Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 13

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x3 + 5x ; б) f (x) = cos (2x + 3) ;

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = e

x

2

sin

(

3x ) +

1

 

ln

(x

2

)

+

3

3

2x ;

б) y = ln

 

3

x 1

 

3

 

;

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = ( ctg (2x) ) x3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

г) y = 10b 2 t + 4 log3 (t 2 1 );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

t

 

д) y = arcctg

(π

x

);

 

 

 

 

е) ye

+ 5

= xy ;

 

 

 

y = cos

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

x = t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = cos 2x + sin x, x0 = π ;

б) x = cos 2t + 1

;

в) 6 x2 + y2 = 4 y .

 

y = sin 2t

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y 2 = (4 + x) 3 , x0 = − 4 ;

 

2 t

, t0 = 0 .

б) x = e

 

 

y = e 3 t

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

tg

(5x)

 

 

 

ln(9 2x2 )

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

;

 

б) lim

 

 

 

;

в) lim x ln 1

+

 

 

 

;

tg

(3x)

 

 

sin(2π x)

x

2

xπ

 

 

x2

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

г) lim

 

 

 

ctgx

;

д) lim

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 sin x

 

 

 

 

x0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f(x) = 3x 2 . x + 1

190

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 14

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 5x2 x + 1; б) f (x) = 5 cos (3x) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = sin 3 (x2 + 3x + 1)+ 5

1

;

 

 

 

 

 

x

 

в) y = (3 x)3 x ;

 

 

 

 

 

 

π 2

2t 6

;

 

д) y =

arcsin

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y =

x

 

1

+ cos (2x)

 

 

3 x

;

 

 

+ 7

 

ln

 

 

 

 

 

 

8

1

cos (2x)

 

 

 

 

 

 

 

г) y = 3 x 2 4x e x 3 + 1 ;

 

 

 

 

y

=

1x

x

ж)

 

y = t 1

.

е)tg

 

1+ x

tg

.

 

 

 

2

 

 

2

 

x = tg 2t

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = 2x3 5x , x0 = 0 ;

б) x = arctg t

;

в) x2 + 2x + y2 8y + 3 = 0 .

 

y = ln (1 + t 2 )

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y 2 = 4 x, y0

= − 2

; б)

x = cos t ,

t0

=

π .

 

 

 

y = sin t

 

 

4

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln(x + 1) ;

 

 

x → ∞

3x

 

 

 

 

 

1

 

 

4

 

;

г) lim

 

 

 

 

 

 

x2

x0 sin x

 

 

 

б) lim

sin (5x)

;

 

xπ tg (3x)

 

1

д) lim(ctg x)ln x .

x 0

 

 

1

 

;

в) lim tg x ln

 

 

x0

x

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x x 4 .

191

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 15

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 4x + 5 ; б) f (x) = 10 ln (2x).

2.Продифференцировать указанные функции.

 

1

 

 

 

 

x

 

 

2

 

x

 

а) y = ln

 

 

 

 

;

б) y = cos

 

 

 

 

+ 10

 

 

 

 

 

 

+

 

2

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin (5 x )

;

1

1cos x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = (4 8x)ln

 

 

;

 

 

г) y = e3x cos ec2 (6x);

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

2

 

3

 

 

3

+ t

 

 

 

 

 

y = t

 

д) y = arctg

 

 

 

 

 

 

;

е) x y + x y

 

+ y

= 0 .

ж)

 

 

 

2 .

 

 

x

2

 

 

x = e t

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

x

 

2

 

 

 

t

+ 1

 

 

2

 

2

 

а) y = 2

+ x

, x0

= 0 ;

x = e

 

;

в) x

8x + y

2 y = 0 .

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = e 3 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y 2 = 4 x, x0 = 2 ;

б) x = 2t 1

,

t 0 = 1.

 

y = 1 4 t 2

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

3x2 + x

;

 

 

x→ ∞

e3x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) lim

 

 

1

 

;

tgx

 

 

π

xπ

 

 

x

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

д)

lim

 

1 x2

 

 

;

 

 

 

в) lim(sin x ln x) ;

 

 

 

 

 

 

 

x1 sin (π x)

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

π x

 

 

π x

tg

 

 

 

 

 

 

2

 

.

lim tg

 

 

 

 

x1

4

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) =

4x

.

4 + x

 

 

192

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 16

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x2 2x + 7 ; б) f (x) = ln (3x + 1).

2.Продифференцировать указанные функции.

