Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

8.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4336 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 23

1. Токарь изготовил три детали. Пусть событие A i (i = 1, 2, 3) заключается в

том, что i -ая деталь, изготовленная им, бракованная. Записать событие, сос-

тоящее в том, что: а) по крайней мере 2 детали качественные; б) точно 2 детали качественные; в) 2 детали бракованные.

2.Из 6 карточек с буквами Л, И, Т, Е, Р, А выбрали наугад 4 и последовательно уложили их друг за другом. Найти вероятность того, что получится слово “тире”.

3.Спортивная группа состоит из 7 спортсменов – студентов экономического,

9– радиотехнического, 6 – механического и 2 – авиационного факультетов.

Какова вероятность того, что три случайно отобранных студента окажутся студентами радиотехнического факультета?

4.Библиотека состоит из 15 различных книг, причём 5 книг стоят по 40 гривен, 3 книги – по 10 гривен, 2 – по 30 гривен и 5 – по 20 гривен. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 40 гривен.

5.Станок-автомат изготовляет 99% стандартных гаек М-16. Из скольких гаек должна состоять партия, чтобы вероятность обнаружить в ней хотя бы одну нестандартную была не больше 0,1?

6.Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для второго – 0,8; для третьего – 0,65. Какова вероятность того, что в течение часа: а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) все 3 станка потребуют внимания рабочего; в) какой-нибудь 1 станок потребует внимания рабочего?

7.Из 25 кинескопов, имеющихся в телевизионном ателье, 5 штук изготовлены заводом 1; 12 штук – заводом 2; 8 штук – заводом 3. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный первым заводом, в течение гарантийного срока не выйдет из строя, равна 0,95; для завода 2 – 0,9; для завода 3 – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

8.В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием L, 20% – с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М – 0,8 и 0,9, соответственно. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что больной страдал заболеванием К.

350

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

9. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,015. Из большой партии изделий отбирается 100 шт. и проверяется их качество. Если среди них окажется 3 или более бракованных, то вся партия возвращается на сплошную разбраковку. Определить вероятность того, что партия будет отверг-

ну-та.

10.Изделие некоторого производства содержит 5% брака. Вычислить вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) не окажется ни одного испорченного; б) будут 2 испорченных изделия.

11.Вероятность появления события в каждой из независимых опытов равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 опытах событие появится не менее 70

и не более 80 раз.

12.Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него определённую деталь. Эту деталь приходится в некоторых случаях дополнительно обрабатывать (подгонять) и проверять качество подгонки пробной установкой её в механизм. Закон распределения случайной величины X – количества пробных установок детали в механизм – задан таблицей:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,38	0,26	0,20	0,14	0,02

Найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины.

13. Случайная величина имеет следующую интегральную функцию распре-

			0,	x ≤ 0
деления:		3	+ A x, 0 < x ≤ 1. Требуется определить коэффициент A ;
деления:	F(x) = x		+ A x, 0 < x ≤ 1. Требуется определить коэффициент A ;
			1,	x > 1
			1,	x > 1

дифференциальную функцию распределения f (x) ; математическое ожидание

и дисперсию этой случайной величины; построить графики F(x) и f (x) .

14. Плотность вероятности случайной величины X: f (x) = 2 Aex . Определить: e2 x + 1

а) коэффициент A ; б) функцию распределения этой случайной величины; в)

вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не меньшее 1.

15. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю. Вероятность попадания этой случайной величины на промежуток (−2; 2) равна 0,5. Найти среднее квадратическое отклонение и дифференциальную функцию распределения.

351

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 24

1.Участковый врач обслуживает на дому троих больных. Событие А – в течение суток врач потребуется первому больному, В – второму, С – третьему. Написать через А, В и С выражение событий, состоящих в том, что: а) все больные вызовут врача; б) только один больной вызовет врача; в) хотя бы один не вызовет врача.

2.В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вытянули 2 шара наугад. Какова вероятность того, что оба шара белые?

3.Буквы А, А, А, Н, Н, С написаны по одной на шести кубиках и уложены в урну. Затем кубики последовательно вынимают наугад и укладывают друг за другом. Найти вероятность того, что при этом получится слово “ананас”.

