Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4604 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Донецкий национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
65
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать
☆

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 21

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

n

 

 

 

 

 

∞

n

 

ходимого признака сходимости ряда:

а) ∑

 

 

 

;

 

б) ∑

.

n 2 + 2

ln n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

n =1

 

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

 

 

∞

( − 1)

n

 

 

 

 

∞

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ∑

 

;

 

 

 

б)

∑

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

3 n

 

 

 

 

 

( n + 2 ) ( n + 3)

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

 

 

 

∞

 

 

 

 

π

 

 

 

∞

 

ln (n + 2 )

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

sin

 

 

 

 

;

б)

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

3 n

+ 1

 

n =1

 

n + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

 

 

 

∞

5

n

( 2 n + 1)

 

 

∞

 

1 3 5 ... ( 2n + 1)

 

 

 

а) ∑

 

;

б)

∑

 

.

 

 

 

n =1

 

 

3 n − 1

 

 

n =1

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞

n 2

∞

arctg ( 2 n )

 

а) ∑

 

 

;

б) ∑

 

 

 

 

.

n 3

+ 1

4 n 2

+

1

 

n =1

 

n =1

 

 

6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

∞

 

( − 1 ) n 2 n

 

 

 

а)

−

 

 

+

 

 

−

 

 

 

 

+

 

 

 

− ... ;

 

б) ∑

 

 

 

.

 

 

2

 

5

10

17

 

 

 

2 n − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

 

 

 

x 2

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

x 4

 

x5

 

∞

 

(− 1) n (n 2 + 1 )

 

∞

а)

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

+ ... ;

б) ∑

 

 

 

 

;

в) ∑ n! ( x + 3) n .

1 2

 

2 3

3 4

4

5

 

5 n ( x +

4 ) n

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

n =1

8. а) Разложить функцию f (x)

в ряд Тейлора ( при x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

( при

 

x0

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x)

 

в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = x ;

x0 = 4 ;

 

 

 

б) f (x) = x ln(10 + x ) .

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y ' = y 2 − x ; y(0) = 1. 10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а)

f (x) = π ,

− π < x ≤ 0

;

б)

f (x) = x + π ; x ( 0; π ] (по синусам).

 

π − x,

0 < x ≤ π

 

 

f (x) = x ; x ( 0; 1 ] (по косинусам).

11. а)

f (x) = x + 2 ;

x ( − 2; 2 ] ;

б)

300

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 22

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞

n

2

 

∞

4

 

ходимого признака сходимости ряда: а) ∑

 

;

б) ∑

.

n + 1

ln n

n =1

 

n =1

 

 

 

 

 

 

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

1

 

∞

1

 

а) ∑

;

б) ∑

.

5 n

( n + 4 ) ( n + 5 )

n =1

 

n =1

 

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞

1

 

∞

n!

 

а) ∑

;

б) ∑

.

3 22 n −1

n + 5

n =1

 

n =1

 

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞

3

2 n +1

 

∞

( 3n + 2 )!

 

а) ∑

 

;

б) ∑

.

2 3 n −1 n

 

n =1

 

n =1

10 n + 1

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞

n 3

∞

1

 

а) ∑

 

 

;

б) ∑

 

.

n 4

+ 5

n 2 + n

n =1

 

n =1

 

6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):

 

3

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

∞

( − 1 )

n

 

 

 

 

 

 

 

а) 2 −

+

 

−

+ ...;

б) ∑

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3 + 2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

9

 

 

16

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

x

5

 

 

x

7

 

∞

(− 1)

n −1

x

n

 

∞

( x − 2 )

n

а) x +

 

 

+

 

 

+

 

 

+ ...;

б) ∑

 

 

 

 

;

в) ∑

 

.

 

 

 

 

 

 

7

n ( 2 n − 1)

n!

 

3

 

 

 

5

 

 

 

n =1

 

n =1

 

 

8. а) Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора ( при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

( при x0 = 0 ); б) разложить данную функцию

 

f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = e x ; x0 = − 2 ;

 

 

 

б) f (x) = e 3 x − 2 + cos ( 3 x ).

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:

y '' = x sin y ' ; y(1) = 0 ; y ' (1) = π .

10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а)

f (x) = x,

− π < x ≤ 0

;

б)

f (x) = π − x ; x ( 0; π ] (по косинусам).

 

1,

0 < x ≤ π

 

 

f (x) = 2 x ; x ( 0; 2 ] (по синусам).

11. а)

f (x) = 1 − x ;

x ( − 1; 1 ];

б)

301

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 23

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞

∞

ходимого признака сходимости ряда: а) ∑ [(2n + 1) / 3n ];

б) ∑[(n3 + 1) / n] .

n=1

n=1

2.

Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

 

∞

( − 1)

n − 1

 

∞

 

 

1

 

 

 

а) ∑

 

 

 

;

б) ∑

 

 

 

.

 

 

5 2 n −

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

1

 

n =1

n2 − 3n + 2

3.

Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

 

∞

1

 

 

 

 

∞

2π

 

 

а) ∑

 

 

 

;

 

б) ∑ tg

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

n4 +

1

 

 

n =1

7 n

4.

Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

 

∞

 

2 n − 1

 

 

∞

n! 2

n

 

 

 

а) ∑

 

;

 

б) ∑

 

 

.

 

 

 

7 n

 

n + 5

 

 

n =1

 

 

 

n =1

 

 

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞

1

 

∞

n 2

а) ∑

 

;

б) ∑

 

 

.

n2 + 3n

n 3

+ 5

n =1

 

n =1

 

6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):

 

− 1

+ 2

− 3

 

 

 

4 − ... ;

 

 

∞

 

( − 1 )

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

+

 

 

 

б) ∑

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 n +

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

10

 

 

17

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

 

 

 

 

 

 

 

 

(

2 x + 1)

2

 

 

( 2 x + 1)

3

 

 

 

∞

 

( n + 1)!

 

∞

(−1)

n

(x + 2)

n

а)

( 2 x + 1) +

 

 

+

 

 

+ ... ;

б) ∑

 

;

в) ∑

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x n

 

( 2n + 1) 3 n

 

 

 

 

 

3

 

 

5

 

 

 

 

n =1

 

 

 

n =1

 

 

8. а) Разложить функцию f (x)

 

в ряд Тейлора

 

( при x0

≠ 0 ) или ряд Маклорена

( при

x0 = 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = cos x ; x0 = − π / 3 ;

 

б) f (x) =

 

1 + x 7 .

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:

y '' = x y ' + y 2 ; y(0) = 1; y ' (0) = 2 .

10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а)

f (x) = 0,

− π < x ≤ 0

;

б)

f (x) = x − π ; x ( 0; π ] (по синусам).

 

x,

0 < x ≤ π

 

 

 

11. а)

f (x) = e x ;

x ( − 3; 3 ];

б)

f (x) = 2 x ; x ( 0; 1 ) (по косинусам).

302

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 24

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞

5 n

 

∞

2

+ 4

 

ходимого признака сходимости ряда: а) ∑

;

б) ∑

n

 

.

 

 

 

 

 

n =1

3 n − 1

 

n =1

7 n

2. Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

∞

1

 

∞

 

1

 

а) ∑

;

б) ∑

 

.

4 2 n + 1

n2

− 5n + 6

n =1

 

n =1

 

3. Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

∞

2 n + 1

 

∞

1

 

а) ∑

;

б) ∑

.

n

( 2 n + 1) 5 n

n =1

 

n =1

 

4. Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

∞

n!

 

∞

2 5 8 ... (3 n − 1)

 

а) ∑

;

б) ∑

.

n =1

3 n

 

n =1

3 5 7 ... (2 n + 1)

 

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

∞

n

2

 

∞

1

 

а) ∑

 

 

;

б) ∑

( n + 5 ) 3

.

n 2

 

n =1

+ 1

n =1

 

6. Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость, используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

∞

( − 1 ) n n 2

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

−

 

 

+

 

 

−

 

 

+ ... ;

б) ∑

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

1

2

2

3

3

4

4

5

( n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Найти область сходимости функциональных рядов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

2 n − 1

 

 

∞

(−1)

n

(x − 5 )

2 n + 1

 

а) 3 x 2 + 6 x 5 + 9 x8 + 12 x11 + ... ;

б) ∑

;

в) ∑

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

x n

n =1

 

 

3 n + 8

 

 

8. а) Разложить функцию f (x)

в ряд Тейлора ( при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

( при

 

x0

= 0 ); б) разложить данную функцию

f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а) f (x) = 1/(1 − x) ;

x0 = 2 ;

б) f (x) = e x − x sin x .

 

9. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда:

y '' − x y = 0 ; y(0) = 0 ; y ' (0) = 1.

10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а)

f (x) = 1,

− π < x ≤ 0

;

б)

f (x) = x − 2π ;

x ( 0; π ] (по косинусам).

 

x,

0 < x ≤ π

 

 

 

x ( 0; 2 ) (по синусам).

11. а)

f (x) = 5x ;

x ( − 1; 1 ];

 

б)

f (x) = 3 − 2 x ;

303

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

X. Ряды

Вариант 25

1. Написать первые пять членов данных рядов. Проверить выполнение необ-

∞

1

 

∞

3

n

 

ходимого признака сходимости ряда: а) ∑

;

б) ∑

 

 

.

n 5n

n + 1

n =1

 

n =1

 

2.

