IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 12
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ x2 dx ; |
∫ ( x + 1 )dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
3
чение интеграла ∫ e3x dx .
1
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
|||||||||||||||||
ния f (x) = x2 + x − 5 ; |
x [ 2; |
4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
ln x dx |
|
2 |
2 |
|
dx |
|
|||||
|
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
; |
в) ∫ cos x sin |
x dx ; |
г) ∫ |
. |
|||||||||
|
|
1− x2 |
x |
3 |
|
x + 1 + 2 |
||||||||||||
|
|
− |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
|||||||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
б) y = x 16 − x2 ; y = 0 ; x [ 0; 4 ] ; |
|
|
|||||||||||
|
а) y = − x2 + 3 ; y = 0 ; x ≥ 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
|
ρ = sinϕ ; ρ = 2 sinϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
|||||||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) y = e2 x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1; |
|
|
б) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 . |
|
|
|
|||||||||||
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
|||||||||||||||||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 3 |
(1 + sin ϕ ) ; |
|||||||||||||||||
ϕ |
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
; 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии ( x − 4 )2 + y 2 = 36 ; от A(2; 4 2 ) до B( 4; 6 ) ; ( Ox ) .
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
5 |
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
2 |
dx |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
а) ∫ x |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
|
; |
г) ∫ |
|
. |
|||||
|
x |
3 |
− 5x |
2 |
2x − |
4 |
x ln |
7 |
|
||||||||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
240
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 13
3 |
3 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ x2 dx ; |
∫ x dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 2 ( x − 2x ) dx
∫ 2 .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||||||
ния f (x) = 5 x ; |
x [ 0; |
2] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
) dx ; |
1 |
dx |
; |
e |
ln x dx |
; |
9 |
x dx |
. |
|||
|
а) ∫ (1 + x − 3x |
|
б) ∫ |
8 + 2x − x2 |
в) ∫ |
x |
6 |
|
г) ∫ |
2x + 7 |
|||||
|
−2 |
|
|
− |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
б) x = 3( t − sin t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) y = x ; y = 0 ; x = 2 ; |
; y = 3 ; |
x [ 0; 3 ]; |
|
|
|
|||||||||
|
в) ρ = 4 cosϕ ; |
|
ρ = 2 cosϕ . |
y = 3(1 − cos t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = 3x ; y = 32 x ; x = 1; |
б) |
x2 |
− |
y 2 |
= 1; y = ±1 . |
4 |
|
||||
|
|
16 |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 4 (1 − sin ϕ ) ;
ϕ0; π .
2
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
|
− t |
2 |
) |
|
x = 3t (3 |
|
( Oy ). |
||
ным точкам на линии |
|
|
|
|
y = 9 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
∞ |
|
|
|
7 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
dx |
|
2 |
|
|
|
dx |
|
||||
а) ∫ x dx ; |
б) ∫ |
x |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|
|
. |
|||||
2 |
− 4 |
x − 7 |
x |
2 |
− 3x + 2 |
|||||||||
0 |
3 |
x |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
241
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 14
3 |
3 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ( x2 + 1 )dx ; |
∫ x dx . |
2 |
2 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ e3+ x dx .
0
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = cos x ; |
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|||
x |
6 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы: |
1 |
|
|
||||||||
5 |
|
dx |
|
5 |
|
|
dx |
|
3 |
x dx . |
|
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ x 9x dx ; |
г) ∫ |
|||
x |
2 |
x |
2 |
+ 2x + 10 |
|||||||
0 |
+ 25 |
|
2 |
|
|
0 |
2 |
4x + 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = ex ; y = e3x ; x = 2 ; б) x = 4 − y2 ; x = y2 − 2 y ; в) ρ = 6 cosϕ ; ρ = 2 cosϕ .
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = − x2 + 2 ; y = 0 ; |
б) x = 3( t − sin t ) |
; y = 0 ; x [ 0; π ]. |
|
y = 3(1 − cos t ) |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( x 2 + 1 );
x [ 2; 3 ].
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии y 2 = 9x ; от A( 0; 0 ) до B( 4; 6 ) ; ( Ox ) .
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
0 |
∞ |
x |
dx |
|
1 |
dx |
|
9 |
|
|
а) ∫ ( x2 − x − 7 )dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
x dx . |
||||
3 |
+ 8 |
x |
||||||||
−∞ |
0 |
x |
|
0 |
|
4 |
x − 3 |
242
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 15
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ x dx ; |
∫ xsin x dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ 2x 2 dx .
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin ( 2x ); |
|
π |
; |
π |
|
x |
4 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы:
6 |
|
6 |
3 |
|
|
dx |
|
1 |
x |
|
4 |
x dx |
|
|
а) ∫ x − |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ x11 |
|
dx ; |
г) ∫ |
|
. |
|
x |
2x |
2 |
+ 8x − 3 |
|
x + 9 |
|||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = 3x ; y = 32 x ; x = 1; |
б) y = ( x + 1)2 ; x = y − 1 ; |
в) ρ = 2 sin ϕ ; ρ = 2 cosϕ . |
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x ; y = 4x ; x = 3 ; |
б) |
x2 |
− |
y 2 |
= 1; y = ± 3 . |
9 |
|
||||
|
|
16 |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
x = 3t (3 − t 2 )
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии
y = 9 t 2
(петля).
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 + ( y − 2 ) 2 = 36 ; от A(2 6; 1 ) до B( 4; 6 ) ; ( Oy ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
(1 − 2x |
2 |
)dx ; |
∞ |
dx |
|
|
2 |
dx |
|
4 |
x − 3 |
|
||
а) ∫ |
|
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
|
|
; |
г) ∫ |
|
dx . |
||
|
x ln |
8 |
|
|
|
x − 2 |
|||||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
x |
− 2 x − 1 |
|
1 |
|
243
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 16
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫(2x2 +1)dx; ∫ ( 2x+1)dx. |
|
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 1 (5 x2 − 1 )dx .
∫
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = cos ( 3x ) ; |
|
π |
; |
π |
|
x |
6 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы:
1 |
( x2 + 1 )dx ; |
|
7 |
|
|
|
π |
3 |
|
2 |
|
dx |
; |
2 |
x + 1 dx . |
||||
а) ∫ |
б) ∫ |
в) ∫ xsin ( 2x )dx ; |
г) ∫ |
||||||
−1 |
|
2 |
|
5 + 4x − x2 |
|
0 |
0 |
x + 1 + 2 |
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = cos x ; y = 0 ; x [ 0; π ]; б) y = 2x ; y = 2x2 ; x = 1;
в) ρ = 1 − cosϕ ; ρ = 1 (вне окружности).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = − x2 + 2 ; y = 0 ; |
б) x =16 cos t |
; y ≥ 2 . |
|
y = 4 sin t |
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
y = |
1 − x |
|
+ arccos x ; |
x |
0; |
|
. |
|
9 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
|
|
2 |
|
|
|
ным точкам на линии |
x = t |
|
|
) |
(петля); ( Ox ) . |
|
|
− t 2 |
|||
|
y = t (1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 dx |
|
dx |
|
2 |
|
dx |
|
|
||||||
а) ∫ x dx ; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ |
|
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
. |
||
3 |
2 x − 1 |
x ln |
4 |
|
||||||||||
−∞ |
0 |
(1 + x ) |
|
0 |
|
0 |
|
|
x |
244
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 17
2
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ x2 dx ;
1
2
∫
1
x |
|
||
xsin |
|
dx . |
|
3 |
|||
|
|
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ 3x 2 dx .
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin ( 2x ); |
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
||
x |
4 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
4 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
8 |
|
π |
2 |
x |
|
|
а) ∫ ( x |
− 2x + 5 ) dx ; |
|
|
в) ∫ xcos( 2x )dx; |
г) ∫ |
dx. |
|||||
|
б) ∫sin 2x + |
dx ; |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
0 |
|
4 |
0 |
1 |
x + 9 |
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
|||||
полнить чертёж. |
x |
|
|
|
|
|
|
а) y = x2 ; y2 = 4 − x2 ; |
= 8cos 3 t |
; x ≥1 ; |
|
|
|
|
б) |
= 8sin 3 t |
|
|
||
|
|
y |
|
|
|
|
|
в) ρ = 1 − cosϕ ; ρ = 1 (вне кардиоиды). |
|
|
|
|
|
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
|||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
|||
|
а) y = cos x ; y = 0 ; x = − π ; x = 0 ; |
б) x = |
4 − y 2 ; y = 0 ; y = 1; x = 0 . |
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
|||||
|
|
|
|
|
= 16 t |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
= 4t ( 4 − t 2 ) |
|||||
|
|
|
|
y |
||
(петля). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии x2 + y 2 = 25 ; от A( − 3; 4 ) до B( 4; 3 ); |
( Ox ) . |
|
|
|
|
||||||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
∞ |
|
|
dx |
|
8 |
dx |
|
2 |
dx |
|
|
|
а) ∫ ( x + 5 )dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
. |
x |
2 |
+ 4x + 8 |
x − 7 |
x ln |
3 |
|
|||||||
− ∞ |
− ∞ |
|
|
0 |
|
1 |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 18
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫( x + 2 )dx; ∫( x − 2)dx. |
|
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ 6 x dx .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
|||||||||||
ния f (x) = cos ( 3x ) ; |
x [ 0; π ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
π |
|
3 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
4 |
tg |
x dx |
|
dx |
|
||||||
|
а) ∫ ( x3 + 1) dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ arccos x dx ; |
г) ∫ |
. |
||||
|
cos |
2 |
x |
x + 8 |
||||||||
|
−1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
|||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) xy = 3 ; y = 0 ; x [1; 3] ; |
|
|
|
|
|
б) y = x2 ; y = 0 ; x = 1; |
|
|
|
||
|
в) ρ = 2 (1 + cosϕ ) ; ρ = 2 (вне окружности). |
|
|
|
||||||||
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
|||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
|||||||||
|
а) y = sin x ; y = 0 ; |
x = π ; |
|
|
|
|
|
б) x = 9 cos t ; y ≥ 2 . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y = 4 sin t |
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 1 − sin ϕ ;
ϕ − π ; 0 .2
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 = 9 y ; от A( 0; 0 ) до B( 6; 4 ) ; ( Oy ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
( 2x − 1 )dx ; |
∞ |
dx |
|
6 |
dx |
|
|
9 |
x |
|
|
а) ∫ |
б) ∫ |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
dx . |
||||||
8 + 4x + x2 |
x − 1 |
x − 3 |
||||||||||
0 |
|
−∞ |
|
0 |
|
1 |
|
246
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 19
4 |
4 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ex dx ; |
∫ e5x dx . |
2 |
2 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 1 (3x2 − 6x )dx
∫ .
