IDZ_VysshMatematTerehov

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

ведения простых сомножителей:

Pn (x) = an xn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0 = an (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn ) .

В разложении любого полинома на простые сомножители содержатся либо полиномы 1-ой степени вида x ± a , либо полиномы 2- ой степени x2 + p x + q с отрицательным дискриминантом ( D= p2 −4q < 0, см. ниже решение квадратных уравнений). При разложении полинома на множители могут быть использованы следующие простые

приёмы:

а) вынесение общего множителя за скобки

(x −1)(x + 2) + (x −1)(x2 − 2) = (x −1)(x + 2+ x2 − 2) = (x −1)x(x + 1) ;

−−−−− ====== −−−−− ======

б) объединение в группы членов полинома с целью выделения общего множителя

x3 − 3x2 − 4x + 12 = (x3 − 3x2 ) − (4x − 12) = x2 (x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x2 − 4) =

−−−−−−− =========

= (x − 3)(x − 2)(x + 2) ;

в) разложение какого-либо члена полинома на подобные слагаемые

x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x+ 2 = (x2 + x) + (2x + 2) = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x + 2) .

=== ======

При решении алгебраических и трансцендентных задач необходимо выделять область значений переменной величины, в которой решаемая задача имеет смысл в области действительных чисел (ОДЗ). Под ОДЗ понимается

– область определения функции:

1). Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

=====

2). Выражение, стоящее под радикалом чётной степени, должно быть неотрицательным.

Пример 21. 3x − 4 = 7 ОДЗ: 3x − 4 ≥ 0 .

======= ======

3). Основание логарифмической функции y = log f (x) g(x) должно быть

строго положительным и не равным 1 ( f (x) > 0, f (x) ≠ 1), а её аргумент должен быть строго положительным g(x) > 0 ).

4). Аргументы обратных тригонометрических функций arcsin f (x) и arccos f (x) по модулю не превышают 1: f (x) ≤ 1.

– ограничения, накладываемые на функции при введении новой неизвестной:

20

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

5). Основание показательной функции y = a x должно быть строго положительным и не равным 1 ( a > 0, a ≠ 1 ), а сама функция

a x > 0, x R .

6). Тригонометрические функции sin x и cos x по модулю не должны превышать единицы ( sinx ≤ 1; cosx ≤ 1 ).

– условия отбора вещественных корней:

7). Модуль или радикал чётной степени какого-либо выражения не может быть меньше или равным отрицательному выражению.

Пример 23. 4 5 − x = x + 6 ОДЗ и дополнительное условие: 5 − x ≥ 0 .

x + 6 ≥ 0 2x − 3 < 3 − x Дополнительное условие: 3 − x > 0 .

22.Если два математических выражения соединены знаком "=" ( равно), то такое математическое предложение называется равенст-

вом.

23.Если равенство справедливо для всех действительных значений неизвестных ( s,t,u,v, w, x, y, z ) и коэффициентах при них ( a,b,c,d,...), вхо-

дящих в равенство, то оно называется тождеством, в противном случае – уравнением.

24.Частные значения неизвестной величины, при которых уравнение переходит в тождество, называются решениями или корнями уравнения.

Решить уравнение означает найти все его корни. Если уравне-

ние с одной неизвестной выполняется при всех её действительных значениях (является тождеством), то пишут “ x R ”, а если уравне-

ние не имеет вещественных корней или в результате решения уравнения (неравенства) получают неверное математическое утверждение – “ x R ”.

Уравнения разделяются на алгебраические (над неизвестными совершаются четыре арифметических действия, возведение в степень и извлечение радикала) и трансцендентные (показательные, логарифмические, тригонометрические и смешанные). Процесс решения уравнения может приводить либо к системе, либо к совокупности уравнений.

25.Уравнения образуют систему (обозначается фигурной скобкой "{") уравнений, если в них одноимённые неизвестные обозначают одну и ту же величину.

26.Решением системы уравнений называется такое значение неизвестной (или значения неизвестных), при котором все уравнения си-

21

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

стемы обращаются в тождества, т.е. решением системы уравнений (неравенств) является пересечение множеств решений каждого уравнения (неравенства) системы.

27.Совокупностью (обозначается квадратной скобкой "[") уравнений называется множество уравнений, для которых каждое реше-

ние каждого уравнения совокупности является корнем исходного уравнения, т.е. решением совокупности уравнений (неравенств) является объединение множеств решений каждого уравнения (неравенства) совокупности.

28.Два уравнения называются эквивалентными (равносильными, равнозначными), если каждое решение первого уравнения является решением второго уравнения и наоборот. Преобразования, с помо-

щью которых осуществляется переход от первого уравнения ко второму, называются тождественными.

29.Если корень преобразованного уравнения не удовлетворяет первоначально заданному уравнению, то он называется посторонним (лишним) и подлежит отбрасыванию (преобразование, выполненное над исходным уравнением, называется нетождественным).

Для преобразования исходного уравнения используют следу-

ющие приёмы:

–прибавление (вычитание) из обеих частей уравнения одного и того же выражения;

–умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же выражение (умножение обеих частей уравнения на какое-либо выражение, обращающееся в 0 при некоторых значениях неизвестной,

может привести к появлению посторонних корней. В связи с этим после решения уравнения необходимо производить отбор корней;

–перевод любого члена уравнения из одной части уравнения в другую сопровождается изменением операции на противоположную

(противоположными операциями являются суммирование-вычита- ние; умножение-деление; возведение в степень-извлечение корня и т.п.);

–если уравнение за счёт преобразований приводится к виду

f ( x) g ( x) = 0 ,

то оно эквивалентно совокупности уравнений

– при извлечении чётного корня из частей уравнения

22

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

f 2n (x) = g 2n (x) ,

оно распадается на совокупность уравнений

f ( x) = + g ( x)f ( x) = − g ( x) ;

–возведение обеих частей уравнения в целую положительную степень с одним и тем же показателем степени (здесь возможно по-

явление лишних корней);

–при решении системы уравнений одно из уравнений разрешается относительно одной из неизвестных, которая подставляется во все остальные уравнения системы;

–к любому уравнению системы можно прибавить любое другое уравнение системы, умноженное на любое действительное число не равное 0, при этом исключаются некоторые неизвестные, или система уравнений приводится к более простому виду;

–приведение подобных членов после раскрытия скобок и приведения к общему знаменателю;

–использование различных алгебраических формул.

