Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В.

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Донецк-2011

Терехов С.В.

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Донецк-2011

УДК 51 PACS 02 Т35

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет Кафедра Высшая математикаим. В.В. Пака

Т35 Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике. Учебное пособие для студентов физико-металлургических факультетов, других специальностей университетов и технических институтов / Донецк: “Цифровая типография”, 2011. – 428 с.

Для студентов всех специальностей и форм обучения университетов и технических институтов, молодых преподавателей.

Ил. 50. Табл. 64. Прил. 5. Библиогр. с. 424-428 (65 назв.)

УДК 51 PACS 02

© Терехов С.В., 2011

Оглавление

Часть 0. Сведения из школьной математики……………….

Стр.

5

Часть 1 (Модульный блок № 1). Основы линейной и век-

 

торной алгебр, аналитическая геометрия на плоскости и в

 

пространстве…………………………………………………..

63

Задания для самостоятельного решения………………….

64

Тема: Основы линейной алгебры…………………………........

64

Тема: Элементы векторной алгебры……………………..

89

Тема: Аналитическая геометрия на плоскости…………

114

Тема: Аналитическая геометрия в пространстве………

139

Часть 2 (Модульный блок № 2). Пределы, дифференци-

 

альное исчисление……………………………………………...

164

Задания для самостоятельного решения………………….

165

Тема: Пределы…………………………………………………….

165

Тема: Дифференциальное исчисление……………………

178

Часть 3 (Модульный блок № 3). Интегральное исчисле-

 

ние………………………………………………………………

203

Задания для самостоятельного решения…………………..

204

Тема: Неопределённый интеграл………………………...

204

Тема: Определённый и несобственный интегралы……...

229

Часть 4 (Модульный блок № 4). Дифференциальные урав-

 

нения первого и второго порядков, ряды…………………….

254

Задания для самостоятельного решения…………………..

255

Тема: Дифференциальные уравнения первого и второго

 

порядков…………………………………………………….

255

Тема: Ряды……………………………………….………… 280

Часть 5 (Модульный блок № 5). Теория вероятностей,

 

элементы математической статистики…………………...

305

Задания для самостоятельного решения…………………..

306

Тема: Теория вероятностей……….…………….………..

306

Приложение А. Таблица значений дифференциальной

 

функции Лапласа

ϕ (x) =

1

 

x 2

 

…………………………...

356

2π

e 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение Б. Таблица значений интегральной функ-

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ции Лапласа

Φ (x) = 1

e

t

 

dt

……………………………..

364

2

 

 

2π

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема: Элементы математической статистики………..

371

Приложение В. Таблица значений функции

 

…...

396

tγ = t(γ ; n)

3

 

 

 

 

 

 

 

Стр.

Приложение Г. Критические точки распределения

 

…...

396

χ 2

Приложение Д. Таблица значений функций

P(χ 2 > χ

12 )= 1γ

 

 

 

 

 

2

 

 

и

P(χ 2 > χ 22 )= 1+γ

……………………………………………...

397

 

2

 

 

 

 

 

398

Часть 6 (Модульный блок № 6). Тензорная алгебра……….

Задания для самостоятельного решения…………………..

399

Тема: Тензорная алгебра…………………….……………...

399

Список использованных источников……………………….....

424

4

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет Кафедра Высшая математикаим. В.В. Пака

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Часть 0. Сведения из школьной математики

Донецк – 2011

5

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Базовые знания по школьной математике

1. Множество это совокупность однородных объектов, объединённых в единое целое по какому-либо признаку.

Пример 1. Множество книг, множество людей, множество столов, множество чисел.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C ,..., а объекты, входящие в эти множества и называемые элементами, – прописными буквами a, b, c ,... Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a A (квантор “ ” означает “принадлежит”), в противном случае – a A (квантор “ ” означает “не принадлежит”).

2. Если все элементы множества B являются элементами множества A , но не исчерпывают этого множества, то множество B содержится в множестве A ( B A , квантор “ ” означает “содержится”) и называется подмножеством множества A .

3.Объединением (квантор “ ”) множеств A и B называется совокупность всех элементов этих множеств и обозначается A B .

4.Пересечением (квантор “ ”) множеств A и B называется совокупность элементов, которые принадлежат и множеству A , и множеству B , и обозначается A B .

5.Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (нулевым), которое будем обозначать Θ .

Для нас наибольший интерес представляют числовые множества:

– множество натуральных чисел (числа счёта) N : 1, 2, 3, 4,...;

– множество целых чисел Z : ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...;

– множество рациональных чисел Q : числа вида mn ( n ≠ 0 ) , где m ,

n Z .

Напомним, что рациональные числа могут быть представлены в ви-

де периодической десятичной дроби, например, 13 = 0,333333... = 0,3(3) ;

– множество иррациональных чисел I : числа вида 2 , π =3,14..., e =2,7182... Иррациональные числа могут быть представлены в виде

непериодической десятичной дроби;

– множество вещественных (действительных) чисел R : совокуп-

ность всех вышеперечисленных чисел.

Числовые множества связаны соотношением ((N Z Q) I) R . Геометрически множество вещественных чисел R изобража-

ется в виде точек на направленной прямой с выбранным масштабом

6

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

единичного отрезка (числовая ось, рис. 1).

− ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… -3 -2 -1 0 1 2 3 …

 

Рис. 1. Числовая ось.

