IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 2
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ( x2 + 1 )dx ; |
∫ x dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
2
чение интеграла ∫ ex 2 dx .
0
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin x ; |
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
6 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Вычислить указанные интегралы: |
π |
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
2 |
dx |
|
|
|||||
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ x cos x dx ; |
г) ∫ |
3 |
. |
|||||
|
2 |
|
2 + 3x − 2x2 |
x + |
||||||||||||
|
1 |
1 + x |
|
3 |
|
|
π |
0 |
|
x |
||||||
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) x y = 4 ; y = 0 ; x = 1; x = 4 ; |
б) y = x2 4 − x2 ; y = 0 ; x [ 0; 2 ] ; |
в) ρ = cos ( 2ϕ ) .
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 ; |
б) x = 3( t − sin t ) |
; y ≥ 3 . |
|
y = 3(1 − cos t ) |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = 1 − ln ( cos x ) ;
x |
0; |
π |
. |
|
|
6 |
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
y = |
x3 |
; |
x [ 0; 1 ]; ( Ox ) . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
||||||||||||||
∞ dx |
|
∞ arctg x dx |
|
π |
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|||||||||
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
2 |
|
|
|
; |
в) ∫ tgx dx ; |
г) ∫ |
|
|
|
. |
x |
x |
+ 1 |
|
x |
2 |
− 4x + 3 |
|||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
230
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 3
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ex dx ; |
∫ ( x − 1 )dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
π
чение интеграла ∫ sin x dx .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||||
ния f (x) = 3x2 + x ; |
x [ 0; |
2 ]. |
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
π |
5 |
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
2 |
dx |
|
|||||
|
а) ∫ 2 |
dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫ x sin x dx ; |
г) ∫ |
. |
||||||
|
|
4x |
2 |
− 9 |
3x + |
||||||||
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
π |
1 |
1 + 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||||
полнить чертёж. |
б) x = y2 ( y − 1 ) ; x = 0 ; |
|
|
|
|||||||||
|
а) y2 |
= 2x + 4 ; x = 0 ; |
в) ρ = 1 − sin ϕ . |
||||||||||
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
||||||||||
|
а) y2 = x ; x = 1; |
|
|
|
|
|
б) x = 2 ( t − sin t ) . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 (1 − cos t ) |
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
||||||||||||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = 1 − ln ( sin x ) ; |
|||||||||||||
x π ; |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
y = cos x ; |
x |
0; |
π |
|
; ( Ox ) . |
|
|
|
|
2 |
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
dx |
|
|
∞ |
2 x dx |
|
2 |
|
dx |
|
e |
|
dx |
|
||
а) ∫ |
|
|
; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
|
|
; |
г) ∫ |
|
|
. |
9 + x |
2 |
x |
2 |
+ 1 |
|
x |
x |
ln x |
||||||||
0 |
|
|
− ∞ |
|
|
− 2 |
|
1 |
|
231
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 4
1 |
1 |
x |
|
|
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ( x2 + 1 )dx ; |
∫ |
dx . |
||
2 |
||||
0 |
0 |
|
||
|
|
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
π
чение интеграла ∫ cos x dx .
0
3. Найти среднее интегральное значение функции
ния f (x) = 2 x ; x [ 0; |
2] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы: |
|
|
||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
sin |
|
dx |
e |
|
||
|
π |
|
ln x dx |
|||||||
x |
||||||||||
а) ∫ (1 + 2x + 3x2 )dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ |
|||||
|
2 |
|
x |
|||||||
2 |
1 |
|
x |
|
|
1 |
π
на интервале интегрирова-
|
3 |
dx |
|
|
; |
г) ∫ |
. |
||
x +1 + 2 |
||||
|
0 |
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = x2 ; y = 2 − x2 ; |
б) x = 4 ( t − sin t ) |
; y ≥ 4 ; |
в) ρ = 2 cos ( 2ϕ ) . |
|
y = 4 (1 − cos t ) |
|
|
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x2 ; y = x ; |
б) |
x2 |
+ |
y 2 |
= 1 ; y ≥1. |
16 |
|
||||
|
|
9 |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
|
2 |
|
|
|
x = 6 t |
|
|
) |
. |
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
|
− t 2 |
||
y = 2 t (3 |
|
|||
|
|
|
|
|
8.Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии y = sin x ; x [ 0; π ]; ( Ox ) .
