Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

8.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 435 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

– в случае		:			x R ;
	b < 0
– в случае				:	a f ( x ) = alog a b f (x) = loga b;
	b > 0,	b ≠ 1, b ≠ a

– в случае	b =1= a0		:		a f ( x) = a0 f (x) = 0 .

Пример 52. Решить показательное уравнение 5 x 2 − 5 x + 6 = 1 .

Перепишем уравнение в виде 5 x 2 − 5 x + 6 = 50 , тогда x2 − 5x + 6 = 0 . По теореме

Виета x1 + x2 = 5	, отсюда x1 = 2, x2 = 3 .
x1x2 = 6

Пример 53. Решить показательное уравнение 3 x − 2 = 4 .

Воспользуемся свойством 14: 3 x − 2 = 3 log 3 4, отсюда по свойству 12:

x − 2 = log3 4 или x = 2 + log3 4 = 2 log3 3 + log3 4 = log3 9 + log3 4 = log3 36 .

б) уравнения, приводящиеся к равенству степеней с одинаковым

основанием a f (x) = a g ( x) , откуда по свойству 12 имеем f (x) = g(x) .

Пример 54. Решить показательное уравнение

2 2 x − 14 x + 1

= 64 .

8 x − 1

Числа 4 , 8 и 64

можно записать в виде 22 , 23

и 26 . Тогда уравнение можно

переписать так:

2 2 x − 1(22 ) x + 1

2 2 x − 12 2 x + 2

2 4 x + 1

x + 4

x − 1

= 2 ;

3 x − 3

= 2 ;

= 2 ; 2

= 2

x + 4

= 6; x = 2 .

3 x − 3

(2 )

в) вынесение показательной функции за скобки

Пример 55. Решить показательное уравнение 5 2 x + 1 + 2 5 2 x + 5 2 x − 1 = 900 . Представим уравнение с учетом свойств 8 и 9 в виде

5 5	2 x	+ 2	5	2 x	+	5 2 x	= 900; 5	2 x	+ 2	+	1	= 900;	36	5	2 x	= 900;
						5		5			5		5

52 x = 125; 52 x = 53 2x = 3 .

г) введение вспомогательной неизвестной (метод замены).

Пример 56. Решить показательное уравнение 4x 2 + 2 − 9 2 x 2 + 2 + 8 = 0 .

Так как

+ 2

= ( 2

)

+ 2

x2 + 2

x 2 + 2

= y > 0,

= 2

, то введём новую неизвестную 2

при этом уравнение приобретает вид y2 − 9 y + 8 = 0 . По теореме Виета

y1	+ y2	= 9	, т.е. y1	= 1; y2 = 8 .
	y2 =	8	, т.е. y1	= 1; y2 = 8 .
y1	y2 =	8
Решим показательные уравнения (см. п. б))
y = 1: 2 x 2 + 2= 1;	2 x 2 + 2= 20 ;			x2 + 2 = 0	x R.
1						.
y2 = 8 : 2 x 2 + 2= 8; 2 x 2 + 2= 23 ;				x2 + 2 = 3	x1 , 2 = m1	.
y2 = 8 : 2 x 2 + 2= 8; 2 x 2 + 2= 23 ;				x2 + 2 = 3	x1 , 2 = m1

д) однородное уравнение вида A a2 f ( x) + B (a b) f ( x) + C b2 f ( x) = 0 .

−	1		−	1	−	1
		+ 6		x = 9		x .
Пример 57. Решить однородное показательное уравнение 4	x

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Числа 4 , 6 и 9 можно записать, как 22 , 2 3, 32 , тогда уравнение перепишется

в виде (2	2	−	1	−	1	2	−	1			−	1	2		−	1	−	1		−	1	2
					x							x				x		x			x
			x	+ (2 3)				x	;	2				+ 2			3		−	3			= 0;	ОДЗ: x≠0. Введём но-
		)				= (3	)

вые неизвестные

−

x = y > 0 и

x = z > 0, тогда имеем

y2 + y z − z2 = 0 .

Решим

это квадратное уравнение с учётом того факта, что

z ≠ 0 :

− 1

= 0 .