−1
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||||||||
ния f (x) = sin |
( 2x ); x 0; π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
dx |
; |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) ∫ tg x dx ; |
б) ∫ |
|
в) ∫ arcsin x dx ; |
г) ∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
|
1 |
− 16x2 |
0 |
4 |
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) y2 = 1 + x ; x = 0 ; |
|
|
|
б) y = 4 − x2 ; y = x2 − 2x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) ρ = 1 + cosϕ ; ρ = 1 (вне окружности). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
||||||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) y = tg x ; |
y = 0 ; x = |
π |
; |
|
б) x = 3cos t ; |
y ≥1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
y = 2 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
12 |
||||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y =lnx; x |
|
|
; |
|
|
. |
|||||||||||
4 |
5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
|
− t |
2 |
) |
|
|
x = 2t (3 |
|
(петля); |
( Oy ). |
||
ным точкам на линии |
|
|
|
||
y = 6 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
( 3x + 1 )dx ; |
∞ |
( x + 1 )dx |
|
2 |
|
dx |
|
4 |
dx |
|
|
||||
а) ∫ |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
|
|
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
. |
|
x |
2 |
+ 2x + 7 |
|
x + 1 |
x ln |
2 |
|
|||||||||
0 |
|
−∞ |
|
|
− 2 |
|
1 |
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
247
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 20
1
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫( x +1)dx;
0
1 ( x2 −1)dx.
∫
0
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 1 ( 4x − 1 )dx
∫ 2 .
−1
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||||||||
ния f (x) = cos x ; |
x [ 0; |
π ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
9 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|||
|
а) ∫ sin x dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ ln2 x dx ; |
|
|
г) ∫ |
|
|||||
|
|
|
|
− 2x − x |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 3 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
4 x + 1 |
|
||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= 8 cos |
t |
|
|
|
||
|
а) y |
= x ; |
y |
= 2x ; x = 1; |
|
|
x |
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
б) |
= 8 sin |
3 |
t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ρ = 4 (1 + cosϕ ) ; ρ = 4 (вне окружности). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
||||||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) y = x ; y = 4x ; x = 2 ; |
|
|
б) xy = 6 ; y = 1; y = 6 ; x = 0 . |
|
||||||||||||
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
||||||||||||||||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии x = t − sin t |
; |
||||||||||||||||
y = 0 ; t [ 0; 2π ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1 − cos t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
y2 = 4x ; |
от A( 0; 0 ) до B(3; 2 |
3 ); ( Ox ) . |
|
|
|
|
|||||||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|||||||||||||||
∞ |
dx |
|
∞ |
( e2 x − 1) dx |
|
2 |
dx |
|
2 |
|
|
x |
|
|||
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
|
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
dx . |
x + 3 |
e |
x |
|
2x − 1 |
x |
2 |
+ x − 6 |
|||||||||
0 |
|
−∞ |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
248
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 21
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ x2 dx ; |
∫ x4 dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 1 (3x + 2)dx
∫ 2 .
−1
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
|||||||||||||
ния f (x) = 2 x ; |
x [ 0; 2] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
dx |
|
|
5 |
|
dx |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
а) |
|
|
; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ (x + 1) 3x dx ; |
г) ∫ 16 − x2 dx . |
|||||
|
∫ 2x + |
5 |
x2 |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
+ 2x + 9 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
|||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
в) ρ = 2 tg ϕ ; ϕ = π . |
|||||||||
|
а) y = x2 ; y = 2x2 ; x = 1; |
|
б) xy = 6 ; y = 1; y = 6 ; x = 0 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
|||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
|
||||||||||
|
а) |
y = 3sin x ; |
x [ 0; π ]; |
|
б) x = 2 |
y ; y = 4 ; x = 0 . |
|
|
|
|
||||
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= t 2 |
||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
|
t |
( t 2 − 3 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(петля). |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии x2 + y 2 = 4 ; от A( 2; 0 ) до B( |
3; 1 ); ( Oy ). |
|
|
|||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|||||||
∞ |
∞ |
0 |
dx |
|
1 |
dx |
|
|
а) ∫ ( x 3 x + 1 )dx ; |
б) ∫ x e− x dx ; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
. |
|||
|
|
|||||||
0 |
1 |
− 4 x + 4 |
0 |
x2 − 4x + 3 |
|
249