 

4

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

1 x2

3

 

 

 

 

 

 

 

а) y = 3 tg

 

( x

 

+ 5x ) + ln

 

 

;

б) y =

4

2x + 1

+ sin (

x );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = (x2 + 1)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x + 1 ;

 

 

 

 

г) y = 3

cos (7 x) e9 x 3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = arccos

 

2

 

д) y = arcctg(t

 

);

 

 

 

е) y2 2xy + b2

= 0 ;

ж)

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

1 + t

 

.

 

 

π + t 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = arcsin

1 + t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 t

 

 

x

 

 

 

 

 

а) y = cos 2x + sin x,

x0 = π ;

 

x = e

 

;

в)

+

y = 2 .

 

 

 

 

б)

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = e 5 t + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

 

2

 

 

 

3

 

ра: а)

y = 4x x

, x0

= 4 ;

x = t

 

, t0 = 1.

 

б)

 

 

 

 

 

 

y = t 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

 

tg x +

3

 

 

 

 

 

 

eπ ex

 

1

 

x

 

 

а) lim

 

 

 

;

 

б) lim

 

 

 

 

 

;

в) lim

ln ( e

 

+ x)

;

tg (3x)

 

sin

(5x) sin (3x)

 

xπ

 

 

xπ

 

x0 x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

;

д) lim x

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

г) lim ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x 8 4 .

193

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 17

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x x+ 1 ; б) f (x) = ln(3x + 1) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а)

 

 

1 2 x

 

 

5

 

;

y = 5

x

+ 7

 

 

 

 

 

 

 

x2

x );

в)

y = (x2 + 5x)sin (

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

д) y = 4

arcctg

 

1

;

 

 

 

 

 

б) y = (1 +

1 + x

2

)

5

 

3x

;

 

 

+ ln

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y = tg 3 (2x) cos2 (3x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

 

 

е) e

y

sin x = e

x

cos y ;

ж)

 

1+ t 2

 

.

 

 

 

 

3 a t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

1+ t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = (1 + x 2 ) arcctgx, x0

=

π

;

б) x = ln t

;

в) 2 x + 2 y = y ln 2 .

 

 

4

 

y = t 2

+ 1

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

x = t 2

 

ра: а) y = 4x x 2 , x0 = 0 ;

б)

 

3

, t0 = 3.

 

y = t

 

t

 

 

3

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

x3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ e5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

;

г) lim

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

 

3x1

 

x1

 

 

1

 

2cos 2 x 1

б) lim ( ) ; xπ2 ln sin x

д) lim x2 x .

x0

 

(1

x

2

 

π x

;

в) lim

 

) tg

2

 

x1

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x 2 . x 9

194

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 18

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x 1 2 ; б) f (x) = 2 ln (7x) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y =

2 x

2

 

+ x + e

x + 1

;

б) y =

sin3 x

 

1 8x

 

;

 

 

 

 

1 + 2x

+ ln

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3 x 2

;

 

 

 

г) y = 10

x + 2 x 2

 

10

 

;

в) y = ctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3π 2 + t 2

 

;

 

е) x y

= y x ;

 

 

ж) x = a (cos t sin t ) .

д) y = arcctg 3

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = a (sin t + cos t )

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = arcctg (5x + 1), x0 = 0 ;

б) x = t 2

;

в) 3 y xy = 5 .

 

y = ln t

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

 

3

t

 

 

π

 

ра: а) y x = 4, x0 = − 4 ;

x = cos

 

,

t0 =

.

б)

3 t

4

 

y = sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

ln2 x ;

 

 

 

б) lim

ln (cos (2x))

;

в) lim ( ( π 2x ) tgx );

 

 

 

 

 

x → ∞

x

 

 

 

 

 

xπ ln (cos (4x))

 

x

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

2 x

 

 

 

г) lim

 

 

 

 

 

 

;

д) lim 1 +

 

.

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

x1 x 1

 

1

 

x → ∞

x

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x + 2x .

195

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 19

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) =

 

 

5

; б) f (x) = 5cos (3x) .

 

 

 

 

x

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Продифференцировать указанные функции.

 

 

а)

y = ln (

3

4 x

2

+ x )+

2

1 x

;

б) y =

tg (

x )

+ ctg

3

4

 

 

 

 

 

 

 

3 x2

 

 

 

;

 

 

 

y = ( x 2 + 5 x )ln (x 3 );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

г)

y = eln (t 2 ) 3

cos (8t ) ;

 

 

д) y = arcsin (e x 2 );

 

 

 

 

 

 

е)

y tgx ctg(x y) = 0 ;

ж) x = sin 2 t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = cos (2t )

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

а) y = ctg (2x) + tg (2x), x0

= π

;

 

 

 

3

 

 

;

 

 

 

в) ex + e y = ex + y .