Вводя новую неизвестную

= t > 0 ( y > 0 и z > 0 ), получим t2 + t −1= 0 . Дискри-

минант уравнения D = 1 + 4 = 5 > 0;

D =

Вычислим корни уравнения:

t1 =

−1−

5 < 0 – посторонний корень, т.к.

;

> 0

t2 =

− 1 +

5 > 0 – удовлетворяет условию t > 0 .

2 − x− 1

В силу того, что

, поэтому решим уравнение

5−1

5 −1

− 1

5 −1

2 −

5 −1

2 −

2 log

;

−

= log

; x = −log

е) уравнения, требующие знания свойств функций и умения рассуждать.

Пример 58. Решить показательное уравнение 5x x 8x −1 = 500 .

В уравнение входит корень степени x , отсюда x N и x ≥ 2 . Перепишем урав-

			x − 1								3x − 3					x	= 3
нение в виде 5	x	8		3	2	2	;	5	x			3	2	2	;				. Подставив x = 3
	x			3		2			x			3		2
			x = 5							2 x = 5						3x − 3		= 2

																	x
																	x

во второе уравнение системы, убеждаемся в том, что это значение является корнем исходного уравнения.

ж) уравнение вида		A a x + B b x = C c x , не сводящееся к однородному,
может быть преобразовано путём деления на c x ≠ 0 в уравнение
				A g x + B q x = C ,
которое решается только в следующих частных случаях:
– если g q = 1 (числа g				и q являются взаимно-обратными), то, вводя
замену gx = y, qx =	1	=	1	(y > 0, x R), получаем квадратное уравнение
	gx		y

A y2 − C y + B = 0 ;

–если g = qm (или q = g m ), то вводя замену g x = y > 0 и q x = (g x )m = ym , получаем алгебраическое уравнение B y m + A y − C = 0 ;

–если A = B = C = 1 и g 2 + q2 = 1, то полагая g = sinα и q = cosα , получают

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

очевидный корень;

– иногда для таких уравнений удаётся сразу увидеть очевидный корень, после чего доказывают, что других корней нет.

	+	x		−	x	= 10 .
Пример 59. Решить показательное уравнение 5	+	24	+ 5	−	24	= 10 .

Перепишем уравнение в виде (5 +

24 )

+ (5 −

24 )

= 10 и заметим, что числа

5 + 24 и 5 −

являются взаимно-обратными, т.е. (5 +

24 )(5 −

24 ) = 1 .

Поэтому 5 − 24 =

5 +

, следовательно, уравнение принимает вид

(5 + 24)

= 10 .

(5 +

24)

Введём новую неизвестную (5 +

24 )

= y > 0 , тогда имеем

y + 1

= 10 ;

y 2 − 10 y + 1 = 0.

D = 100 − 4 = 96 > 0;

D = 4

6 .

y = 10 − 4 6 =

5 − 2 6 = 5 − 24 > 0, y

= 10 + 4 6 = 5 + 2 6 = 5 + 24 > 0 .

Решим показательные уравнения

: (5 +

24 )

(5 +

24 )

= (5 +

24 ) −1;

= 5 −

24;

x = −2;

y2 : (5 + 24 )

= 5 + 24; (5 + 24 )

= (5 + 24 )1; x2 = 2 .

Пример 60. Решить показательное уравнение 1+ 3

= 2x .

Разделим обе части уравнения на 2 ≠ 0, тогда получим

= 1. Итак,

A = B = C = 1 и

= 1 , поэтому существует такой угол α , для

которого sinα

и cosα =

3 , тогда уравнение можно переписать в виде

sin x α + cos x α = 1.

Сравнивая это уравнение с основным тригонометрическим тождеством

sin2 α + cos2 α = 1

приходим к выводу, что это уравнение (а, следовательно, и исходное уравнение) имеет единственное решение x = 2 .

Пример 61. Решить показательное уравнение 3x + 4 x = 5x .