9.Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
( x + 3 )dx ; |
∞ ln x dx |
|
3 |
|
dx |
|
|
4 |
dx |
|
|||
а) ∫ |
б) ∫ |
|
3 |
; |
в) ∫ |
|
|
|
|
; |
г) ∫ |
|
. |
|
x |
x |
2 |
− |
4 |
x2 − 4x + 5 |
|||||||||
−∞ |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
232
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 5
12 |
12 |
( x − 3 )dx . |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ x2 dx ; |
∫ |
|
4 |
4 |
|
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
3
чение интеграла ∫ 2x dx .
1
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||
ния f (x) = x2 + 3 ; |
x [ 0; |
3]. |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
||||||
|
π |
8 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|||
|
а) ∫ sin x dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ x 6x dx ; |
г) ∫ |
. |
||
|
x |
2 |
|
|
x + 1 + 2 |
||||||
|
0 |
3 |
|
− 6x + 34 |
0 |
0 |
|
||||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
|
y = sin x ; x [ 0; π ]; |
|
|
|||
|
а) y = ln x ; y = 0 ; x = e ; |
б) y = 3sin x ; |
|
|
в) ρ = 3(1 + sin ϕ ) ; ρ = 3 .
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) x = y2 ; y = x ; |
б) |
x2 |
+ |
y 2 |
= 1 ; y ≥ 2 . |
4 |
|
||||
|
|
9 |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 2 (1 + cos ϕ );
ϕ− π ; − π .
2
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан- |
|||||||||||||||||||||
ным точкам на линии |
x = 2 |
( t − sin t ) |
; |
( Ox ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y = 2 (1 − cos t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
||||||||||||||||||||
∞ |
2 |
|
0 |
|
|
dx |
|
|
|
3 |
|
dx |
|
|
e |
|
|
dx |
|
||
а) ∫ ( x |
+ x − 1 )dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
|
в) ∫ |
|
; |
г) ∫ |
|
|
. |
||||||||
|
|
x |
3 |
− 1 |
|
x |
2 |
− 1 |
x |
3 |
ln x |
||||||||||
0 |
|
|
− ∞ |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
233
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1. |
Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫sin2 xdx; ∫sin5 xdx. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
2. |
Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна- |
|||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
чение интеграла ∫ ln x dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
|||||||||||
ния f (x) = x2 + x − 3 ; |
x [ 0; |
2] . |
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
dx |
|
|
1 |
|
dx |
|
1 |
4 |
dx |
|
|
а) ∫ |
; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ x10x dx ; |
г) ∫ |
. |
||||
|
2 |
|
|
2x + 1 + 3 |
||||||||
|
0 |
1 + x |
|
0 |
7 − 6x − 2x2 |
0 |
0 |
|
||||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
|||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
б) y = ( x − 2 )3 ; y = 4x − 8 ; |
|
|
|
|||||
|
а) y = x3 ; y = 8 ; x = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||
|
в) ρ = 2 (1 + sin ϕ ) ; |
ρ = 2 (вне кардиоиды). |
|
|
|
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x2 ; y = 2x ; |
б) x = 4 cos t . |
|
y = sin t |
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии
y = 1 − x2 + arcsin x ; x |
0; |
7 |
. |
|
9 |
||||
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
y = |
x3 |
; x [ − 2; 2 ]; ( Ox ) . |
|
|||
|
3 |
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
− x |
|
∞ |
|
|
dx |
|
3 |
dx |
|
e |
dx |
|
|
|
а) ∫ e |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|
. |
|||||
|
x |
2 |
+ 2x + 9 |
9 − x2 |
x ln |
3 |
|
||||||||
0 |
|
|
−∞ |
|
|
0 |
|
1 |
|
x |
234
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 7
π |
π |
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ cos x dx ; |
∫ cos3 x dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
π
2
чение интеграла ∫ sin ( 2x )dx .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||
ния f (x) = 3x2 + 2x − 1; x [1; 3]. |
|
|
|
||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
1 |
π |
2 |
3 |
|
|
2 |
dx . |
|||
|
а) ∫ ex dx ; |
б) ∫ sin3 x sin ( 2x )dx ; |
в) ∫ x 5x dx ; |
г) ∫ |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
4 − x2 |
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = sin x ; y = 0 ; x [ 0;π ]; |
б) x = 4 cos t |
; y ≥1; в) ρ = 2 sin ϕ ; ρ = 5sin ϕ . |
|
y = 2 sin t |
|
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x2 ; y = 5x ; |
б) |
x2 |
− |
y 2 |
= 1; y = ± 2 . |
9 |
|
||||
|
|
4 |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 5 (1 − cosϕ ) ;
ϕ− π3 ; 0 .