Исследовать ряды на сходимость, используя определение сходимости:

 

 

∞

 

 

 

∞

6

 

 

 

 

а) ∑ 5− 2 n ;

б) ∑

 

.

 

 

 

9n2 + 6n − 8

 

 

 

n =1

 

 

 

n =1

 

 

 

3.

Исследовать ряды на сходимость, используя признак сравнения:

 

 

∞

sin (2 / n)

 

 

∞

 

1

 

 

 

 

а)

∑

;

б)

∑

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

2 n

 

n =1

 

n2 + 4

 

 

4.

Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера:

 

 

∞

 

 

 

∞

 

1 3 5 ... (2n − 1)

 

 

а)

∑ (n2 / 5n+1 ) ;

б)

∑

 

.

 

 

 

 

n=1

 

 

 

n =1

 

3 n (n + 1)!

5. Исследовать ряды на сходимость, используя интегральный признак Коши:

 

 

∞

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

б) ∑

 

3 (n + 2)4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 n − 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Записать общий член ряда в случае а) и исследовать ряды на сходимость,

используя признак Лейбница (в случаях а) и б)):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

( − 1 )

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 1 −

+

 

−

 

+ ... ;

 

 

 

 

 

б) ∑

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

27

64

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Найти область сходимости функциональных рядов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

( x + 2)

2

3

( x + 2)

3

 

∞

 

 

2 n

 

∞

(−1)

n

x

2 n + 1

 

а)

3(x + 2)

+

3

 

+

3

 

+ ...; б) ∑

(x − 1)

 

 

; в) ∑

 

 

 

.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

1 2 3

 

 

n =1

n 7 n

 

n =1

 

4n − 3

 

 

8.

а) Разложить функцию

f (x)

 

в ряд Тейлора

( при

x0 ≠ 0 ) или ряд Маклорена

( при x0

= 0 ); б) разложить данную функцию f (x) в ряд Маклорена, используя

стандартные разложения: а)

f (x) = cos x ;

 

x0 = π / 3 ;

 

б) f (x) = sin( 2x ) − cos( 2x ) .

9.

Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного

ряда, указав первые четыре ненулевых члена этого ряда: y'

+ y2

= ex ;

y(0) = 0 .

10, 11. а) Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах; б) разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах либо по косинусам, либо по синусам (указано в скобках).

а)

f (x) = x + 7 ;

x ( − π ; π ];

б)

f (x) = 0,

− π < x ≤ 0

; (по косинусам).

 

 

x ( − 2; 2 ] ;

 

x,

0 < x ≤ π

 

11. а)

f (x) = 1 − x ;

б)

f (x) = 2x − 1 ; x ( 0; 1 ] (по синусам).

304

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет Кафедра “Высшая математика” им. В.В. Пака

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Часть 5. Теория вероятностей, элементы математической статистики

Донецк – 2011

305

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Модульный блок № 5

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 1

1.Производится два выстрела по мишени. Опишите для этого опыта структуру пространства элементарных исходов (событий). Каким является событие, равное сумме приведенных Вами событий? Какими являются события, равные пересечению любых двух событий из приведенных Вами.

2.Каждая из букв А, Г, Н, О, Р, Ы написана на одной из шести карточек, из которых наудачу выбирают четыре. Какова вероятность того, что в результате последовательного выбора наугад карточек получится слово “горы”?

3.Наугад указывается месяц и число некоторого невисокосного года. Какова вероятность того, что это будет воскресенье, если всего в этом году 53 воскресенья, а соответствие чисел дням недели неизвестно?

4.Пусть вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 – 0,2; 8 – 0,2; 7 – 0,1; 6 или меньше – 0,1. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее девяти очков.

5.Участковый врач обслуживает на дому троих больных. Вероятность того, что в течение суток врач потребуется первому больному, равна 0,1; второму

– 0,5; третьему – 0,3. Найти вероятность того, что в течение некоторых суток: а) ни один больной не вызовет врача; б) хотя бы один вызовет врача; в) только один больной вызовет врача?

6.Три стрелка производят по одному выстрелу по мишени, вероятности попадания в которую равны для первого стрелка – 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найти вероятность двух попаданий в мишень.

7. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и две коробки деталей, изготовленный заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а для завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извле-

чена бракованная деталь.

