IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XII. Элементы математической статистики
Вариант 20
Над случайной величиной X произведено 100 независимых испытаний, в результате которых получена выборка. Требуется:
1.Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограммы частот и относительных частот.
2.Изобразить на гистограмме относительных частот приближён-
ный эскиз графика плотности распределения. Построить график статистической функции распределения.
3.Составить дискретный вариационный ряд, взяв за значения вариант середины интервалов, и построить полигоны частот и отно-
сительных частот.
4.Построить график статистической функции распределения, ис-
ходя из дискретного вариационного ряда.
5.Найти оценки математического ожидания M[X], дисперсии D[ X ] ,
среднего квадратического отклонения σ [ X ] .
6.Найти исправленные значения дисперсии и среднего квадратиче-
ского отклонения и сравнить их с выборочными (статистическими) значениями.
7.Найти теоретические частоты в предположении, что случайная величина X распределена нормально.
8.Пользуясь критерием согласия К. Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X .
9.Найти интервальную оценку (доверительный интервал) для ма-
тематического ожидания M [ X ] случайной величины X , если X
предполагается распределённой нормально.
Х – мощность угольного пласта (м)
1, 50 |
2, 35 |
0, 40 |
1, 15 |
1, 50 |
1, 30 |
1, 30 |
1, 10 |
1, 10 |
0, 40 |
0, 70 |
1, 15 |
1, 65 |
1, 35 |
1, 10 |
0, 75 |
1, 60 |
0, 35 |
1, 05 |
1, 55 |
1, 90 |
0, 80 |
1, 95 |
0, 70 |
1, 00 |
1, 50 |
0, 90 |
1, 20 |
1, 75 |
1, 00 |
2, 25 |
1, 40 |
1, 15 |
1, 80 |
0, 20 |
1, 05 |
2, 15 |
0, 90 |
2, 15 |
0, 85 |
1, 50 |
1, 70 |
1, 40 |
2, 35 |
1, 10 |
1, 10 |
1, 15 |
2, 40 |
1, 20 |
2, 30 |
1, 45 |
0, 95 |
0, 65 |
1, 15 |
2, 20 |
2, 40 |
1, 65 |
1, 70 |
1, 50 |
1, 25 |
2, 10 |
1, 50 |
1, 75 |
1, 20 |
1, 70 |
0, 30 |
1, 10 |
2, 00 |
1, 80 |
1, 05 |
1, 95 |
1, 95 |
1, 90 |
1, 55 |
0, 85 |
1, 50 |
1, 85 |
1, 30 |
1, 40 |
1, 45 |
1, 35 |
1, 55 |
1, 20 |
2, 40 |
1, 20 |
0, 50 |
1, 35 |
0, 95 |
1, 15 |
2, 05 |
1, 55 |
0, 65 |
1, 85 |
0, 45 |
2, 30 |
0, 50 |
1, 00 |
2, 10 |
2, 00 |
0, 95 |
390
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XII. Элементы математической статистики
Вариант 21
Над случайной величиной X произведено 100 независимых испытаний, в результате которых получена выборка. Требуется:
1.Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограммы частот и относительных частот.
2.Изобразить на гистограмме относительных частот приближён-
ный эскиз графика плотности распределения. Построить график статистической функции распределения.
3.Составить дискретный вариационный ряд, взяв за значения вариант середины интервалов, и построить полигоны частот и отно-
сительных частот.
4.Построить график статистической функции распределения, ис-
ходя из дискретного вариационного ряда.
5.Найти оценки математического ожидания M[X], дисперсии D[ X ] ,
среднего квадратического отклонения σ [ X ] .
6.Найти исправленные значения дисперсии и среднего квадратиче-
ского отклонения и сравнить их с выборочными (статистическими) значениями.
7.Найти теоретические частоты в предположении, что случайная величина X распределена нормально.
8.Пользуясь критерием согласия К. Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X .
9.Найти интервальную оценку (доверительный интервал) для ма-
тематического ожидания M [ X ] случайной величины X , если X
предполагается распределённой нормально.
Х – скорость продвижения очистного забоя (м/мес.)
50, 1 |
21, 6 |
13, 2 |
8, 7 |
38, 8 |
19, 2 |
20, 7 |
35, 5 |
19, 7 |
12, 3 |
52, 2 |
42, 9 |
9, 4 |
13, 7 |
19, 3 |
20, 3 |
26, 9 |
35, 4 |
18, 9 |
12, 0 |
54, 3 |
11, 0 |
12, 9 |
19, 1 |
20, 1 |
24, 1 |
27, 0 |
36, 5 |
18, 4 |
4, 7 |
19, 9 |
12, 5 |
19, 0 |
19, 9 |
25, 3 |
34, 0 |
27, 8 |
49, 6 |
18, 7 |
4, 2 |
21, 4 |
18, 0 |
19, 8 |
25, 2 |
33, 9 |
43, 4 |
27, 9 |
48, 5 |
15, 1 |
4, 1 |
23, 6 |
19, 9 |
26, 2 |
32, 8 |
42, 3 |
5, 9 |
28, 0 |
54, 4 |
16, 7 |
4, 9 |
26, 1 |
26, 1 |
30, 3 |
41, 3 |
6, 3 |
4, 8 |
34, 1 |
20, 9 |
17, 3 |
10, 3 |
16, 3 |
30, 1 |
40, 9 |
6, 1 |
5, 0 |
11, 9 |
44, 4 |
25, 1 |
17, 0 |
10, 1 |
16, 2 |
40, 1 |
12, 5 |
5, 5 |
9, 0 |
14, 0 |
35, 2 |
25, 3 |
11, 1 |
5, 7 |
16, 0 |
12, 3 |
4, 3 |
8, 5 |
14, 1 |
19, 4 |
42, 5 |
25, 9 |
12, 4 |
5, 3 |
391
Терехов С.В Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XII. Элементы математической статистики
Вариант 22
Над случайной величиной X произведено 100 независимых испытаний, в результате которых получена выборка. Требуется:
1.Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограммы частот и относительных частот.
2.Изобразить на гистограмме относительных частот приближён-
ный эскиз графика плотности распределения. Построить график статистической функции распределения.
3.Составить дискретный вариационный ряд, взяв за значения вариант середины интервалов, и построить полигоны частот и отно-
сительных частот.
4.Построить график статистической функции распределения, ис-
ходя из дискретного вариационного ряда.
5.Найти оценки математического ожидания M[X], дисперсии D[ X ] ,
среднего квадратического отклонения σ [ X ] .
6.Найти исправленные значения дисперсии и среднего квадратиче-
ского отклонения и сравнить их с выборочными (статистическими) значениями.
7.Найти теоретические частоты в предположении, что случайная величина X распределена нормально.
8.Пользуясь критерием согласия К. Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X .
9.Найти интервальную оценку (доверительный интервал) для ма-
тематического ожидания M [ X ] случайной величины X , если X
предполагается распределённой нормально.
Х – содержание (%) марганца в руде
15, 6 |
2, 46 |
5, 06 |
4, 32 |
6, 01 |
9, 02 |
7, 20 |
11,20 |
11,24 |
13,21 |
2,11 |
4, 14 |
5, 16 |
3, 68 |
6, 12 |
9, 12 |
7, 25 |
11,06 |
11,34 |
13,40 |
2,12 |
4, 18 |
4, 14 |
3, 33 |
6, 44 |
9, 14 |
7, 93 |
11,01 |
11,66 |
13,80 |
2,14 |
4, 42 |
5, 18 |
4, 41 |
6, 90 |
9, 16 |
7, 98 |
10,01 |
11,69 |
6,92 |
2,13 |
3, 10 |
5, 20 |
5, 17 |
6, 92 |
9, 18 |
8, 01 |
10,22 |
11,80 |
6,99 |
4,90 |
2, 14 |
4, 10 |
5, 21 |
6, 96 |
8, 13 |
8, 24 |
10,27 |
11,86 |
6,01 |
2,99 |
2, 18 |
2, 44 |
2, 41 |
7, 00 |
9, 22 |
8, 15 |
10,12 |
12,01 |
6,90 |
2,64 |
3, 11 |
5, 00 |
5, 90 |
7, 02 |
9, 28 |
8, 45 |
10,16 |
12,12 |
15,01 |
2,73 |
2, 44 |
5, 08 |
5, 92 |
7, 14 |
9, 44 |
9, 00 |
10,14 |
13,01 |
15,20 |
4,10 |
5, 08 |
3, 64 |
5, 98 |
7, 19 |
9, 98 |
8, 36 |
10,99 |
13,20 |
15,21 |
392
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XII. Элементы математической статистики
Вариант 23
Над случайной величиной X произведено 100 независимых испытаний, в результате которых получена выборка. Требуется:
1.Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограммы частот и относительных частот.