Аналитические методы решения алгебраических уравнений с полиномами не выше второго порядка приведены в табл. 7.

рень в исходное уравнение, получаем тождество, которое подтверждает правильность найденного решения.

Пример 26. Решить по методу Виета квадратное уравнение x2 + 5x + 6 = 0 . Для данного квадратного уравнения коэффициенты уравнения равны a = 1;

23

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Если коэффициент a = 1 , то, согласно теореме Виета, корнями квадратного уравнения могут быть множители, на которые раскладывается число c или само это число, взятые со знаками ± , т.е. в Примере 26 этими числами могут быть числа ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 . Этот приём применяется для “угадывания” корней при решении уравнений порядка n > 2 . Отметим, что можно найти решение уравнения в радикалах только для уравнений порядка n = 3 и некоторых уравнений порядка n = 4 специального вида (биквадратное и возвратное). Уравнения порядка n = 5 не могут быть разрешены в радикалах (теорема Галуа), они решаются только численными методами. Методы решения кубических и уравнений четвёртого порядков специального вида приведены в табл. 8.

Проверка правильности найденных решений осуществляется путём подстановки значений корней в заданное уравнение, которое при этом обращается в тождество.

Подстановка полученных корней в исходное уравнение обращает его в тождество, что свидетельствует о правильности найденного решения.

25

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Заменой x2 = y ≥ 0 сведём биквадратное уравнение к квадратному уравнению: 4 y 2 + 12 y + 9 = 0 , коэффициенты которого равны a = 4 ; b =12; c = 9 . Дискриминант D = b2 − 4ac = 12 2 − 4 4 9 = 144 − 144 = 0 , следовательно, корни уравнения

уравнение сводится к квадратному уравнению y 2 − 3 y − 5 = 0 . Дискриминант

31.Система уравнений, которая содержит только многочлены пер-

вой степени, называется системой линейных алгебраических уравнений, в противном случае – системой нелинейных алгебраических уравнений.

32.Решением системы с двумя неизвестными x и y , называется

упорядоченная пара чисел ( x0 , y0 ) такая, что подстановка x0 и y0 об-

ращает уравнения системы в тождества.

В общем виде система линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

где a ij (i, j = 1,2) и bk (k = 1,2) вещественные числа. Решение линейной си-

стемы алгебраических уравнений осуществляется следующими спо-

собами:

Пример 30. Решить систему алгебраических уравнений 2x + 3y = 5 .

3x − y = 2

Первый способ: Выразим неизвестную y из второго уравнения и подставим

Второй способ: Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к соответствующим членам первого уравнения

Способы решения нелинейных систем рассмотрим на конкретных примерах.

– сведение к квадратному уравнению.

27

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Данная система уравнений полностью соответствует теореме Виета, то есть x и y являются корнями уравнения z2 − pz + q = 0 , при D < 0 – не имеет вещест-

– подстановка. Применяется тогда, когда хотя бы одно из уравнений системы содержит неизвестную в первой степени.

Пример 32. Решить систему алгебраических уравнений x2 + y2 = p ; p > 0 .

xy = q

Из второго уравнения выразим y = qx (x ≠ 0) и подставим его в первое уравнение системы, которое после очевидных преобразований принимает вид

Решая первое уравнение системы (см. биквадратное уравнение) и подставляя найденные значения x во второе уравнение, получают решения исходной системы.

– исключение старших степеней неизвестных. Применяется тогда,

когда коэффициенты при старших степенях неизвестных пропорциональны.

Умножая первое уравнение системы на 3 , а её второе уравнение – на ( − 2 ), складывая уравнения, получим равносильную систему уравнений:

Подставив у из первого уравнения во второе уравнение, найдём

Для второго уравнения системы дискриминант D = (122)2 − 4 21 204 = −2252 < 0 , т.е. это уравнение действительных корней не имеет, а значит и система в целом вещественных решений не имеет: x R ; y R .

– разложение полиномов на простые сомножители. Используется в случае, когда обе части какого-либо уравнения содержат общий множитель.

28

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Преобразуем первое уравнение системы

x3 + y3 − 3(x + y) = 0 ; (x + y)(x2 − x y + y 2 ) − 3(x + y) = 0 ; (x + y)(x2 − x y + y 2 − 3) = 0 .

Отсюда следует, что заданная система эквивалентна совокупности двух сис-

торых рассмотрены выше (решите самостоятельно).

– замена неизвестных позволяет существенно упростить исходную систему уравнений. В качестве замен используют:

Преобразуем первое уравнение системы, вынеся множитель xy за скобки, по-

Первое и второе уравнения системы содержат полиномы третьей степени, поэтому одно из них можно заменить на однородное (см. определение однородного полинома). Умножив первое уравнение на 4 , а второе – на ( − 13 ), сложив после этого уравнения, получим:

В силу того, что величина x + y ≠ 0 (иначе и левая часть второго уравнения системы обращается в 0 , что невозможно, так как правая часть равна 65 ), по-

29