IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 13
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x3 + 5x ; б) f (x) = cos (2x + 3) ;
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = e |
x |
2 |
− sin |
( |
3x ) + |
1 |
|
ln |
(x |
2 |
) |
+ |
3 |
3 |
− 2x ; |
б) y = ln |
|
3 |
x − 1 |
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ arcsin |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) y = ( ctg (2x) ) x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) y = 10− b 2 t + 4 log3 (t 2 − 1 ); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
д) y = arcctg |
(π |
− x |
); |
|
|
|
|
е) ye |
+ 5 |
= xy ; |
|
|
|
y = cos |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
x = t 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = cos 2x + sin x, x0 = π ; |
б) x = cos 2t + 1 |
; |
в) 6 x2 + y2 = 4 − y . |
|
y = sin 2t |
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y 2 = (4 + x) 3 , x0 = − 4 ; |
|
2 t |
, t0 = 0 . |
б) x = e |
|
||
|
y = e 3 t |
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
tg |
(5x) |
|
|
|
ln(9 − 2x2 ) |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
; |
|
б) lim |
|
|
|
; |
в) lim x ln 1 |
+ |
|
|
|
; |
|||
tg |
(3x) |
|
|
sin(2π x) |
x |
2 |
|||||||||||||
x→π |
|
|
x→2 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
|
|
− ctgx |
; |
д) lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 sin x |
|
|
|
|
x→ 0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f(x) = 3x − 2 . x + 1
190
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 14
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = 5x2 − x + 1; б) f (x) = 5 cos (3x) .
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = sin 3 (x2 + 3x + 1)+ 5 |
1 |
; |
||||
|
|
|
|
|
x |
|
в) y = (3 − x)3 x ; |
|
|
|
|
||
|
|
π 2 |
− 2t 6 |
; |
|
|
д) y = |
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = |
x |
|
1 |
+ cos (2x) |
|
|
3 − x |
; |
||
|
|
+ 7 |
||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
1 |
− cos (2x) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
г) y = 3 x 2 − 4x e x 3 + 1 ; |
|
|
|
|
|||||
y |
= |
1− x |
x |
ж) |
|
y = t − 1 |
. |
||
е)tg |
|
1+ x |
tg |
. |
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
x = tg 2t |
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = 2x3 − 5x , x0 = 0 ; |
б) x = arctg t |
; |
в) x2 + 2x + y2 − 8y + 3 = 0 . |
|
y = ln (1 + t 2 ) |
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y 2 = 4 − x, y0 |
= − 2 |
; б) |
x = cos t , |
t0 |
= |
π . |
|
|
|
y = sin t |
|
|
4 |
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
ln(x + 1) ; |
|
|
|||
x → ∞ |
3x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
; |
г) lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
x2 |
||||
x→0 sin x |
|
|
|
б) lim |
sin (5x) |
; |
|
||
x→π tg (3x) |
|
1
д) lim(ctg x)ln x .
x → 0
|
|
1 |
|
; |
в) lim tg x ln |
|
|
||
x→0 |
x |
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x −x 4 .
191
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 15
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = 4x + 5 ; б) f (x) = 10 ln (2x).
2.Продифференцировать указанные функции.
