IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XI. Теория вероятностей
Вариант 8
1.Пусть A, В, С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из A, В, С: а) произошло только событие А; б) ни одно событие не произошло; в) произошло не более двух событий.
2.Для уменьшения общего количества игр на соревнованиях 16 волейбольных команд разбили на две подгруппы (по 8 команд в каждой), найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруп-
пах.
3.Общество из n человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определённых лица окажутся рядом.
4.Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того,
что произведение выпавших очков будет чётным.
5.При штамповке пластмассовых тарелок брак составляет в среднем 2% общего числа изделий, 95% годных изделий составляет продукция первого сорта. Найти вероятность того, что взятая наудачу тарелка окажется 1-го сорта.
6.Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадет в цель; б) все три снаряда попадут в цель.
7.Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица; вторая перфораторщица.
8.На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами, из них 70% – первым заводом и 30% – вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведенных 1-ым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведенных 2-ым заводом, 80 удовлетворяют стандарту. Определить вероятность того, что взятая наудачу с ба-
зы лампочка удовлетворяет стандарту.
9.Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 0,1. Какова вероятность, имея 4 билета, выиграть: а) по одному билету; б) ни по одному билету;
в) хотя бы по одному билету.
320
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
10.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100 испы-
таниях.
11.Установлено, что в среднем 0,5% шариков, изготовляемых для подшипников, оказывается бракованными. Определить вероятность того, что из поступивших на калибровку 1000 шариков бракованных будет не менее 40 и не более 50 штук.
12.Случайная дискретная величина X задана законом распределения:
xi |
2 |
6 |
10 |
pi |
0,5 |
? |
0,1 |
Построить график функции распределения этой случайной величины, вычис-
лить её математическое ожидание и дисперсию.
13. Плотность вероятности случайной величины |
A x, |
0 |
≤ x ≤ 2 |
. Найти: |
|
f (x) = |
0, |
x < |
0, x > 2 |
||
|
|
|
|||
а) коэффициент A ; б) интегральную функцию распределения; в) вычислить
вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания будет не более 0,5.
0, |
x ≥ 2π |
14. Величина X задана функцией распределения F(x) = sinx, 2π < x ≤ 5π / 2. Требу- |
|
1, |
x > 5π / 2 |
ется: а) найти дифференциальную функцию распределения |
f (x) ; б) построить |
графики функций f (x) и F(x) ; в) найти P (π / 4 ≤ x < 9π / 4). |
|
15. Рост взрослой женщины является случайной величиной распределённой по нормальному закону. Её математическое ожидание равно 164 см, а среднее квадратическое отклонение – 5,5 см. Найти плотность вероятности этой случайной величины и вычислить вероятность того, что хотя бы одна из пяти взятых наудачу женщин имеет рост в пределах 163-165 см.
321
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XI. Теория вероятностей
Вариант 9
1.Игральная кость брошена один раз. Событие А – появление на верхней грани не менее трёх очков, событие В – появление не более четырёх очков.
Образуют ли события А и В пространство элементарных событий? Опи-
сать событие АВ.
2.Для дежурства на агитпункте из отдела, в котором работает 10 инженеров,
5техников и 3 лаборанта, надо выделить 5 человек. Чему равна вероятность того, что будут выделены 2 инженера, 2 техника, 1 лаборант?
3.Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число N даст число, которое оканчивается единицей при: а) возведении в квадрат; б) возве-
дении в 4 степень.
4.В электрическую цепь последовательно включены приборы A1 и A2 , не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора A1
равна 0,1, а прибора A2 – 0,2. Цепь выключается, если выйдет из строя хотя бы один прибор. Определить вероятность выхода из строя цепи.
5.Производится бомбардирование военного объекта. Вероятность попадания
вцель при сбрасывании бомбы равна 0,7, а вероятность того, что бомба не взорвётся, равна 0,08. Найти вероятность того, что объект будет разрушен, если будет сброшена одна бомба.
6.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии 1-ый сигнализатор сработает, равна 0,95; для 2-го сигнализатора эта вероятность равна 0,5. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
7.В первой коробке содержится 20 радиоламп, из которых 18 стандартных, во второй – 10 радиоламп, из которых 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая затем из первой коробки, будет стандартной.
8.Сборщик получает в среднем 50% деталей завода № 1, 30% – завода № 2, 20% – завода № 3. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества, равна 0,7; для детали второго и третьего заводов эти вероятности, соответственно, равны 0,8 и 0,9. Наудачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена за-
водом № 1.
322
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
9. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/6. Какова вероятность не выиграть по двум билетам из пяти?
10. На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 1,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется два бракованных изделия.
11.Прядильщица обслуживает 200 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдёт в 3 веретенах.
12.Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трёх независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6. Найти математическое ожидание и диспер-
сию этой случайной величины.
