IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 7
1.Даны вершины некоторого треугольника A( − 1; 1) , B ( 3; 0 ) и C (0; 2 ). Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( − 1; 1) , прямая линия l : x − y + 4 = 0 является касательной к окружности.
3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : 4x + y + 2 = 0 и l2 : 4x + y − 8 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 4 ) .
4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в
фокусах эллипса l2 : 3 x 2 + 4 y 2 = 24 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 + 2x + y2 + 4y +1= 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + y2 = 9 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 3x2 − 4 y2 = 12 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 3y2 = 9 . Написать уравнение директрисы.
120
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 8
1.Даны вершины некоторого треугольника A( − 2; 1) , B (4; 1 ) и C ( 3; 2 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 2; 4 ) , прямая линия l : x + y − 1 = 0 является касательной к окружно-
сти.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : x + 3y − 1 = 0 и l2 : x + 3y − 4 = 0 , причем одной из них в точке A( − 2; 1) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 4 x 2 + y 2 = 8 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 4 x + y2 + 2 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 3x2 + 5 y2 = 15 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 8x2 − 3y2 = 24 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 5 x 2 + 4 y 2 = 20 . Написать уравнение директрисы.
121
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 9
1.Даны вершины некоторого треугольника A( − 1; 1) , B (2; 3 ) и C( −1; 3 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( 2; − 1) , прямая линия l : x − 3y + 2 = 0 является касательной к окружности.
3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : 2x + 2 y + 1 = 0 и l2 : 2x + 2 y − 4 = 0 , причем одной из них в точке A(1; 1) .
4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в
фокусах эллипса l2 : 3 x 2 + 2 y 2 = 12 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 + y2 − 6 y − 2x = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 5 y2 = 25 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 4x2 − 7 y2 = 28 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 4 x 2 + 5 y 2 = 20 . Написать уравнение директрисы.
122
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 10
1.Даны вершины некоторого треугольника A(0; − 3) , B( −1; 2 ) и C ( 3; 4 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( 3; − 1) , прямая линия l : x + 6 y − 1 = 0 является касательной к окружности.
3.Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : x + 2 y − 6 = 0 и l2 : 2x − 4 y = 0 , причем одной из них в точ-
ке A( − 2; 4 ) .
4.Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в
фокусах эллипса l2 : 3 x 2 + 5 y 2 = 15 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 + 4x + y2 − 4 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 4 y2 = 8 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 5x2 − 6 y2 = 30 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 2 x 2 + 5 y 2 = 10 . Написать уравнение директрисы.
123
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 11
1.Даны вершины некоторого треугольника A( 2; 0 ) , B ( 4; 2 ) и C(− 3; 2 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M (4; 1) , прямая линия l : 3x − y + 2 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : 3x − y + 3 = 0 и l2 : 3x − y − 1 = 0 , причем одной из них в точке A( 0; − 1) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 4 x 2 + 2 y 2 = 16 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 2x + y2 − 6 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 6x2 + 7 y2 = 42 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 9x2 − y2 = 9 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 9 y 2 + 2 x 2 = 18 . Написать уравнение директрисы.
124
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 12
1.Даны вершины некоторого треугольника A(3; − 2) , B( 2; − 3 ) и C (1; 1 ). Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( 3; − 2 ) , прямая линия l : x + y − 1 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : 2x − y + 8 = 0 и l2 : 2x − y − 1 = 0 , причем одной из них в точке A( 0; 8 ) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 5 x 2 + 6 y 2 = 30 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 + 4x + y2 − 6 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 6x2 + 5y2 = 30 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы x2 − 2 y2 = 8 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 5 y2 = 25 . Написать уравнение директрисы.
125
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 13
1.Даны вершины некоторого треугольника A( 2; 3) , B( −1; 4 ) и C( 0; − 2 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M ( 2; − 1) , прямая линия l : 2x − y + 8 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : x − y + 8 = 0 и l2 : x − y − 5 = 0 , причем одной из них в точ-
ке A( 2; − 3) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 7 x 2 + 2 y 2 = 14 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 2x + y2 − 2 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 2x2 + 7 y2 = 14 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 5x2 − 3y2 = 15 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 4 y2 = 16 . Написать уравнение директрисы.
126
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 14
1.Даны вершины некоторого треугольника A(1; 1) , B( −1; 3) и C ( 2; − 4 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M (1; 1 ) , прямая линия l : 5x − y + 1 = 0 является касательной к окружно-
сти.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : x − 6 y = 0 и l2 : x − 6 y + 5 = 0 , причем одной из них в точке
A(1; 1) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l2 : 7 x 2 + 8 y 2 = 56 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 −10x + y2 + 2y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 9x2 + y2 = 9 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 3x2 − 4 y2 = 12 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса x2 + 7 y2 = 7 . Написать уравнение директрисы.
127
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 15
1.Даны вершины некоторого треугольника A( − 3; 0) , B( 0; −1) и C ( 3; 2 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой M ( 3; 2 ) , прямая линия l : x − 3y + 2 = 0 является касательной к окруж-
ности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллель-
ных прямых l1 : x − 3y − 5 = 0 и l2 : x − 3y + 1 = 0 , причем одной из них в точке A( 2; − 1) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : x 2 + 9 y 2 = 9 , а третья – в центре окружности
l1 : x2 − 2 x + y2 + 6 y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5x2 + 9 y2 = 45 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 9x2 − 3y2 = 18 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 12 x 2 + 5 y 2 = 60 . Написать уравнение директрисы.
128
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 16
1.Даны вершины некоторого треугольника A(3; 2) , B( −1; −1) и C( −1; 3 ) . Требуется найти:
а) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины C ; б) уравнение медианы, проведенной из вершины B ;
в) координаты точки пересечения высот треугольника; г) координаты точки пересечения медиан;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне BC ;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину B под углом π / 4 к стороне BC ;
ж) координаты т. P , симметричной к т. C относительно прямой линии AB .
2.Найти уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой
M (1; − 1 ) , прямая линия l : x + 6 y − 3 = 0 является касательной к окружности.
3. Cоставить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых l1 : x + 6 y + 2 = 0 и l2 : 6 y + x = 0 , причем одной из них в точке
A( 6; − 1) .
4. Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса l 2 : 8 x 2 + y 2 = 16 , а третья – в центре окружности
l 1 : x2 + 6x + y2 − 8y = 0 .
5.Cоставить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2 + 2 y2 = 4 .
6.Cоставить уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ox слева от начала координат, а параметр p равен расстоянию от фо-
куса гиперболы 6x2 − 3y2 = 18 до её асимптоты.
7. Cоставить уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 8 x 2 + 4 y 2 = 16 . Написать уравнение директрисы.
129