8. Известно, что соответствуют требуемому стандарту 98 % электроламп, изготовленных заводом № 1, 96 % – заводом № 2, заводом № 3 и 95 % – заводом № 4. В магазин поступило 150 ламп, изготовленных заводом № 1, 60 – заводом № 2, 40 – заводом № 3 и 50 – заводом № 4. Здесь они оказались расположенными в случайно образовавшемся порядке. Лампа, приобретенная покупателем, оказалась нестандартной. Определить вероятность того, что она изготовлена: а) на заводе № 1; б) на заводе № 2; в) на заводе № 3; г) на заводе

№ 4.

306

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

9.Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров не более одного потребует ремонта.

10.Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдёт 130, если всхожесть семян оценивается вероятностью 0,73.

11.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность 100 попаданий при 320 выстрелах.

12.Составить ряд распределения числа попаданий в мишень при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Пос-

троить график функции распределения, вычислить математическое ожида-

ние и дисперсию числа попаданий.

 

 

0,

x < 0

13. Дана функция

 

3

), 0 ≤ x ≤ 2 . При каком значение коэффициента

f (x) = A(4x − x

 

 

0,

x > 2

 

 

А функция f (x) может быть принята за плотность вероятности случайной величины X? При этом значении А найти интегральную функцию, матема-

тическое ожидание и дисперсию величины X, вычислить P(1≤ X ≤ 3) .

 

 

0,

x ≤ 0

 

 

2

/ 4, 0

< x ≤ 2.

14. Случайная величина X имеет функцию распределения F(x) = x

 

 

1,

x > 2

 

Найти: а) дифференциальную функцию распределения f (x) ; б)

построить её

график; в) построить график функции F(x) ; г) вычислить P(0,5 ≤ x ≤ 2,5) .

15. Случайная величина X распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 0,8. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания по абсолютной ве-

личине будет меньше 0,3.

307

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 2

1. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие A i (i = 1, 2, 3,4,5) заключается в

том, что i-ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) не более одной детали имеет дефект.

2.Подлежит контролю 260 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что из 2-х наудачу взятых деталей одна окажется нестандартной?

3.Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) сумма выпавших очков равна 8; б) произведение выпавших очков равно 8.

4.В лотерее 100 билетов: среди них один выигрыш в 50 рублей, 3 – по 25 рублей, 6 – по 10 рублей, 15 – по 3 рубля. Некто покупает один билет. Найти вероятность какого-нибудь выигрыша.

5.Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка стана, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение четырёх дней подряд не произойдёт ни одной поломки?

6.Два стрелка А и В по очереди стреляют в одну мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25. Каждый стрелок имеет право произвести два выстрела, однако стрельба прекращается, когда кто-нибудь из них попадет в мишень. Определить вероятность поражения мишени первым и вторым стрелком в отдельности.

7.На складе готовой продукции находится пряжа, изготовленная двумя цехами фабрики, причем 20 % пряжи составляет продукция цеха № 2, а остальная продукция – цеха № 1. Продукция цеха № 1 содержит 90%, а цеха № 2 – 70% пряжи первого сорта. Взятый наудачу со склада моток пряжи оказался первого сорта. Определить вероятность того, что этот моток является: а) продукцией цеха № 1; б) продукцией цеха № 2.

8.Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем – типа В, двум – типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В – 0,1; типа С

– 0,15. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле, если не-

известно, в мишень какого типа он будет произведён.

308

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

9.В урне 30 шаров: 20 белых, 10 чёрных. Вынули подряд четыре шара, причём каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего. Какова вероятность того, что среди вынутых четырёх шаров будет два бе-

лых?

10.Найти вероятность того, что среди 200 человек окажется четверо левшей, если в среднем левши составляют 1 %.

11.В некоторой стране 5 % жителей болеют туберкулёзом. Определить, чему равна вероятность того, что из 1000 человек окажутся больными не менее 50

ине более 200 человек.

12.Случайная величина X характеризуется рядом распределения:

xi

0

1

2

3

4

pi

0,2

0,4

0,3

0,08

?

Найти: а) функцию распределения этой случайной величины; б) построить её

график; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случай-

ной величины.

 

 

0,

 

 

 

x < −3

1

 

1

x

13. Функция распределения случайной величины F(x) =

 

 

+

 

 

 

arcsin

 

, −3≤ x ≤ 3 .

 

 

 

 

 

2

 

 

π

 

3

 

 

1,

 

 

x > 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти: а) дифференциальную функцию распределения; б) вычислить вероятность попадания в заданный интервал P(0 ≤ X ≤ 1) .

14. Плотность случайной величины X имеет вид f ( x) = A e − x при X ≥ 0 и f (x) = 0 при X <0. Найти: а) коэффициент А; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

15. Результаты измерения расстояния между двумя населёнными пунктами подчиняются нормальному закону распределения с параметрами M[X ] = 16 kм и σ[X ] = 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами

не менее 17,75 км и не более 16,3 км.

309

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности