IDZ_VysshMatematTerehov
.pdf
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 12
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 3π / 4 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
− 2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
1 |
2 |
1 |
||
|
2 |
4 |
− 4 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
3 |
6 |
2 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
0 |
|
|
− 2 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 2 |
и вектора |
|
|
= |
4 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
− 2 |
|
|
− 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
4 |
− 1 |
0 |
|
га |
− 1 − 4 |
0 . |
||
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|||
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
0 |
0 |
1 |
|
ричного тензора второго ранга |
0 |
0 |
4 |
. |
|
1 |
4 |
− 2 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
−1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u ( r ) = 10−2 ( (− x − y + 2z) i + (4x + y) j + (y − z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
410
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 13
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
− 3 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
1 |
1 |
1 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 1 |
2 |
4 |
|
1 |
4 |
− 1 |
|
и найти его свёртку.
− 3
4. Найти внешнее произведение вектора a = 1
1
5. Найти главные значения и главные векторы
|
1 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
− 2 |
2 |
. |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
5 |
|
||
и вектора |
|
|
= |
− 1 |
. |
b |
|||||
|
|
6 |
|
||
|
|
|
|||
симметричного тензора 2 ран-
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
3 |
− 1 |
− 2 |
|
ричного тензора второго ранга |
− 1 |
0 |
− 1 |
. |
|
− 2 |
− 1 |
− 2 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
0 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
3 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((4x − 5z) i + (2x − y + 5z) j + (2 y − x) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
411
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 14
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси ординат. |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
4 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
3
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 2
1
и найти его свёртку.
4 |
2 |
|
0 |
6 |
|
|
||
2 |
2 |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
9 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= 2 |
и вектора |
|
|
= |
− 5 |
. |
a |
b |
|||||||
|
|
4 |
− 1 |
|||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
0 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
− 2 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
6 |
− 2 |
3 |
|
ричного тензора второго ранга |
− 2 |
0 |
1 |
. |
|
3 |
1 |
7 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
1 |
0 |
. Какие дейст- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
вия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−2 ((9x + y − 2z) i + (4x − 2y + z) j + (x − z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
412
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 15
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 2π / 3 вокруг оси аппликат. |
|||||
|
|
|
− 2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
− 1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
1 |
5 |
−1 |
|
|
−1 |
1 |
− 3 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
− 2 |
|
|
5 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 1 |
и вектора |
|
|
= |
− 4 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
− 6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
3 |
0 |
|
га |
3 |
1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
− 1 |
− 1 |
2 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
− 1 |
0 |
− 1 |
. |
|
2 |
− 1 |
1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
5 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−3 ((y − z) i + (x − y) j + (z − x) k ), определить тип деформаций и вычис-
лить объёмную деформацию.
413
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 16
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 5π / 6 вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
0 |
0 |
|
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
2 |
1 |
− 4 |
|
|
4 |
2 |
0 |
|
и найти его свёртку.
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
3 |
2 |
− 2 |
|
ричного тензора второго ранга |
2 |
1 |
2 |
. |
|
− 2 |
2 |
0 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сост-
1
авляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((2x − y − 2z) i + (3x + 2y − z) j + (y − z) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
414
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 17
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол 5π / 6 вокруг оси ординат. |
|||||
|
|
|
− 2 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
0 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
4 |
− 2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
2 |
6 |
|
1 |
0 |
|
||
и найти его свёртку.
|
|
− 2 |
|
|
− 3 |
|
|||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
0 |
и вектора |
|
|
= |
− 1 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
− 6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
−4
−8
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
− 2 |
1 |
0 |
|
|
га |
1 |
− 1 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
− 1 |
1 |
− 1 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
1 |
3 |
1 |
. |
|
− 1 |
1 |
5 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−2 ((− y − z) i + (x − z) j + (y − x) k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
415
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 18
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена из старой путем поворота на угол 5π / 6 вокруг оси аппликат.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
− 1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
||||
a |
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат. |
|
5 |
||||||
|
|
|
|
1 |
− 4 |
|||
|
|
|
|
|
6 |
1 |
− 4 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 1 |
и вектора |
|
|
= |
− 2 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
1 |
0 |
|
га |
1 |
0 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
4 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
|
4 |
− 2 |
8 |
|
ричного тензора второго ранга |
− 2 |
1 |
3 |
. |
|
8 |
3 |
− 2 |
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
5 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
|
|
− 1 |
||
нормальным вектором |
|
= |
0 |
, а также его нормальную и касательную сос- |
n |
||||
|
|
|
1 |
|
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((2x + 2 y + z) i + (3y − x) j + (2z − x) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
416
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 19
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена
из старой путем поворота на угол π / 2 |
вокруг оси абсцисс. |
|||
|
|
− 3 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
− 5 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
2 |
2 |
2 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
− 3 |
2 |
и найти его свёртку.
|
|
− 3 |
|
− 3 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
− 5 |
и вектора |
|
|
= |
0 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
− 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
1 |
− 1 |
0 |
|
га |
− 1 |
2 |
0 |
. |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
− 5 |
4 |
1 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
4 |
1 |
1 |
. |
|
1 |
1 |
− 1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
1 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
0 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
− 2 |
|
|
|
|||
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u ( r ) = 10−2 ( (x − 4 y) i + (x + 2 y) j + (y − x) k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
417
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 20
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π / 2 |
вокруг оси ординат. |
||||
|
|
|
0 |
|
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
2 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
8 |
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
8 |
− 5 |
7 |
|
|
|
3 |
0 |
5 |
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
|||
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|||
и найти его свёртку.
|
|
0 |
|
1 |
|
||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
2 |
и вектора |
|
|
= |
0 |
. |
a |
b |
||||||||
|
|
|
8 |
|
1 |
|
|||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
− 2 |
0 |
0 |
|
|
га |
0 |
3 |
1 |
. |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|||
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
2 |
1 |
2 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
1 |
− 1 |
4 |
. |
|
2 |
4 |
3 |
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
1 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
− 2 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−3 ((z − y) i + (z + 2 y) j + (y − z) k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
418
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 21
1. Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена
из старой путем поворота на угол π / 2 |
вокруг оси аппликат. |
|||
|
|
− 1 |
|
|
2. Найти координаты вектора |
|
= |
3 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
||||
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 3 |
− 5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
3. Выделить симметричную и антисимметричную части тензора |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 4 |
0 |
|
|
и найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− 1 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
3 |
и вектора |
|
|
= |
1 |
|
. |
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран-
|
2 |
0 |
0 |
|
га |
0 |
1 |
− 1 |
. |
|
0 |
− 1 |
1 |
|
6.Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом базисе.
7.Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет-
− 1 |
−1 |
3 |
|
|
ричного тензора второго ранга |
− 1 |
− 2 |
− 1 |
. |
|
3 |
− 1 |
1 |
|
|
|
|||
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
|
0 |
0 |
0 |
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
− 3 |
0 |
. Какие дей- |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
ствия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−4 ((x + z) i + (x + y) j + (x − y + 2z) k ), определить тип деформаций и вы-
числить объёмную деформацию.
419