|
1 |
|
|
|
|
− |
x |
|
|
2 |
|
x |
|
|
а) y = ln |
|
|
|
|
; |
б) y = cos |
|
|||||||
|
|
|
+ 10 |
|
|
|
|
|
|
+ |
||||
|
2 |
|
|
|
|
5 |
||||||||
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (5 x ) |
; |
−1
1cos x
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) y = (4 − 8x)ln |
|
|
; |
|
|
г) y = e− 3x cos ec2 (6x); |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
3 |
+ t |
||
|
|
|
|
|
y = t |
|
||||||||||
д) y = arctg |
|
|
|
|
|
|
; |
е) x y + x y |
|
+ y |
= 0 . |
ж) |
|
|
|
2 . |
|
|
− x |
2 |
|
|
x = e t |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
|
x |
|
2 |
|
|
|
t |
+ 1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
а) y = 2 |
+ x |
, x0 |
= 0 ; |
x = e |
|
; |
в) x |
− 8x + y |
− 2 y = 0 . |
|||||
|
|
б) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y = e 3 t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y 2 = 4 − x, x0 = 2 ; |
б) x = 2t − 1 |
, |
t 0 = 1. |
|
y = 1 − 4 t 2 |
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
3x2 + x |
; |
|
|
|||
x→ ∞ |
e3x + 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
|
1 |
|
; |
||
tgx − |
|
||||||
|
π |
||||||
x→π |
|
|
x − |
|
|
||
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
б)
д)
lim |
|
1 − x2 |
|
|
; |
|
|
|
в) lim(sin x ln x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→1 sin (π x) |
|
|
|
|
x→0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
π x |
|
|
|
π x |
tg |
|
|
|
||||
|
|
||||||||
|
2 |
|
. |
||||||
lim tg |
|
|
|
|
|||||
x→1 |
4 |
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = |
4x |
. |
|
4 + x |
|||
|
|
192
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 16
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x2 − 2x + 7 ; б) f (x) = ln (3x + 1).
2.Продифференцировать указанные функции.
|
4 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 − x2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = 3 tg |
|
( x |
|
+ 5x ) + ln |
|
|
; |
б) y = |
4 |
2x + 1 |
+ sin ( |
x ); |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) y = (x2 + 1) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 x + 1 ; |
|
|
|
|
г) y = 3 |
cos (7 x) e9 − x 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = arccos |
|
2 |
|
|
д) y = arcctg(t |
|
); |
|
|
|
е) y2 − 2xy + b2 |
= 0 ; |
ж) |
|
|
|
|
|||||||||
|
− π |
|
|
|
|
|
1 + t |
|
. |
||||||||||||
|
|
π + t 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arcsin |
1 + t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
а) y = cos 2x + sin x, |
x0 = π ; |
|
x = e |
|
; |
в) |
+ |
y = 2 . |
|
|
|
||||||||||
|
б) |
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e 5 t + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
ра: а) |
y = 4x − x |
, x0 |
= 4 ; |
x = t |
|
, t0 = 1. |
|
|
б) |
|
|||||
|
|
|
|
|
y = t 2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
|
tg x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
eπ − ex |
|
1 |
|
x |
|
|
||
а) lim |
|
|
|
; |
|
б) lim |
|
|
|
|
|
; |
в) lim |
ln ( e |
|
+ x) |
; |
tg (3x) |
|
sin |
(5x) − sin (3x) |
|
|||||||||||||
x→ π |
|
|
x→π |
|
x→0 x |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
д) lim x |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) lim ctgx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x −8 4 .
193
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 17
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x x+ 1 ; б) f (x) = ln(3x + 1) .
2.Продифференцировать указанные функции.
а) |
|
|
1 − 2 x |
|
|
5 |
|
; |
y = 5 |
x |
+ 7 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
x ); |
|
в) |
y = (x2 + 5x)sin ( |
|
||||||
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
д) y = 4 |
arcctg |
|
− 1 |
; |
||||
|
|
|
|
|
б) y = (1 + |
1 + x |
2 |
) |
5 |
|
3x |
; |
|
|
|
+ ln |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y = tg 3 (2x) cos2 (3x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
е) e |
y |
sin x = e |
− x |
cos y ; |
ж) |
|
1+ t 2 |
|
. |
||
|
|
|
|
3 a t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y = |
1+ t |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = (1 + x 2 ) arcctgx, x0 |
= |
π |
; |
б) x = ln t |
; |
в) 2 x + 2 y = y ln 2 . |
|
|
4 |
|
y = t 2 |
+ 1 |
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
x = t 2 |
|
||
ра: а) y = 4x − x 2 , x0 = 0 ; |
б) |
|
3 |
, t0 = 3. |
|
y = t |
|
− t |
|
|
|
3 |
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
x3 |
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ e5x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
; |
г) lim |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
2x − |
2 |
|
3x−1 |
|
|||||
x→1 |
|
|
− 1 |
|
2cos 2 x − 1
б) lim ( ) ; x→ π2 ln sin x
д) lim x2 x .
x→0
|
(1 |
− x |
2 |
|
π x |
; |
|
в) lim |
|
) tg |
2 |
|
|||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x 2 . x − 9
194
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 18
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x −1 2 ; б) f (x) = 2 ln (7x) .
