Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 12

1

1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше x2 dx ;

( x + 1 )dx .

0

0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

3

чение интеграла e3x dx .

1

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = x2 + x 5 ;

x [ 2;

4].

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e

 

 

 

π

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

dx

 

ln x dx

 

2

2

 

dx

 

 

а)

 

;

б)

;

в) cos x sin

x dx ;

г)

.

 

 

1x2

x

3

 

x + 1 + 2

 

 

1

 

 

1

 

 

0

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

б) y = x 16 x2 ; y = 0 ; x [ 0; 4 ] ;

 

 

 

а) y = − x2 + 3 ; y = 0 ; x ≥ 0 ;

 

 

 

 

 

в)

 

ρ = sinϕ ; ρ = 2 sinϕ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

 

 

 

а) y = e2 x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1;

 

 

б) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 .

 

 

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 3

(1 + sin ϕ ) ;

ϕ

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

; 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии ( x 4 )2 + y 2 = 36 ; от A(2; 4 2 ) до B( 4; 6 ) ; ( Ox ) .

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

5

 

 

 

dx

 

 

2

dx

 

 

2

dx

 

 

а) x

dx ;

б)

 

 

 

;

в)

 

;

г)

 

.

 

x

3

5x

2

2x

4

x ln

7

 

0

 

 

1

 

 

 

0

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

240

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 13

3

3

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше x2 dx ;

x dx .

1

1

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 2 ( x 2x ) dx

2 .

0

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = 5 x ;

x [ 0;

2] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

) dx ;

1

dx

;

e

ln x dx

;

9

x dx

.

 

а) (1 + x 3x

 

б)

8 + 2x x2

в)

x

6

 

г)

2x + 7

 

2

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

б) x = 3( t sin t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y = x ; y = 0 ; x = 2 ;

; y = 3 ;

x [ 0; 3 ];

 

 

 

 

в) ρ = 4 cosϕ ;

 

ρ = 2 cosϕ .

y = 3(1 cos t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = 3x ; y = 32 x ; x = 1;

б)

x2

y 2

= 1; y = ±1 .

4

 

 

 

16

 

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 4 (1 sin ϕ ) ;

ϕ0; π .

2

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

 

t

2

)

 

x = 3t (3

 

( Oy ).

ным точкам на линии

 

 

 

y = 9 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

 

 

 

7

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

dx

 

dx

 

2

 

 

 

dx

 

а) x dx ;

б)

x

;

в)

;

г)

 

 

.

2

4

x 7

x

2

3x + 2

0

3

x

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

241

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 14

3

3

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ( x2 + 1 )dx ;

x dx .

2

2

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

1

чение интеграла e3+ x dx .

0

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = cos x ;

 

π

;

π

 

 

 

 

x

6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4. Вычислить указанные интегралы:

1

 

 

5

 

dx

 

5

 

 

dx

 

3

x dx .

а)

 

;

б)

 

 

;

в) x 9x dx ;

г)

x

2

x

2

+ 2x + 10

0

+ 25

 

2

 

 

0

2

4x + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = ex ; y = e3x ; x = 2 ; б) x = 4 y2 ; x = y2 2 y ; в) ρ = 6 cosϕ ; ρ = 2 cosϕ .

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = − x2 + 2 ; y = 0 ;

б) x = 3( t sin t )

; y = 0 ; x [ 0; π ].

 

y = 3(1 cos t )

 

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( x 2 + 1 );

x [ 2; 3 ].

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии y 2 = 9x ; от A( 0; 0 ) до B( 4; 6 ) ; ( Ox ) .

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

0

x

dx

 

1

dx

 

9

 

а) ( x2 x 7 )dx ;

б)

;

в)

;

г)

x dx .

3

+ 8

x

−∞

0

x

 

0

 

4

x 3

242

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 15

2

2

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше x dx ;

xsin x dx .

1

1

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

1

чение интеграла 2x 2 dx .

1

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = sin ( 2x );

 

π

;

π

x

4

2

.

 

 

 

 

4. Вычислить указанные интегралы:

6

 

6

3

 

 

dx

 

1

x

 

4

x dx

 

а) x

 

dx ;

б)

 

 

 

;

в) x11

 

dx ;

г)

 

.

x

2x

2

+ 8x 3

 

x + 9

1

 

 

2

 

 

0

 

 

0

 

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = 3x ; y = 32 x ; x = 1;

б) y = ( x + 1)2 ; x = y 1 ;

в) ρ = 2 sin ϕ ; ρ = 2 cosϕ .