2.Изобразить на гистограмме относительных частот приближён-
ный эскиз графика плотности распределения. Построить график статистической функции распределения.
3.Составить дискретный вариационный ряд, взяв за значения вариант середины интервалов, и построить полигоны частот и отно-
сительных частот.
4.Построить график статистической функции распределения, ис-
ходя из дискретного вариационного ряда.
5.Найти оценки математического ожидания M[X], дисперсии D[ X ] ,
среднего квадратического отклонения σ [ X ] .
6.Найти исправленные значения дисперсии и среднего квадратиче-
ского отклонения и сравнить их с выборочными (статистическими) значениями.
7.Найти теоретические частоты в предположении, что случайная величина X распределена нормально.
8.Пользуясь критерием согласия К. Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X .
9.Найти интервальную оценку (доверительный интервал) для ма-
тематического ожидания M [ X ] случайной величины X , если X
предполагается распределённой нормально.
Х – толщина плашек после шлифовки (мм)
14,13 |
14,17 |
14,20 |
14,10 |
14,21 |
14,16 |
14,18 |
14,18 |
14,12 |
14,17 |
14,13 |
14,18 |
14,18 |
14,21 |
14,17 |
14,23 |
14,18 |
14,19 |
14,19 |
14,11 |
14,18 |
14,18 |
14,15 |
14,18 |
14,16 |
14,13 |
14,14 |
14,24 |
14,29 |
14,25 |
14,20 |
14,16 |
14,17 |
14,14 |
14,12 |
14,17 |
14,19 |
14,18 |
14,26 |
14,20 |
14,20 |
14,20 |
14,21 |
14,11 |
14,15 |
14,23 |
14,16 |
14,17 |
14,20 |
14,11 |
14,14 |
14,21 |
14,23 |
14,21 |
14,20 |
14,20 |
14,15 |
14,16 |
14,19 |
14,12 |
14,21 |
14,12 |
14,16 |
14,19 |
14,15 |
14,18 |
14,21 |
14,12 |
14,23 |
14,12 |
14,12 |
14,18 |
14,27 |
14,22 |
14,19 |
14,17 |
14,17 |
14,10 |
14,18 |
14,21 |
14,18 |
14,19 |
14,22 |
14,21 |
14,18 |
14,19 |
14,18 |
14,25 |
14,26 |
14,28 |
14,19 |
14,13 |
14,12 |
14,15 |
14,16 |
14,12 |
14,19 |
14,17 |
14,24 |
14,09 |
393
Терехов С.В Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XII. Элементы математической статистики
Вариант 24
Над случайной величиной X произведено 100 независимых испытаний, в результате которых получена выборка. Требуется:
1.Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограммы частот и относительных частот.
2.Изобразить на гистограмме относительных частот приближён-
ный эскиз графика плотности распределения. Построить график статистической функции распределения.
3.Составить дискретный вариационный ряд, взяв за значения вариант середины интервалов, и построить полигоны частот и отно-
сительных частот.
4.Построить график статистической функции распределения, ис-
ходя из дискретного вариационного ряда.
5.Найти оценки математического ожидания M[X], дисперсии D[ X ] ,
среднего квадратического отклонения σ [ X ] .
6.Найти исправленные значения дисперсии и среднего квадратиче-
ского отклонения и сравнить их с выборочными (статистическими) значениями.
7.Найти теоретические частоты в предположении, что случайная величина X распределена нормально.
8.Пользуясь критерием согласия К. Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X .
9.Найти интервальную оценку (доверительный интервал) для ма-
тематического ожидания M [ X ] случайной величины X , если X
предполагается распределённой нормально.
Х – длина ампул (мм)
21, 9 |
20, 2 |
24, 0 |
21, 0 |
19, 7 |
21, 0 |
20, 8 |
19, 8 |
22, 4 |
21, 0 |
20, 5 |
19, 5 |
23, 5 |
22, 7 |
19, 6 |
22, 4 |
20, 0 |
20, 0 |
20, 7 |
19, 0 |
20, 0 |
22, 5 |
23, 7 |
21, 3 |
22, 4 |
20, 7 |
24, 6 |
22, 5 |
24, 6 |
20, 6 |
19, 5 |
18, 2 |
24, 2 |
21, 5 |
21, 7 |
18, 6 |
21, 6 |
21, 8 |
19, 6 |
23, 5 |
21, 5 |
20, 3 |
23, 6 |
24, 9 |
23, 0 |
21, 0 |
19, 5 |
22, 3 |
21, 2 |
19, 5 |
23, 0 |
20, 4 |
21, 5 |
19, 8 |
23, 5 |
21, 6 |
20, 1 |
20, 6 |
23, 0 |
22, 5 |
22, 3 |
21, 5 |
21, 2 |
19, 6 |
22, 3 |
20, 5 |
20, 8 |
23, 0 |
21, 5 |
20, 4 |
20, 6 |
21, 4 |
19, 8 |
19, 7 |
24, 5 |
22, 5 |
21, 5 |
21, 5 |
22, 0 |
20, 8 |
20, 4 |
20, 8 |
20, 0 |
18, 0 |
23, 8 |
20, 4 |
20, 5 |
19, 7 |
20, 8 |
21, 8 |
18, 3 |
22, 1 |
23, 0 |
20, 1 |
23, 0 |
24, 0 |
23, 0 |
21, 0 |
22, 3 |
22, 0 |
394
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XII. Элементы математической статистики
Вариант 25
Над случайной величиной X произведено 100 независимых испытаний, в результате которых получена выборка. Требуется:
1.Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограммы частот и относительных частот.
2.Изобразить на гистограмме относительных частот приближён-
ный эскиз графика плотности распределения. Построить график статистической функции распределения.
3.Составить дискретный вариационный ряд, взяв за значения вариант середины интервалов, и построить полигоны частот и отно-
сительных частот.
4.Построить график статистической функции распределения, ис-
ходя из дискретного вариационного ряда.
5.Найти оценки математического ожидания M[X], дисперсии D[ X ] ,
среднего квадратического отклонения σ [ X ] .
6.Найти исправленные значения дисперсии и среднего квадратиче-
ского отклонения и сравнить их с выборочными (статистическими) значениями.
7.Найти теоретические частоты в предположении, что случайная величина X распределена нормально.
8.Пользуясь критерием согласия К. Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины X .
9.Найти интервальную оценку (доверительный интервал) для ма-
тематического ожидания M [ X ] случайной величины X , если X
предполагается распределённой нормально.