Уравнение имеет корень x = 2 (теорема Пифагора). Докажем, что этот корень

единственен. Разделим обе части уравнения на		x		3	x		5	x
	4		, получим			+ 1 =		.
				4			4

a f (x)

g(x)

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

		3	x		3
В левой части стоит функция	f (x) =			+ 1 с основанием 0 < a =		< 1	, т.е. она
		4			4

убывает для всех	x R . Справа от знака равенства стоит функция		g(x) =	5	x

				4
с основанием b =	5	> 1 , которая для тех же значений переменной x	возраста-
	4

ет. Графики убывающей и возрастающей показательных функций пересекаются в единственной точке, которой является точка x = 2 .

При решении неравенств надо помнить:

– при основании a > 1 из неравенства a f ( x) > a g( x) ( a f ( x) < a g ( x) ) следует неравенство f (x) > g(x) ( f (x) < g(x)), т.е. знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

– при основание 0 < a < 1 , то из неравенства >a (a f (x) < a g(x)) следует неравенство f (x) < g(x) ( f (x) > g(x) ), т.е. знак неравенства для показателей степеней при 0 < a < 1 изменяется на противоположный.

Пример 62. Решить показательное неравенство 23 − 6 x > 1.

Перепишем неравенство в виде 23 − 6x > 20. Основание показательной функции

a = 2 > 1,

следовательно, для показателей степени имеем неравенство 3−6x > 0,

откуда 6x < 3;

x <

Пример 63. Решить показательное неравенство 2 x + 2 1− x < 3 .

Так как 2 1 − x =

, то введя новую неизвестную 2 x = y > 0 , получим

2 x

y +

− 3 < 0 или y2 − 3y + 2 < 0 ( y > 0 ).

По теореме Виета корни этого уравнения равны y1 = 1 и y2 = 2 , т.е.

y2 − 3y + 2 = ( y − 1)( y − 2) < 0

–

○

y (1; 2) .

Отсюда имеем двойное неравенство 1 < 2x < 2 . Решим неравенства

2 x > 1

;

2 x

> 20

> 0

< 21

(a = 2 > 1) ;

< 1

2 x < 2

2 x

Б. Логарифмическая функция y = loga x

(или y = log a f (x) ( a > 0, a ≠ 1 ))

обладает следующими свойствами:

1)область определения функции x > 0 ( f (x) > 0) ;

2)если 0 < a < 1 , то функция убывает для всех значений x ( f (x)) из области определения функции;

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

3) если a > 1 , то функция возрастает для всех значений x ( f (x)) из области определения функции;

;

6) log

b =

;

log a 1 = 0

log a a = 1

logb a

7) log

logc b

;

8) log

a x

= x ;

;

b =

log

x2n = 2nlog

logc a

10) loga x2 n+1 = (2n + 1) loga x ;

11) log

x =

loga x ;

12) log

m xn =

log

;

13) log

xn = log

;

14) log

(x y) = log

+ log

;

15) log

= log

− log

;

16) aloga x = x – основное показательно-логарифмическое тождество.

Рассмотрим приёмы решения логарифмических уравнений:

а) использование определения логарифмической функции для решения уравнений loga f (x) = b (потенцирование).

41. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени c , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b ( loga b = c b = ac , a > 0, a ≠ 1 ) (логарифмическая функция является обратной функцией к показательной функции).

Пример 64. Решить логарифмическое уравнение log4(2log3(1+ log2(1+ 3log3 x)))= 12 .

Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго положительным, поэтому запишем ОДЗ (см. внутренние скобки):

x > 0
	+ 3 log 3 x >	0
1				.
	+ log 2 (1 + 3 log 3 x) >		0
1
		(1 + 3 log 3	x)) > 0
log 3 (1 + log 2

Решим исходное уравнение и воспользуемся проверкой, т.е. подставим най-

денное решение в исходное уравнение: 2 log3 (1 + log2 (1 + 3log3 x)) = 4 2 . Выраже-

1
ние, стоящее слева положительно, значит для 4	2	=	4 = ± 2 выбираем ариф-
метическое значение корня (знак “+”):
2 log3 (1 + log2 (1 + 3log3 x)) = 2, log3 (1 + log2 (1 + 3log3 x)) = 1, 1 + log2 (1 + 3log3 x) = 31
log2 (1 + 3log3 x) = 2, 1 + 3log3 x = 22 , 3log3 x = 3,			log3 x = 1, x = 3 .

Используя проверку, убеждаемся, что x = 3 является корнем заданного уравнения.