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = |
2 − x |
2 |
|
+ x + e |
− x + 1 |
; |
б) y = |
sin3 x |
|
1 − 8x |
|
; |
|||||
|
|
|
|
1 + 2x |
+ ln |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
3 − x 2 |
; |
|
|
|
г) y = 10 |
x + 2 x 2 |
|
10 |
|
; |
|||||
в) y = ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π 2 + t 2 |
|
; |
|
е) x y |
= y x ; |
|
|
ж) x = a (cos t − sin t ) . |
|||||
д) y = arcctg 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = a (sin t + cos t ) |
|||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
а) y = arcctg (5x + 1), x0 = 0 ; |
б) x = t 2 |
; |
в) 3 y − xy = 5 . |
|
y = ln t |
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
|
3 |
t |
|
|
π |
|
ра: а) y x = 4, x0 = − 4 ; |
x = cos |
|
, |
t0 = |
. |
||
б) |
3 t |
4 |
|||||
|
y = sin |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
ln2 x ; |
|
|
|
б) lim |
ln (cos (2x)) |
; |
в) lim ( ( π − 2x ) tgx ); |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
x → ∞ |
x |
|
|
|
|
|
x→π ln (cos (4x)) |
|
x→ |
π |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|||
г) lim |
|
|
|
− |
|
|
|
; |
д) lim 1 + |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2x − 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
x→1 x −1 |
|
− 1 |
|
x → ∞ |
x |
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x + 2x .
195
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 19
1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = |
|
|
5 |
; б) f (x) = 5cos (3x) . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
+ 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Продифференцировать указанные функции. |
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
y = ln ( |
3 |
4 − x |
2 |
+ x )+ |
2 |
1 − x |
; |
б) y = |
tg ( |
x ) |
+ ctg |
3 |
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 − x2 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||
|
y = ( x 2 + 5 x )ln (x 3 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
в) |
|
|
|
|
|
г) |
y = eln (t 2 ) 3 |
cos (8t ) ; |
|
|
||||||||||||
д) y = arcsin (e x 2 ); |
|
|
|
|
|
|
е) |
y tgx − ctg(x − y) = 0 ; |
ж) x = sin 2 t |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = cos (2t ) |
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций. |
|
|||||||||||||||||||||
а) y = ctg (2x) + tg (2x), x0 |
= π |
; |
|
|
|
3 |
|
|
; |
|
|
|
в) ex + e y = ex + y . |
|
||||||||
|
б) x = |
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
y = t 3 + 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) |
yx = 4 , x0 = 1; |
|
б) x = t cos t |
, t 0 = |
π |
. |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= t sin t |
4 |
|
||
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя. |
|||||||||||||
|
а) lim |
3x2 |
; |
|
|
б) lim |
ln (sin x) |
; |
в) lim(arcsin (1 − x) ctg (1 − x)) ; |
||||
|
|
|
|
( 2 x − π ) 2 |
|||||||||
|
x→ ∞ e7 x |
|
|
|
x→ π2 |
|
x→1 |
||||||
|
|
1 |
|
4 |
|
д) lim(sin (2x)) |
tg x |
|
|
|
|
||
г) |
lim |
|
|
− |
|
; |
|
. |
|
|
|
||
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
x→ − 2 x + 2 |
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = xx ++ 53 .
196
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 20
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: a) f (x) = x +x 2 ; б) f (x) = 2 sin (5x) .