13.Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью f (x) ,
|
A |
|
, x < A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Требуется: а) найти коэффициент A ; б) най- |
||||||
причём f (x) = |
2 |
|
2 |
|
||||||
A |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x ≥ A |
|
|
|
|
|
|
||
0, |
|
|
|
|
|
|
в) найти вероятность попа- |
|||
ти интегральную функцию распределения F(x) ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
дания случайной величины на интервал |
|
; A . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x ≤ −1 |
14. Дана интегральная функция распределения |
|
|
−1< x ≤1/3 слу- |
|||||||
F(x) = 3 (x+1)/ 4, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
x >1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чайной величины X. Требуется: а) найти плотность вероятности f (x) ; б)
найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функ-
ций F(x) и f (x) .
15. Случайная величина X подчинена нормальному закону с M [X ] = 0 . Вероятность попадания её на участок (− 2; 2 ) равна 0,5. Найти дисперсию этой случайной величины и записать её дифференциальную функцию распределения.
323
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XI. Теория вероятностей
Вариант 10
1. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырёх однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен, или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен только один из четырёх объектов; В – обнаружен хотя бы один объект; С – обнаружено не менее двух объектов; Д – обнаружено ровно два объекта; Е – обнаружено ровно три объекта; F – обнаружены все 4 объекта. Указать, в чём состоят события А+В, АВ, Д+Е+F. Совпадают ли события ВС и Д?
2.В пруду находится 800 осетров и 500 стерлядей. Какова вероятность того, что две подряд выловленные рыбы окажутся разных видов?
3.Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Вычислить вероятность того, что вторую, также взятую наудачу кость домино можно при-
ставить к первой.
4.Бросается две монеты. Рассматриваются события: А – выпадение герба на первой монете; В – выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события С=А+В. В чём состоит событие С?
5.Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно
11.Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут дождли-
выми?
6.Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности равны, соответственно, 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадёт в цель; б) хотя бы один снаряд попадёт в цель.
7.На сборочный конвейер поступают детали с трёх станков. Производительность станков неодинаковая. Первый станок дает 50% деталей, второй – 30%, третий – 20%. Если в сборку попадёт деталь, сделанная на первом станке, то вероятность получения годного узла – 0,98. Для продукции 2 и 3 станков соответствующие вероятности равны 0,98 и 0,8. Определить вероятность того, что узел, сошедший с конвейера, годный.
8.В группе спортсменов 10 лыжников, 12 велосипедистов и 13 бегунов. Вероятность выполнения квалификационной нормы такова: для лыжника p1 =
= 0,9 ; для велосипедиста p2 = 0,8 ; для бегуна p3 = 0,75. Выбранный наудачу
спортсмен выполнил норму. К какой из групп вероятнее всего он принадле-
жал?
324
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
9.Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.
10.На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 1%. Чему равна вероятность того, что в партии, состоящей из 300 изделий, окажется 4
бракованных изделия?
11.Вероятность того, что покупатели необходим костюм 56-го размера, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 100 покупателей 30 потребуют кос-
тюмы этого размера.
12.Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, …, n с равной вероятностью, а все прочие значения – с вероятностью, равной нулю. Найти: а) функцию распределения этой случайной величины; б) построить её график;
в) вычислить математическое ожидание и дисперсию.
13.О случайной величине X говорят, что она распределена по закону Рэлея,
если плотность её распределения равна f (x) = A
x e− x 2 / 262 , x ≥ 0 |
. Вычислить: |
||
0, |
x < 0 |
||
|
|||
а) константу A ; б) найти функцию распределения; в) построить её график и найти точку, в которой плотность достигает максимума.
0, |
x≤0 |
|
|
2 |
< x≤ 6. |
14. Случайная величина X задана функцией распределения F(x) = x /36, 0 |
||
|
1, |
x> 6 |
|
||
Требуется найти: а) P(1≤ x ≤ 7) ; б) дифференциальную функцию f (x) ; в) математическое ожидание и дисперсию; г) построить графики функций F(x), f (x) .
15. Известно, что в некоторой местности средний рост взрослых мужчин распределен по нормальному закону и равен а = 170 см, а σ = 10 см. Какова вероятность того, что рост наудачу выбранного мужчины этой местности попадёт в промежуток между 165 см и 180 см?
325
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XI. Теория вероятностей
Вариант 11
1. Игральная кость бросается один раз. Рассматриваются события: A – появление на верхней грани не менее трёх очков; B – появление на верхней грани
не более четырёх очков. Равновозможные ли эти события? Совместны ли
они? Описать события, равные А+В и АВ.
2. В мастерскую для ремонта поступило 10 часов марки “Заря”. Известно, что шесть штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берёт первые попавшиеся 5 часов. Определить вероятность того, что двое из них нуждаются в общей чистке механизма.
3.В колоде 36 карт четырёх мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлечённые карты одной масти.
4.Покупатель приобрёл пылесос и полотёр. Вероятность того, что пылесос не выйдет из строя в течение гарантийного срока, равна 0,95; для полотёра такая вероятность равна 0,94. Найти вероятность того, что хотя бы один из приборов выдержит гарантийный срок.
5.Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно 6 выстрелов.
6.Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое отделение почты равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.