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = x ; y = 4x ; x = 3 ;

б)

x2

y 2

= 1; y = ± 3 .

9

 

 

 

16

 

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

x = 3t (3 t 2 )

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

y = 9 t 2

(петля).

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 + ( y 2 ) 2 = 36 ; от A(2 6; 1 ) до B( 4; 6 ) ; ( Oy ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

(1 2x

2

)dx ;

dx

 

 

2

dx

 

4

x 3

 

а)

 

б)

 

 

 

;

в)

 

 

;

г)

 

dx .

 

x ln

8

 

 

 

x 2

0

 

 

 

2

 

x

2 x 1

 

1

 

243

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 16

1

1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше (2x2 +1)dx; ( 2x+1)dx.

0

0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 1 (5 x2 1 )dx .

1

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = cos ( 3x ) ;

 

π

;

π

x

6

2

.

 

 

 

 

4. Вычислить указанные интегралы:

1

( x2 + 1 )dx ;

 

7

 

 

 

π

3

 

2

 

dx

;

2

x + 1 dx .

а)

б)

в) xsin ( 2x )dx ;

г)

1

 

2

 

5 + 4x x2

 

0

0

x + 1 + 2

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = cos x ; y = 0 ; x [ 0; π ]; б) y = 2x ; y = 2x2 ; x = 1;

в) ρ = 1 cosϕ ; ρ = 1 (вне окружности).

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = − x2 + 2 ; y = 0 ;

б) x =16 cos t

; y 2 .

 

y = 4 sin t

 

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

 

 

2

 

 

 

8

 

y =

1 x

 

+ arccos x ;

x

0;

 

.

 

9

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

 

 

2

 

 

 

ным точкам на линии

x = t

 

 

)

(петля); ( Ox ) .

 

 

t 2

 

y = t (1

 

 

 

 

 

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x2 dx

 

dx

 

2

 

dx

 

 

а) x dx ;

б)

 

;

в)

 

 

;

г)

 

 

 

.

3

2 x 1

x ln

4

 

−∞

0

(1 + x )

 

0

 

0

 

 

x

244

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 17

2

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше x2 dx ;

1

2

1

x

 

xsin

 

dx .

3

 

 

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

1

чение интеграла 3x 2 dx .

1

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = sin ( 2x );

 

π

;

π

 

 

 

 

 

x

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4. Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π

4

 

 

3

2

 

 

 

8

 

π

2

x

 

а) ( x

2x + 5 ) dx ;

 

 

в) xcos( 2x )dx;

г)

dx.

 

б) sin 2x +

dx ;

 

1

 

 

 

 

0

 

4

0

1

x + 9

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

x

 

 

 

 

 

а) y = x2 ; y2 = 4 x2 ;

= 8cos 3 t

; x 1 ;

 

 

 

б)

= 8sin 3 t

 

 

 

 

y

 

 

 

 

в) ρ = 1 cosϕ ; ρ = 1 (вне кардиоиды).

 

 

 

 

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

 

а) y = cos x ; y = 0 ; x = − π ; x = 0 ;

б) x =

4 y 2 ; y = 0 ; y = 1; x = 0 .

 

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

 

 

 

 

 

= 16 t

2

 

 

 

 

x

 

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

= 4t ( 4 t 2 )

 

 

 

 

y

(петля).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

ным точкам на линии x2 + y 2 = 25 ; от A( 3; 4 ) до B( 4; 3 );

( Ox ) .

 

 

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

 

 

 

 

 

 

dx

 

8

dx

 

2

dx

 

 

а) ( x + 5 )dx ;

б)

 

 

 

;

в)

 

;

г)

 

 

 

.

x

2

+ 4x + 8

x 7

x ln

3

 

− ∞

− ∞

 

 

0

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

245

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 18

1

1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ( x + 2 )dx; ( x 2)dx.

0

0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

1

чение интеграла 6 x dx .

0

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = cos ( 3x ) ;

x [ 0; π ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

2

π

 

3

 

 

 

1

4

 

 

 

4

tg

x dx

 

dx

 

 

а) ( x3 + 1) dx ;

б)

 

 

;

в) arccos x dx ;

г)

.

 

cos

2

x

x + 8

 

1

0

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) xy = 3 ; y = 0 ; x [1; 3] ;

 

 

 

 

 

б) y = x2 ; y = 0 ; x = 1;

 

 

 

 

в) ρ = 2 (1 + cosϕ ) ; ρ = 2 (вне окружности).