б) использование свойств логарифмов (наиболее часто используют-

ся свойства 7)-15)).

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Пример 65. Решить логарифмическое уравнение

							4
			log3 (x + 1) + log3		(x + 3) − log3			x +
			log3 (x + 1) + log3		(x + 3) − log3		3	x +
x + 1 > 0 x + 3 > 0							3
x + 1 > 0 x + 3 > 0				x > − 1 x > − 3			.
Найдём ОДЗ:		5				5	.
4 x		5				5
	+		> 0	x > −
	+	3	> 0	x > −		4
3		3				4

	5		= 1 .

	3
	3

○

− 3

−

−1

x (−1; ∞) .

4x + 5

Используя свойства 14) и 15), получим log3 [(x + 1)(x + 3)]

− log3

= 1;

+ 4x + 3

− 4x − 5

log

=1;

= 3;

x + 4x + 3

=1;

= 0;

x − 2

= 0;

4x + 5

x2 − 2 = 0;

x2 = 2; x

= −

2, x

= 2 .

Подставляя корни в ОДЗ,

определяем, что

корень x1

= −

2 является посторонним.

в) использование основного логарифмического тождества (свойст-

во 16).

Пример 66. Решить логарифмическое уравнение log2 (9 − 2x ) = 5log 5 (3− x) .

Найдём ОДЗ:

− 2

> 0

;

< 9

;

x < log

x < 3

3 − x > 0

x < 3

3○

log○2 9

x (−∞;3) .

Применим в правой части уравнения свойство 16) log2 (9 − 2x ) = 3 − x . Проведём


потенцирование 9 − 2x = 23−x ; 9 − 2x				=	8	; 2x = y > 0;		8	+ y − 9 = 0; y2	− 9y + 8 = 0	. По те-
потенцирование 9 − 2x = 23−x ; 9 − 2x				=		; 2x = y > 0;			+ y − 9 = 0; y2	− 9y + 8 = 0	. По те-
					2x			y
ореме Виета y1 = 1 и y2 = 8 . Решим показательные уравнения
y = 1	:	2 x = 1;	2 x = 2	0. x			= 0 ОДЗ;
1				1
y2 = 8	:	2 x = 8;	2 x = 23. x2 = 3 ОДЗ – лишний корень.

г) переход к другому основанию (свойство 7)).

Пример 67. Решить логарифмическое уравнение

			log2 (x − 1) + 2 log4 (x + 1) − 3log8 (2x + 1) = 1.
Запишем ОДЗ: x − 1 > 0 x + 1 > 0					x	> 1		x > −1
Запишем ОДЗ: x − 1 > 0 x + 1 > 0				;			1	.
			2x + 1 > 0		x > −
			2x + 1 > 0		x > −		2
							2
○		○	○		x
−1	−	1	1		x (1;			∞).
		1
		2
		2

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Применим свойство 7) log4

(x +

1) =

log2 (x + 1)

;

log2

log2 22

2 log2 2

log2 (2x +1)

log8 (2x +1) =

. Подставим найденные выражения в исходное

log2 8

уравнение log2 (x − 1) + log2 (x + 1) − log2 (2x + 1) = 1; log2

(x − 1)(x + 1)

= 1;

x2 − 1

= 2 ;

2x + 1

x2 −1− 4x − 2

= 0 ; x2

− 4x − 3 = 0 . Решим квадратное уравнение:

D = 16 +12 = 28 > 0 ;

2x + 1

D = 2 7 ;

= 4 − 2

7 = 2 −

7 (≈ −0.65)

x = 4 + 2

7 = 2 +

7 (≈ 4.65)

ОДЗ;

ОДЗ.

д) замена неизвестной

Пример 68. Решить логарифмическое уравнение lg2 x − 3lg x = lg x2 − 4 .

Для данного уравнения ОДЗ: x > 0 . Используя свойство 9), перепишем lg x2 в

виде 2 lg x , тогда имеем lg2 x − 3lg x = 2 lg x − 4 ;

lg 2 x − 5 lg x + 4 = 0 . Введём новую

неизвестную y = lg x , тогда уравнение примет вид y2 − 5y + 4 = 0. По теореме Виета корни уравнения y1 = 1 и y2 = 4 . Решим логарифмические уравнения

y1 = 1:

lg x = 1;

x1 = 10 ОДЗ;

y2 = 4 :

lg x = 4;

x2 = 104 ОДЗ.