7.У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью p1 ; на втором месте – с вероятностью p2 ;
на третьем – с вероятностью p3 . Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы,
три раза закинул удочку, и рыба клюнула только раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
8. В трёх урнах имеются белые и чёрные шары. В 1-ой урне – 3 белых и 1 чёрный шар, во 2-ой – 6 белых и 4 чёрных, в 3-ей – 9 белых и 1 чёрный. Из наугад выбранной урны выбирается случайным образом шар. Найти вероятность того, что он белый.
326
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
9.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 120 раз в 144 испыта-
ниях.
10.Принимая вероятность изготовления нестандартной детали 0,05, найти вероятность того, что из взятых 5 деталей 4 окажутся стандартными.
11.Вероятность того, что пара обуви, взятая наугад из изготовленной партии, окажется высшего сорта, равна 0,4. Чему равна вероятность того, что среди
600пар, поступивших на контроль, окажется от 228 до 252 пары обуви выс-
шего сорта.
12.Случайные величины X и Y заданы таблицами распределения:
xi |
1 |
3 |
4 |
5 |
pi |
0,25 |
? |
0,15 |
0,4 |
yi |
0 |
2 |
3 |
gi |
0,35 |
0,25 |
0,4 |
Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y и проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
|
0, |
x ≤ 0 |
|
|
2 |
/16, |
0< x ≤ 4. |
13. Случайная величина X задана интегральной функцией F(x) = x |
|
||
|
1, |
x > 4 |
|
|
|||
Требуется: а) найти плотность распределения вероятности; б) построить графики функций F(x) , f (x) ; в) найти математическое ожидание и дисперсию.
14. Дана плотность вероятности случайной величины |
|
0, |
x < |
0, x > π |
. |
f (x) = |
|
|
≤ x ≤ π |
||
|
A sin x, 0 |
|
|||
Определить коэффициент A ; найти функцию распределения F(x) и вероятность P ( x ≤ π / 2).
15. Установлено, что диаметр изготовляемых поршней является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним значением, равным 4 дюймам, и дисперсией, равной 0,0009 . Поршни с диаметром более 4,006 и менее 3,994 дюйма являются браком. Каков при этих условиях процент брака в изготовляемых партиях?
327
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
XI. Теория вероятностей
Вариант 12
1.Рассматриваются события: A i – попадание при i-ом выстреле (i =1, 2, 3). Выразить через Ai и Ai следующие события: A – все три попадания; В – хо-
тя бы один промах; С – не менее двух попаданий.
2.Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того,
что набраны нужные цифры.
3.Лотерея выпущена на общую сумму n рублей. Цена одного билета z рублей. Ценные выигрыши попадают на m билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.
4.Из колоды в 36 карт наудачу выбираются 3 карты. Какова вероятность того, что среди них не более одного туза?
5.В урне a белых и b чёрных шаров. Из неё в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящееся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку был вынут белый шар.
6.Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок поразит мишень; г) хотя бы один стрелок поразит мишень.
7.В цехе три типа автоматических станков. Известно, что станок первого типа производит 90% деталей отличного качества, станок второго типа – 85%, третьего – 80%. Все произведенные детали сданы на склад. Определить веро-
ятность того, что взятая наудачу деталь со склада окажется отличного качества, если станков первого типа 10 штук, второго – 8, третьего – 2, а производительность всех станков одинакова.
8.Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом № 1, и три коробки таких же деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,9; завода № 2 – 0,7. Из наудачу взятой, коробки наудачу извлечённая сборщиком деталь оказалась стандартной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена заводом № 1 или за-
водом № 2?
9.Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых для испытания пяти деталей одна бракова-
нная?
328
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
10.По данным ОТК в среднем 2% изготавливаемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 300
изготовленных часов 290 штук не будут нуждаться в дополнительной регулировке?
11.Вероятность того, что пара обуви, взятая наугад из изготовленной партии, окажется высшего сорта, равна 0,3. Чему равна вероятность того, что среди
300пар, поступивших на контроль, окажется от 280 до 292 пар обуви высше-
го сорта.
12.Дан закон распределения случайной величины X:
|
xi |
|
-2 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
pi |
|
|
0,1 |
? |
0,3 |
0,1 |
|
|
|
|
||
Составить закон распределения случайной величины Z= X2 |
и построить гра- |
||||||||||||
фик функции распределения случайной величины Z . |
|
|
|
||||||||||
13. Случайная величина задана функцией распределения |
x |
|
|||||||||||
F(x) = A+ Barctg |
|
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
Найти коэффициенты A, B; P ( |
|
|
|
|
≤ π / 2 ); |
|
|
|
2 |
|
|||
|
x |
|
|
дифференциальную функцию распре- |
|||||||||
|
|
||||||||||||
деления.
14. Случайная величина X подчинена закону Симпсона (“закону равнобедренного треугольника”) на участке от − a до a (см. рис.).
f (x)
− a 0 a x
Требуется: а) написать выражение для плотности распределения; б) найти
функцию распределения и построить её график; в) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
15. Результаты измерения расстояния между двумя населёнными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: M[X] = 16 км, σ[X] =1 км. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 15,65
км и не более 16,3 км.
329