 

 

 

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

 

а) y = sin x ; y = 0 ;

x = π ;

 

 

 

 

 

б) x = 9 cos t ; y 2 .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

y = 4 sin t

 

 

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 1 sin ϕ ;

ϕ π ; 0 .2

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 = 9 y ; от A( 0; 0 ) до B( 6; 4 ) ; ( Oy ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

( 2x 1 )dx ;

dx

 

6

dx

 

 

9

x

 

а)

б)

;

в)

;

г)

dx .

8 + 4x + x2

x 1

x 3

0

 

−∞

 

0

 

1

 

246

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 19

4

4

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ex dx ;

e5x dx .

2

2

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 1 (3x2 6x )dx

.

1

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = sin

( 2x ); x 0; π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

1

 

 

 

 

1

9

 

 

 

 

 

 

 

 

3

8

 

 

dx

;

dx .

 

 

 

 

 

 

 

а) tg x dx ;

б)

 

в) arcsin x dx ;

г)

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

1

16x2

0

4

x 1

 

 

 

 

 

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y2 = 1 + x ; x = 0 ;

 

 

 

б) y = 4 x2 ; y = x2 2x ;

 

 

 

 

 

 

 

в) ρ = 1 + cosϕ ; ρ = 1 (вне окружности).

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y = tg x ;

y = 0 ; x =

π

;

 

б) x = 3cos t ;

y 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

y = 2 sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

12

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y =lnx; x

 

 

;

 

 

.

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

 

t

2

)

 

 

x = 2t (3

 

(петля);

( Oy ).

ным точкам на линии

 

 

 

y = 6 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

( 3x + 1 )dx ;

( x + 1 )dx

 

2

 

dx

 

4

dx

 

 

а)

б)

 

 

 

;

в)

 

 

 

;

г)

 

 

 

.

x

2

+ 2x + 7

 

x + 1

x ln

2

 

0

 

−∞

 

 

2

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

247

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 20

1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ( x +1)dx;

0

1 ( x2 1)dx.

0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 1 ( 4x 1 )dx

2 .

1

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = cos x ;

x [ 0;

π ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e

 

 

 

9

 

 

 

4

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx .

 

 

а) sin x dx ;

 

 

б)

 

 

;

в) ln2 x dx ;

 

 

г)

 

 

 

 

 

2x x

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0 3

 

 

1

 

 

 

4

4 x + 1

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

= 8 cos

t

 

 

 

 

а) y

= x ;

y

= 2x ; x = 1;

 

 

x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

б)

= 8 sin

3

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) ρ = 4 (1 + cosϕ ) ; ρ = 4 (вне окружности).

 

 

 

 

 

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

 

 

 

а) y = x ; y = 4x ; x = 2 ;

 

 

б) xy = 6 ; y = 1; y = 6 ; x = 0 .

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии x = t sin t

;

y = 0 ; t [ 0; 2π ].

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 1 cos t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

ным точкам на линии

y2 = 4x ;

от A( 0; 0 ) до B(3; 2

3 ); ( Ox ) .

 

 

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

 

dx

 

( e2 x 1) dx

 

2

dx

 

2

 

 

x

 

а)

 

;

б)

 

 

 

;

в)

 

 

;

г)

 

 

 

dx .

x + 3

e

x

 

2x 1

x

2

+ x 6

0

 

−∞

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

248

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 21

2

2

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше x2 dx ;

x4 dx .

1

1

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 1 (3x + 2)dx

2 .

1

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = 2 x ;

x [ 0; 2] .

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

1

dx

 

 

5

 

dx

 

1

4

 

 

 

 

а)

 

 

;

б)

 

;

в) (x + 1) 3x dx ;

г) 16 x2 dx .

 

2x +

5

x2

 

 

 

 

2

+ 2x + 9

0

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

в) ρ = 2 tg ϕ ; ϕ = π .

 

а) y = x2 ; y = 2x2 ; x = 1;

 

б) xy = 6 ; y = 1; y = 6 ; x = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

 

 

а)

y = 3sin x ;

x [ 0; π ];

 

б) x = 2

y ; y = 4 ; x = 0 .

 

 

 

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= t 2

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

 

t

( t 2 3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(петля).

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

ным точкам на линии x2 + y 2 = 4 ; от A( 2; 0 ) до B(

3; 1 ); ( Oy ).

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

 

0

dx

 

1

dx

 

а) ( x 3 x + 1 )dx ;

б) x ex dx ;

в)

;

г)

.

 

 

0

1

4 x + 4

0

x2 4x + 3

 

249

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]