На числовой оси числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Число, стоящее слева, меньше числа, стоящего справа: 3< − 2 ; 0 > −1 и т.д. Над числами призводятся 4 арифметических действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и другие операции (возведение в степень, извлечение корня и т.д.): 25+17 = 42 ; 36 24 = 12 ; 3 × 24 = 72 ; 16÷ 4 = 4 . Отметим, что при вычитании из меньшего числа большего числа получают отрицательный ответ, так как знак “–” можно вынести за скобку, изменив знаки чисел на противоположные, например, 34 57 = − (57 34) = − 23; вычитание отрицательного числа из отрицательного числа выполняется по указанному правилу, которое приводит к их сложению 19 23= − (19 + 23) = − 42. Вза- имно-обратными действиями являются сложение – вычитание; умножение – деление; возведение в степень – извлечение соответствующего корня и т.д. При умножении или делении чисел действуют следующие правила определения знака ответа: для чисел с одинако-

выми знаками “+”·“+”=“–”·“–”=“+”, а для чисел, имеющих разные знаки “+”·“–”= “–”·“+”=“–”. Для быстрого умножения одного числа на другое используют таблицу умножения (табл. 1):

Таблица 1.

 

 

Таблица умножения

 

 

2·1=2

3·1=3

4·1=4

5·1=5

6·1=6

7·1=7

8·1=8

9·1=9

2·2=4

3·2=6

4·2=8

5·2=10

6·2=12

7·2=14

8·2=16

9·2=18

2·3=6

3·3=9

4·3=12

5·3=15

6·3=18

7·3=21

8·3=24

9·3=27

2·4=8

3·4=12

4·4=16

5·4=20

6·4=24

7·4=28

8·4=32

9·4=36

2·5=10

3·5=15

4·5=20

5·5=25

6·5=30

7·5=35

8·5=40

9·5=45

2·6=12

3·6=18

4·6=24

5·6=30

6·6=36

7·6=42

8·6=48

9·6=54

2·7=14

3·7=21

4·7=28

5·7=35

6·7=42

7·7=49

8·7=56

9·7=63

2·8=16

3·8=24

4·8=32

5·8=40

6·8=48

7·8=56

8·8=64

9·8=72

2·9=18

3·9=27

4·9=36

5·9=45

6·9=54

7·9=63

8·9=72

9·9=81

6. Простым числом называется число, которое делится без остатка только на себя и единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, …; остальные числа называются составными (число 1 не является ни простым, ни составным числом).

Составные числа могут быть представлены в виде произведе-

ния простых чисел (сомножителей).

7

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Пример 2. Представить в виде произведения простых сомножителей состав-

ные числа 39, 106, 276 и 2620.

Решение имеет вид: 39=3·13; 106=2·53; 276=2·2·3·23; 2520=2·2·2·3·3·5·7 или в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2520

2

 

 

 

 

 

 

276

 

2

1260

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

630

2

39

 

3

106

 

2

138

 

2

 

 

 

 

 

 

315

3 .

виде столбцов деления: 13

 

13

53

 

53

69

 

3

1

 

 

1

 

 

23

 

23

105

3

 

 

 

 

 

35

5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

При разложении составного числа на первые 5 простых сомножителей используют признаки делимости, приведенные в табл. 2:

 

Таблица 2.

 

Признаки делимости

Простой

Признак

сомножитель

делимости

2

число заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

3

сумма цифр числа делится на 3

4 (составное)

две последние цифры числа делятся на 4

5

числа заканчивается цифрой 0 или 5

7

разность между числом десятков и удвоенным чи-

 

слом единиц делится на 7

11

разность между суммой цифр, стоящих на нечёт-

 

ных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных

 

местах, делится на 11

7. Числа, которые делятся на 2, называются чётными, а остальные числа нечётными.

Пример 3. Делится ли число 1956 на 3, а число 154 на 7?

Сумма цифр числа 1956 равна 1+9+5+6=21. Так как число 21 делится на 3 (сумма цифр числа 21 равна 2+1=3), то и число 1956 делится на 3. Число десятков у числа 154 равно 15, а удвоенное число единиц 2·4=8, следовательно, их разность 15–8=7 делится на 7. Таким образом, число 154 делится на 7.

8. Величина a называется модулем (абсолютной величиной) числа

a и определяется так:

 

 

a

 

= a,

если a < 0 .

 

 

 

 

 

7

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

a,

если a 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

 

=

;

 

19

 

 

= 19 .

 

 

 

 

 

13

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно определению, модуль любого числа (или выражения) является неотрицательной величиной.

Если число умножается несколько раз само на себя, то действие ум-

8

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

ножения заменяется на возведение в степень, например,

2·2·2·2 =24 =16.

4 двойки

степень 4

9. Степенью действительного числа a с натуральным показателем n ( n N ) называется произведение числа a самого на себя n раз:

an = a a ... a .

14243

n

По договорённости степень 1 не пишут. Например, не пишут 51 в первой степени, а пишут просто 5.

Обратным действием к возведению в степень является извлечение соответствующего корня:

корень 4 степени

4 16 = 4 2 4 = 2 .

Для квадратного корня по договорённости не пишут 2 на полочке корня, например, 49 .

Нельзя извлекать корень чётной степени из отрицательного числа.

В общем случае извлечение корня из вещественного числа a соответствует его возведению в дробную степень:

a = a1/2; 3 a = a1/3 ; 3 a 5 = a5/ 3 ; …

n a m = am / n .

В табл. 3 приведены квадраты 30 чисел, которые наиболее часто встречаются при решении квадратных уравнений, а в табл. 4 приведены их кубы:

 

 

 

 

 

Таблица 3.

 

 

Квадраты 30 чисел

 

 

N

N 2

 

N

N 2

N

N 2

 

1

1

 

11

121

21

441

 

2

4

 

12

144

22

484

 

3

9

 

13

169

23

529

 

4

16

 

14

196

24

576

 

5

25

 

15

225

25

625

 

6

36

 

16

256

26

676

 

7

49

 

17

289

27

729

 

8

64

 

18

324

28

784

 

9

81

 

19

361

29

841

 

10

100

 

20

400

30

900

 

9

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]