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
y = |
x2 |
; x [0; 3]; ( Oy ) . |
|
|||
|
2 |
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
dx |
|
|
∞ |
dx |
|
|
5 |
dx |
|
2 |
x dx . |
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
||||
4 + x |
2 |
( x2 − 1 ) |
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
− 2 |
|
|
− 5 x + 5 |
|
1 |
x − 1 |
235
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 8
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ e3x dx ; |
∫ x dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ arctg x dx .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||||||||
ния f (x) = 7x2 − 2x + 6 ; |
x [ 0; |
2] . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
(1+ |
|
x )dx |
|
ln 8 |
|
|
|
|
|
|
π |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
x + 1 |
|
||||||||
|
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ x cos x dx ; |
г) ∫ |
dx . |
||||||||
|
|
x |
2 |
|
e |
x |
+ 1 |
x + 4 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
π |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) x y = 6 ; x + y = 7 ; |
|
|
б) y = e x − 1 ; y = 5ln 2 ; x = 0 ; |
|
|
|
||||||||||
|
в) ρ = sin ϕ ; |
ρ = cosϕ ; ϕ 0; |
π |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = ex ; y = e2 x ; x = 1; |
б) x = 5 cos t |
; y ≥1. |
|
y = 3sin t |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
x = 2 t (3 − t 2 )
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии
y = 6 t 2
(петля).
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии y2 = 4 + x ; x [− 6; 6 ]; ( Ox ) .
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
1
∞ |
dx |
|
|
∞ |
|
5 |
|
dx |
|
|
2 |
x |
|
|
а) ∫ |
|
|
; |
б) ∫ x e− 2 x dx ; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
dx . |
||||||
|
+ x |
2 |
5x − 1 |
4 − x2 |
||||||||||
− ∞ 4 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
236
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 9
π |
π |
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ sin x dx ; |
∫ sin 4 x dx . |
0 |
0 |
2. Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено
3
значение интеграла ∫ arctg x dx .