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = |
5 |
(1 + e |
x |
) |
3 |
+ tg |
2 |
(3x) ; |
б) y = ln |
|
1 − 3 x |
|
2 |
3 − x 2 |
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
x |
|
3 |
|
|
|
|
|||
в) y = ( ctg (5x) )x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
г) y = a |
|
13 − 12 t |
e10 − |
t 6 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
2 x + y |
|
|
|
|
|
|
+ t |
2 |
|||
д) y = ln (arcsin ( |
|
1− e |
)); |
е) xy = e |
; |
|
|
|
ж) |
x = 2t |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций. |
|||
а) y = (x 2 + 1) e3 x , x 0 |
= 0 ; б) x = cos (3t ) |
; |
в) 3 x + 3 y = y . |
|
y = sin (3t ) |
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y = sin x, |
x 0 = π ; |
|
|
|
б) x = t − sin t , |
t 0 |
= |
π . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1 − cos t |
|
|
4 |
||
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя. |
|||||||||||||||||
а) lim |
|
tg (5x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
3 5x − 2 x |
|
; |
|
в) lim(ln x ln(x − 1)) ; |
|
x→π |
|
tgx + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 x − sin (9x) |
|
|
x→1 |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) lim |
− |
|
|
|
|
; |
д) lim(tg (3x)) sin x . |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
x→0 sin 2 x |
|
|
2 |
|
|
x → 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = xx −− 34 .
197
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 21
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = 3x2 + x − 1; б) f (x) = cos (x / 2).
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = (3 − 5 |
x |
) |
3 |
+ |
tg ( x ); |
|
|
2x + 4 |
|
|
3 |
|
; |
||
|
|
б) y = ln cos |
|
|
+ cos |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
в) y = (arcctg (3x)) |
x + 4 |
; |
г) y = e |
9 − 5x |
sec |
2 6x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
д) y = 3 ( arccos (t 3 − π 4 ) )4 ; |
е)sin y = x y 2 ; |
|
|
t |
|
. |
|||||||||
|
ж) x = |
t 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3 |
− t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций. |
|||||||||||
a) y = |
ln (x − 2) |
|
, x0 = 1; |
б) x = cos (2t ) |
, t 0 |
= |
π |
; |
в) x |
+ y = 2 . |
|
x + 2 |
4 |
||||||||||
|
|
y = 5 sin (2t ) |
|
|
|
y |
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y = |
|
8 |
, x 0 = 2 ; |
б) x = 3 cos t |
, |
t0 |
= |
π . |
|
+ x 2 |
|||||||
4 |
|
y = 2 sin t |
|
|
|
4 |
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim |
|
(x + 1) 2 |
; |
|
|
б) lim |
6 |
2 x − 7 − 2 x |
; |
в) lim(x ln x) ; |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→ ∞ |
e 3x |
|
|
|
|
x → 0 sin (3x) − 2x |
|
x→ 0 |
|||||
г) lim |
tg x |
|
sin x |
|
1 |
x |
|
|
|||||
|
|
− |
|
|
|
; |
д) lim |
. |
|
|
|||
x2 |
|
x3 |
|
|
|||||||||
x→ − 2 |
|
|
|
|
x→ 0 x |
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = xx +− 12 .
198
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 22
1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: а) f (x) = x3 + 2x + 3 ; б) f (x) = ln (5x + 1) .
2.Продифференцировать указанные функции.
а) y = |
3 |
|
− x |
6 |
|
|
(1 − x ); |
б) y = |
e sin 2 x |
1 − 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
+ ln |
1 + tg (2x) + 4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
tg ( 3x 2 ) |
; |
г) y = 8 |
3 − 2t |
cos (t / 6) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) y = ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (1− t 2 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
2 |
− a |
2 |
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е) cos(x y) = tg(x + y) ; |
|
1+ t |
|
|
|
||||||||
д) y = arcsin |
|
|
2 |
+ a |
2 |
; |
ж) |
2at |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
a) y = (4x + 1)sin x, x0 = 0 ; |
б) x = ctg t |
; |
в) ln x + y 3 = 3xy 2 . |
|
y = sin 2 t |
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
− e |
2 t |
|
ра: а) |
y |
= x |
, x0 |
= 1 ; |
x = 1 |
, t 0 |
= 0 . |
|||
|
|
б) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.
а) lim ln ( sin x ) + 1 |
; |
б) lim |
4 x − 2 7 x |
; |
в) lim( arcsin x ctgx ) ; |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
ln (sin (3x)) |
|
x→0 tg (3x) − x |
|
x→ 0 |
||||||||
|
1 |
|
cos x |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|||
г) lim |
|
− |
|
|
; |
|
д) lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→0 x |
|
x2 |
|
|
x→ ∞ x + 1 |
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x − 5 .
2x
199