е) однородное логарифмическое уравнение

Пример 69. Решить логарифмическое уравнение

x + 10

5 − x

2 lg

− lg

+ 2 lg

−

= lg

ОДЗ имеет вид:

x + 10 > 0

; x > −10 x (−10; 5) . Введём новые неизвестные

5 − x > 0

x < 5

+ 10

5 − x

x + 10

= y

= z , тогда с учётом того, что

= lg

1 x

5 − x

−

= lg

, преобразуем уравнение к виду

2 y

− y z = z

;

2 y

− y z− z

= 0;

= t , приходим к уравне-

2 −

− 1 = 0 . Вводя ещё одну неизвестную

нию z2 ( 2 t2 − t − 1) = 0 , которое эквивалентно совокупности уравнений

z = 0;

y = 0;

2t 2 − t − 1 = 0.

5 − x

= 0

= 1

5 − x = 10

;

Решим первую систему уравнений

x + 10

= 1

x + 10

= 5

x = −5

x = −5 ОДЗ. В силу того, что решения каждого уравнения совпа-

x = −5

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

дают, то	x = −5 является корнем уравнения. Решим второе уравнение сово-
купности	2 t 2 − t − 1 = 0; D = 1 + 8 = 9; D = 3. t = 1− 3		= − 1	;	t	2	= 1+ 3	= 1. Решим ло-
	1	4	2			2	4
		4	2				4

гарифмические уравнения:

		x		+ 10
		lg
				5
t	= − 1 :				= −	1 ;

1	2	5		− x		2
		lg
			10

x + 10

− x

x + 10

5 − x

= 0 ;

2 lg

= − lg

;

+ lg

x + 10 2

5 − x

+ 20x + 100

5 − x

= 0 .

= 0;

= 1; x

+ 15x

− 250

Преобразуем полученное уравнение:

x3 + 5x2 + 10x2 − 250 = 0 или x2 (x + 5) + 10(x2 − 25) = 0 .

Следовательно,

x2 (x + 5) + 10(x + 5)(x − 5) = 0 или

(x + 5)(x2 + 10x − 50) = 0 .

Получен-

ное уравнение равносильно совокупности уравнений x + 5 = 0

. Первое

x2 + 10x − 50 = 0

уравнение даёт уже найденный корень x1 = −5 . Решим второе уравнение сово-

купности x2 + 10x − 50 = 0; D = 100 + 200 = 300 > 0; D = 10 3 .

t2 = 1:

x = −5

− 10 − 10

= −5 − 5

3 = −5 (1 +

3 ) < −10 x2 ОДЗ;

3 = 5 (

3 − 1 ) < 5 x ОДЗ.

= − 10 + 10

3 = −5 + 5

x + 10

5 − x

x + 10

5 − x

= 1; lg

= lg

; 2x + 20 = 5 − x; 3x = −15;

5 − x

– ранее найденный корень.

При решении неравенств надо помнить:

– при основании логарифмической функции 0 < a < 1 из неравенства

loga f (x) > loga g(x) следует f (x) < g(x) ,

знак неравенства для подлогарифмических функций меняется на противоположный.

– при основании логарифмической функции a > 1 знак неравенства для подлогарифмических функций не меняется

loga

f (x) > loga g(x) f (x) > g(x) .

Рассмотрим решение некоторых типичных неравенств.

Пример 69. Решить логарифмическое неравенство log1

(5x − 1) > 0 .

ОДЗ: 5x −1 > 0; x >

; ∞ . Так как 0

= log1 1, то log1 (5x − 1)

> log1

1 . С учё-

том того, что основание логарифма a = 13 < 1, то знак неравенства меняется на

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

противоположный 5x − 1 < 1; 5x < 2;						x <	2	. Накладывая это решение на ОДЗ,
							5
		1		2

получим:	x		;		.
		5		5

Пример 70. Решить логарифмическое неравенство log2 (x − 1) − log2 (2 − x) > 1.