1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = x2 − 2x + 7 ; |
x [ 0; 1]. |
|
|
|
|
|
||
4. Вычислить указанные интегралы: |
π |
|
|
|
||||
π |
−1 |
|
|
4 |
|
|
||
2 |
dx |
|
3 |
x − 2 |
|
|||
а) ∫ cos x dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫ xsin ( 3x )dx ; |
г) ∫ |
dx . |
|||
5 − 4x − x2 |
x + 2 |
|||||||
0 |
− 2 |
|
0 |
0 |
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
|
|
|
x = 8 cos |
3 |
t |
|
|
|
а) y = x ; y = 2x ; x = 3 ; |
б) |
|
|
; x ≥ 3 3 |
; |
в) ρ = 4 cosϕ ; ρ = cosϕ . |
||
|
y = 8 sin 3 |
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = 2x ; y = 23x ; x = 1; б) |
x2 |
− |
y 2 |
= 1; y = ± 2 . |
4 |
|
|||
|
9 |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
y = |
x 2 − 2 ln x |
; |
|
4 |
||||
x [1; 2] . |
|
|
||
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
|
2 |
|
|
|
x = 9 t |
|
|
) |
; ( Ox ) . |
ным точкам на линии |
|
− t 2 |
||
y = 3t (3 |
|
|||
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
∞ |
− x |
dx |
|
5 |
dx |
|
3 |
|
|
а) ∫ x2 dx ; |
б) ∫ |
e |
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
x dx . |
||
− x |
+ 3 |
x − 2 |
||||||||
− ∞ |
0 |
e |
|
1 |
|
2 |
x − 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
237
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 10
1 1
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ex dx ; ∫ sin x dx .
0 0
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫3 |
( x2 + 7x − 2 ) dx . |
1 |
|
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = |
1 |
; |
x [ 0; 2] . |
|
|
|
|||
3x + 1 |
|
|
|
||||||
4. Вычислить указанные интегралы: |
4 |
|
|||||||
2 |
dx |
|
|
|
e |
+ ln x dx ; |
3 |
3 x + 2 dx . |
|
а) ∫ |
; |
|
|
б) ∫ 1 |
в) ∫ x 7 x dx ; |
г) ∫ |
|||
2 |
|
|
|||||||
1 |
x |
|
|
1 |
x |
1 |
1 |
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = x ; y = 3x ; x = 2 ; |
б) x = 9 cos t |
; y ≥ 2 ; |
|
y = 4 sin t |
|
в) ρ = 3(1 − cosϕ ) ; ρ = 3 (вне кардиоиды).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = |
1 |
; y = 0 ; x = 1; x = 3 ; б) x = ( y − 2 )3 ; x = 2 y − 4 . |
|
x |
|||
|
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
|
|
|
2 |
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
x = 3 t |
|
|
|
y = t (3 − t 2 ) |
||
|
|
||
|
|
|
|
(петля).
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 + ( y − 1 ) 2 = 16 ; от A( 4; 1 ) до B(2 2; 3 ); ( Oy ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
∞ |
dx |
|
|
1 |
dx |
|
4 |
x |
|
|
а) ∫ ( 2x − 7 )dx ; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
dx . |
||||
x ln |
3 |
|
1 − x2 |
x −1 |
|||||||
− ∞ |
2 |
|
x |
0 |
|
1 |
|
238
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 11
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ex dx ; |
∫ cos x dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
π
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чение интеграла ∫ tg x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
|||||||||||||||||||
ния f (x) = x3 − x + 12 ; |
|
x [1; 3]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
ln x dx |
|
7x dx |
|
|||||
|
а) ∫ |
|
; |
б) |
∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
. |
|||||||
|
|
|
|
2 |
+ 4x + |
10 |
x |
4 |
5x − |
|||||||||||
|
0 |
|
|
1 − x2 |
|
− 2 x |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|||||||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
|||||||||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
x = ( y − 2 )3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) y = − x2 + 1; |
y = 0 ; |
|
б) |
x = y − 2 ; |
в) ρ = 3sin ϕ ; |
ρ = sin ϕ . |
|||||||||||||
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
|||||||||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) x y = 5 ; y = 0 ; x = 1; |
x = 2 ; |
б) x =16 cos t ; |
y ≥ 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
|||||||||||||||||||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 2 |
(1 + sin ϕ ) ; |
|||||||||||||||||||
ϕ |
|
π |
; 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии x2 = 4 + y ; x [− |
6; |
6 ]; ( Oy ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
∞ |
( e3x − 1 )dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
dx |
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|||||||
а) ∫ ( 4x |
|
− 15 )dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ |
|
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
. |
||||
|
e |
x |
3x − |
1 |
x ln |
5 |
|
||||||||||||
0 |
|
|
−∞ |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
239