 

 

б) x =

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

y = t 3 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а)

yx = 4 , x0 = 1;

 

б) x = t cos t

, t 0 =

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= t sin t

4

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

 

а) lim

3x2

;

 

 

б) lim

ln (sin x)

;

в) lim(arcsin (1 x) ctg (1 x)) ;

 

 

 

 

( 2 x π ) 2

 

x→ ∞ e7 x

 

 

 

xπ2

 

x1

 

 

1

 

4

 

д) lim(sin (2x))

tg x

 

 

 

 

г)

lim

 

 

 

;

 

.

 

 

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

x→ − 2 x + 2

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx ++ 53 .

196

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 20

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: a) f (x) = x +x 2 ; б) f (x) = 2 sin (5x) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y =

5

(1 + e

x

)

3

+ tg

2

(3x) ;

б) y = ln

 

1 3 x

 

2

3 x 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

x

 

3

 

 

 

 

в) y = ( ctg (5x) )x 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) y = a

 

13 12 t

e10

t 6 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

2 x + y

 

 

 

 

 

 

+ t

2

д) y = ln (arcsin (

 

1e

));

е) xy = e

;

 

 

 

ж)

x = 2t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

а) y = (x 2 + 1) e3 x , x 0

= 0 ; б) x = cos (3t )

;

в) 3 x + 3 y = y .

 

y = sin (3t )

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = sin x,

x 0 = π ;

 

 

 

б) x = t sin t ,

t 0

=

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 1 cos t

 

 

4

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

tg (5x)

;

 

 

 

 

 

 

 

б) lim

3 5x 2 x

 

;

 

в) lim(ln x ln(x 1)) ;

xπ

 

tgx + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x sin (9x)

 

 

x1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) lim

 

 

 

 

;

д) lim(tg (3x)) sin x .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x0 sin 2 x

 

 

2

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

4 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx 34 .

197

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 21

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = 3x2 + x 1; б) f (x) = cos (x / 2).

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y = (3 5

x

)

3

+

tg ( x );

 

 

2x + 4

 

 

3

 

;

 

 

б) y = ln cos

 

 

+ cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

в) y = (arcctg (3x))

x + 4

;

г) y = e

9 5x

sec

2 6x

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

д) y = 3 ( arccos (t 3 π 4 ) )4 ;

е)sin y = x y 2 ;

 

 

t

 

.

 

ж) x =

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 3

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

a) y =

ln (x 2)

 

, x0 = 1;

б) x = cos (2t )

, t 0

=

π

;

в) x

+ y = 2 .

x + 2

4

 

 

y = 5 sin (2t )

 

 

 

y

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y =

 

8

, x 0 = 2 ;

б) x = 3 cos t

,

t0

=

π .

 

+ x 2

4

 

y = 2 sin t

 

 

 

4

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

(x + 1) 2

;

 

 

б) lim

6

2 x 7 2 x

;

в) lim(x ln x) ;

 

 

 

 

 

 

x→ ∞

e 3x

 

 

 

 

x 0 sin (3x) 2x

 

x0

г) lim

tg x

 

sin x

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

;

д) lim

.

 

 

x2

 

x3

 

 

x→ − 2

 

 

 

 

x0 x

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = xx +12 .

198

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 22

1.Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: а) f (x) = x3 + 2x + 3 ; б) f (x) = ln (5x + 1) .

2.Продифференцировать указанные функции.

а) y =

3

 

x

6

 

 

(1 x );

б) y =

e sin 2 x

1 2x

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

+ ln

1 + tg (2x) + 4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

tg ( 3x 2 )

;

г) y = 8

3 2t

cos (t / 6) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = ctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a (1t 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

a

2

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) cos(x y) = tg(x + y) ;

 

1+ t

 

 

 

д) y = arcsin

 

 

2

+ a

2

;

ж)

2at

 

 

.

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

a) y = (4x + 1)sin x, x0 = 0 ;

б) x = ctg t

;

в) ln x + y 3 = 3xy 2 .

 

y = sin 2 t

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

 

2

 

3

 

 

 

e

2 t

 

ра: а)

y

= x

, x0

= 1 ;

x = 1

, t 0

= 0 .

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

y = e t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim ln ( sin x ) + 1

;

б) lim

4 x 2 7 x

;

в) lim( arcsin x ctgx ) ;

 

 

 

x→∞

ln (sin (3x))

 

x0 tg (3x) x

 

x0

 

1

 

cos x

 

 

 

1

x

 

 

г) lim

 

 

 

;

 

д) lim

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

x2

 

 

x→ ∞ x + 1

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x 5 .

2x

199

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]