4.У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1, и 4 детали – заводом № 2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

5.Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно ше-

сти. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

6.Вероятность попадания в цель каждым из 2-х стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причём каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень получает приз. Найти вероятность того, что получит приз стрелок, начавший стрелять первым; вторым.

7.Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятность попа-

дания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны p1 = 0,6; p2 = 0,5; p3 = 0,4, соответственно.

8.Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе 90%, а во второй – 80% отличного шрифта. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая литера из наудачу взятой кассы будет отличного качества.

9.Найти вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, не менее двух девочек. Предполагается, что вероятности рождения мальчиков и девочек одинаковые.

10.Вероятность того, что покупатели необходим костюм 48-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 150 покупателей 120 потребуют кос-

тюмы этого размера.

352

F(x)

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

11. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, заданного нижеприведенной таблицей.

xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
pi	0,021	0,081	0,156	0,201	?	0,151	0,097	0,097	0,004	0,026	0,007

Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

12.Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут не менее 700.

13.Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью ве-

	0,		x < 0
		2	), 0 ≤ x ≤ 3	. Требуется найти: а) коэффициент A ;
роятности: f (x) = A (3x − x			), 0 ≤ x ≤ 3	. Требуется найти: а) коэффициент A ;
	0,		x > 3
	0,		x > 3

б) функцию распределения этой случайной величины; в) вероятность попадания X в промежуток (1; 2) .

14. Функция распределения случайной величины X:

	0,	x < 0
		0 ≤ x ≤ π / 2 .
F (x) = (1− cos 2x) / 2,
	1,	x > π / 2

Найти: дифференциальную функцию распределения f (x) ; построить графики и f (x) ; найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной

величины.

15. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием равным 25. Вероятность попадания X в промежуток [10; 15] равна 0,2.

Чему равна вероятность попадания в промежуток [35; 40] ?

353

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 25

1.Производится два выстрела по мишени. Опишите для этого опыта структуру пространства элементарных исходов (событий). Каким является событие, равное сумме приведенных Вами событий? Какими являются события, равные пересечению любых двух событий из приведенных Вами.

2.Подлежит контролю 260 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что из 2-х наудачу взятых деталей одна окажется нестан-

дартной?

3.Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две;

в) три.

4.Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,6; вторым – 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из них попал в мишень.

5.Пусть вероятность того, что покупателю женской обуви понадобится 37-й размер, равна 0,25. Найти вероятность того, что из четырёх первых покупателей обувь этого размера: а) никому не потребуется; б) потребуется хотя бы одному.

6.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего равна 0,7; второй – 0,75; третий – 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены потребуют внимания рабочего какие-либо два станка.

7.На сборку поступило 3000 деталей с первого автомата и 2000 – со второго. Первый автомат дает 0,2% брака; второй – 0,3%. Найти вероятность попа-

дания на сборку бракованной детали.

8.В трёх урнах имеются белые и чёрные шары. В 1-ой урне – 3 белых и 1 чёрный шар, во 2-ой – 6 белых и 4 чёрных, в 3-ей – 9 белых и 1 чёрный. Из наугад выбранной урны выбирается случайным образом шар. Найти вероятность того, что он белый.

9.Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых для испытания пяти деталей одна бракова-

нная?

354

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

10.Принимая вероятность изготовления нестандартной детали 0,05, найти вероятность того, что из взятых 5 деталей 4 окажутся стандартными.

11.В хлопке 60% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взя-

тых наудачу 40 волокон не более 5 длинных?

12.Дан ряд распределения случайной X

xi	10	20	30	40	50
pi	0,2	0,3	0,35	0,1	?

Построить график функции распределения этой случайной величины, найти её математическое ожидание и дисперсию.

13. Показать, что функция f (x) =	1		является плотностью вероятности
	x 2 +	π 2

некоторой случайной величины и вычислить вероятность попадания этой случайной величины на промежуток (π ; ∞ ) .

		0,	x < 0
14. Дана функция распределения		− cos x) / 2, 0 ≤ x ≤ π		случайной вели-
	F ( X ) = (1
		1,	x > π

чины X. Найти: дифференциальную функцию распределения				f (x) ; построить
графики функций F(x) и f (x) ; вычислить P (π / 4 ≤ x ≤ π / 2) .

15. Случайная величина X распределена нормально M[X ] = 6 ; σ [X ] = 2 . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величине X примет значение, заключённое в промежутке (4; 8) .