Х – содержание (%) золота в руде
11, 7 |
13, 2 |
75, 5 |
10, 8 |
10, 2 |
56, 3 |
50, 3 |
57, 6 |
48, 2 |
11, 8 |
32, 4 |
16, 5 |
25, 5 |
8, 9 |
15, 7 |
63, 5 |
19, 3 |
63, 2 |
63, 8 |
36, 8 |
17, 7 |
25, 8 |
12, 5 |
21, 7 |
12, 2 |
23, 9 |
41, 3 |
26, 6 |
22, 8 |
77, 5 |
7, 8 |
13, 9 |
12, 3 |
15, 6 |
39, 0 |
83, 5 |
65, 0 |
32, 3 |
39, 1 |
33, 7 |
27, 7 |
12, 9 |
61, 5 |
15, 3 |
83, 6 |
33, 1 |
16, 1 |
14, 8 |
44, 4 |
26, 4 |
8, 5 |
21, 3 |
75, 6 |
47, 4 |
46, 0 |
12, 4 |
23, 6 |
27, 6 |
40, 7 |
39, 1 |
24, 8 |
17, 9 |
27, 3 |
60, 7 |
37, 4 |
60, 7 |
22, 5 |
87, 8 |
22, 8 |
34, 2 |
58, 4 |
78, 8 |
11, 7 |
45, 6 |
28, 1 |
73, 2 |
53, 0 |
41, 6 |
24, 9 |
48, 1 |
15, 9 |
10, 5 |
12, 0 |
11, 1 |
42, 0 |
50, 2 |
22, 3 |
49, 5 |
94, 2 |
21, 6 |
84, 7 |
74, 5 |
14, 1 |
48, 5 |
93, 8 |
49, 0 |
67, 8 |
37, 1 |
39, 1 |
6, 6 |
395
Терехов С.В Индивидуальные домашние задания по высшей математике
|
|
|
|
|
|
Таблица значений функции tγ |
= t(γ ; n) . |
Приложение В |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0,95 |
|
0,99 |
|
0,999 |
|
|
|
|
|
|
0,95 |
|
0,99 |
|
0,999 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Критические точки распределения χ 2 . |
Приложение Г |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уровень значимости α |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степеней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|
0,025 |
|
0,05 |
|
0,95 |
|
0,975 |
|
0,99 |
|
|||
свободы k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
396
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение Д |
|||||||
|
Таблица значений функций P (χ 2 > χ 2 )= |
1 − γ |
и P (χ 2 > χ 2 )= |
1 + γ |
. |
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0,99 |
|
|
|
0,95 |
|
|
|
|
0,90 |
|
|
|
|
|||||||||
γ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ21 |
|
|
|
χ22 |
|
χ21 |
|
|
|
|
χ22 |
|
χ21 |
|
|
|
|
|
χ22 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
397
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный технический университет Кафедра “Высшая математика” им. В.В. Пака
Индивидуальные домашние задания
по высшей математике
Часть 6. Тензорная алгебра
Донецк – 2011
398
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Модульный блок № 6
Задания для самостоятельного решения
XIII. Тензорная алгебра
Вариант 1
1. |
Найти матрицу преобразования, если новая система координат получена |
||||
из старой путем поворота на угол π / 6 вокруг оси абсцисс. |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
2. |
Найти координаты вектора |
|
= |
1 |
в новой системе координат п.1. Вы- |
a |
|||||
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
числить длину данного вектора в старой и новой системах координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 1 |
||
3. |
Выделить симметричную и антисимметричную части тензора 1 |
2 |
3 и |
|||||||||
найти его свёртку. |
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
1 |
|||
|
|
|
0 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Найти внешнее произведение вектора |
|
= |
1 и вектора |
|
|
= 2 . |
|
|
||||
a |
b |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
− 1 |
4 |
|
|
|||
5. |
Найти главные значения и главные векторы симметричного тензора 2 ран- |
|||||||||||
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
га 1 |
2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти главный декартов базис для тензора п. 5 и записать тензор в этом |
|||||||||||
базисе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислить линейный, квадратичный и кубический инварианты симмет- |
|||||||||||
|
|
|
5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ричного тензора второго ранга 1 |
− 2 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8. Представить тензор п.7 в виде суммы девиатора и шарового тензора.
2 |
0 |
0 |
|
|
9. Состояние среды задаётся тензором напряжений: |
0 |
4 |
0 |
. Какие дейст- |
|
0 |
0 |
1 |
|
вия произведены над средой? Найти вектора ϕ (n1 ) , ϕ (n2 ) , ϕ (n3 ) .
10. Найти вектор напряжений для случая, описанного в п.7, на площадке с
− 1
нормальным вектором n = 0 , а также его нормальную и касательную сос-
1
тавляющие.
11. Найти тензор деформаций, если поле смещений определяется выражением u (r )= 10−3 ((x − y + 2z) i + (3x − 2z) j + (2x − y) k ), определить тип деформаций и
вычислить объёмную деформацию.
399