Определим ОДЗ:	x −1 > 0		x > 1	x (1; 2) . Используя свойства логарифми-
		− x > 0	;
	2		x < 2

ческой функции, перепишем уравнение в виде		x − 1		2 , так как ос-
	log2		> log2
		2 − x

x −1

3x − 5

3 x −

нование a = 2>1, то

> 2;

− 2 > 0;

> 0 ;

;

< 0 .

< 0

x −

(x − 2)

–

− x

− (x − 2)

x − 2

○

; 2

	5
Полученное решение полностью содержится в ОДЗ:	x		; 2 .
		3

В. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (см. ниже).

42. Стороны AC и CB называются катетами, а сторона AB – гипо-

тенузой.

A C

43.Отношение катета, лежащего против угла α , к гипотенузе называется синусом угла α : sinα = CBAB .

44.Отношение катета, противолежащего против угла α , к гипотенузе называется косинусом угла α : cosα = ACAB .

45.Отношение противолежащего катета к прилежащему к углу катету называется тангенсом угла α : tgα = CBAC .

46.Отношение прилежащего катета к противолежащему к углу катету называется котангенсом угла α : ctgα = CBAC .

Из приведенных определений следует, что

sin α	и		cosα	1		.
tgα = cosα		ctgα =		=
			sinα		tg α

47. Функция, которая в произведении с синусом равна единице, т.е.

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

является к синусу алгебраически обратной, называется косекансом:

cos ecα = sin1α .

48. Функция, которая в произведении с косинусом равна единице, т. е. является к косинусу алгебраически обратной, называется секан-

сом: secα = 1 . cosα

49. Уравнения (неравенства), в которые входят тригонометрические функции sin α , cosα , tgα , ctgα , secα и cos ecα , называются триго-

нометрическими уравнениями (неравенствами).

При решении тригонометрических уравнений (неравенств) надо знать и помнить следующие сведения:

– значения функций sin α и cosα на интервале [0; 2π ] (остальные функции выражаются через эти функции) приведены в табл. 9.

Таблица 9.

Значения синуса и косинуса на интервале [0; 2π ] .

Значения синуса и косинуса на интервале [ 0; π ]


α	0	π		π	π	π		2π			3π			5π
		6		4	3	2	3					4			6
sinα	0		1	2	3	1	3					2			1
		2		2	2		2					2			2
cosα	1	3		2	1	0	1					2			3
							−			−			−
		2		2	2		−		2	−		2	−		2

Значения синуса и косинуса на интервале [π ; 2π ]

α	π		7π			5π			4π		3π		5π			7π		11π
			6				4		3		2			3			4		6
sinα	0			1			2			3	− 1			3			2	1
		−			−			−				−			−				−
		−		2	−		2	−		2		−		2	−		2		−	2
cosα	− 1	−		3	−		2	−		1	0			1			2	3
		−		2	−		2	−		2				2			2	2

– в табл. 9 приведены значения для положительных углов, а для отрицательных углов используются свойства нечётности sinα :

sin(−α ) = − sinα ,

и чётности функции cosα :

cos(−α ) = cosα .

Например, при решении простейшего уравнения	π			=	2
	sin	3	− x		2

его лучше записать в виде		π	=	2	, а затем обе части уравне-
	− sin x −	3		2

ния умножить на (–1). Аналогичное уравнение для косинуса (в силу

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 435 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.2019336.38 Кб1glava12.doc
#
03.03.20162.83 Mб4GoPRO Диплом(FR).pdf
#
18.11.201899.33 Кб3Grazhdanskoe_pravo_kursovaya.doc
#
03.03.201690.05 Кб7GRU_otvety.docx
#
03.03.2016146.94 Кб2history.doc
#
03.03.20168.13 Mб65IDZ_VysshMatematTerehov.pdf
#
03.03.20164.28 Mб9Ind_zad_SEMESTR_2.doc
#
03.03.2016195.87 Кб25Ind_Zavdannya_z_Strategiyi_P.pdf
#
12.11.20191.27 Mб2Inescapable by Amy A. Bartol (The Premonition #...doc
#
03.03.2016121.34 Кб33infrastr.doc
#
17.11.2019201.73 Кб1ism.doc