dx . |
x |
2 |
|
|
sin |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
в) ∫ x − arccos x dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ e5x dx ; |
|
|
|
|
б) ∫ 3 |
x3 − 8 x2 dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ arctg ( |
8x − 1)dx ; |
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ (3x + 4)e3x dx ; |
б) ∫ (2 x − 5 )cos (4 x )dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ ln (x + 3)dx ; |
|
д) ∫ 5x sin x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
3x + 2 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
2 |
− |
6x + |
10 |
|
|
|
|
7 |
− 12x − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
x5 − 12x3 + 7 |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
2x |
+ 1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
x |
3 |
− 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin5 x cos2 x dx ; |
б) ∫ sin 4 (3x)dx ; |
в) ∫ tg 3 (4x)dx ; |
г) ∫ sec4 (2x)dx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
е) ∫ sin (3x)sin (5x)dx ; |
|
|
|
|
|
ж) ∫ |
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
sin3 (5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ x2 |
|
|
4 − x2 dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
|
x4 dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) ∫ |
|
x2 |
|
|
dx |
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
x2 − 1 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
9 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
12x − 1 |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
7 |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ cos ec |
4 |
( 5x )dx ; |
|||||||||||||||
|
|
|
9 − 6x − x2 |
5 − 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
|
|
15 |
x |
|
|
|
; |
д) ∫ |
|
|
3x2 + 5 |
|
; |
|
|
|
|
|
е) ∫ ( 3x − 1 )2 |
x |
dx ; |
|||||||||||||
|
3 x − x dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
(x2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ ( 9 − 5x)sin ( 2x )dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
з) ∫ |
5tg x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
7 cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
208
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 6
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
а) ∫ |
11x − 2 dx ; |
б) ∫ (5tg x + 3ctg x)dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
в) ∫ 3arcsin4 x + 9x dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫102 x − 5 dx ; |
|
|
|
|
б) ∫ x 2x2 + 7 dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) ∫ ( 5 − 6x)e2 x dx ; |
б) ∫ ( 4x + 7 )cos ( 2x )dx ; |
|
в) ∫ arccos ( 3x − 1)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
ln (2x − 9) |
|
|
|
|
д) ∫ 3x cos (5x )dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
( 2x − 9 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
4 − 3x |
|
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
2x + 5 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
10 − |
6x + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 − 12x − x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
5x3 − 2x2 + 9 |
б) ∫ |
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x (x + 1 )(x − 3 ) |
|
3x4 + 6x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin3 (3x )cos2 ( 3x )dx ; |
б) ∫ cos4 (2x − 5)dx ; |
|
в) ∫ ctg 4 (5x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ cos ec |
4 |
x dx ; |
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
е) ∫ cos(2x)cos(5x)dx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 3 (4 x + 1 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
sin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 + sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
в) ∫ |
|
dx |
|
|
|
2 |
|
|||
|
а) ∫ |
1 + 3 x4 + 1 dx ; б) ∫ |
36 − x |
|
|
dx ; |
|
|
(64 + x2 )3 |
; |
г) ∫ |
x |
|
− 16 dx . |
||||||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) ∫ arccos ( 8x )dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
в) ∫sin2( 3x )cos4( 3x )dx; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( 4 + x2 )3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ ctg 4 ( 2x − 1 )dx ; |
д) ∫ sin (4x)sin (3x)dx ; |
|
е) ∫ ln ( x + 22) dx ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (1− 2x2 ) |
|
|
|
|
( x + 2 ) |
||||||||
|
ж) ∫ x |
2 |
9x |
2 |
− 1 dx ; |
з) ∫ |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 + x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
209