Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 22

1

1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше 2x dx ;

23x dx .

2

2

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 1 ( 4x2 + 5 ) dx .

1

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = sin ( 3x );

 

0;

π

x

2

.

 

 

 

 

4. Вычислить указанные интегралы:

2

 

1

ln 2

 

x

 

 

2

 

 

7

 

 

e

2

dx

 

x

 

dx

 

а) 2x +

 

dx ;

б)

 

 

 

;

в) (3x 2) e

 

dx ;

г)

 

.

x

e

x

+ 1

 

5x + 9

1

 

 

0

 

 

1

 

 

2

 

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = 5 x2 ; y = 0 ; x = 0 ; б) xy = 2 ; y = 1; y = 2 ; x = 0 ;

в) ρ = 1 + cosϕ ; ρ = 1 (вне окружности).

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = 3cos x ; y = 0 ; x = 0 ;

б) x = 2 cos t .

 

y = 3sin t

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( sin x) ;

 

π

 

2π

x

 

;

 

.

3

3

 

 

 

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

 

2

 

 

 

x = 6t

 

 

)

(петля); ( Ox ) .

ным точкам на линии

 

t 2

y = 2 t ( 3

 

 

 

 

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

0

x

 

 

 

dx

 

0

 

dx

 

2

dx

 

 

а) e

 

dx ;

б)

 

 

 

 

;

в)

 

 

;

г)

 

 

 

.

 

x

2

( x + 1)

 

x + 2

x ln

3

 

− ∞

 

 

1

 

 

2

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

250

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 23

π

π

2

2

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше sin 2 x dx ;

sin 4 x dx .

0

0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 2 ( x2 2x + 9) dx .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = e3x ;

x [ 0;

2] .

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

π

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

2

 

x dx .

 

а) ctg x dx ;

б)

 

;

в)

( 2x 3 )sin ( 5x )dx ;

г) 1

 

1 + 2x x

2

 

π

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

0

x + 4

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

 

 

в) ρ = 3tg ϕ ; ϕ = π .

 

а) xy = 1 ;

y = 0 ; x = 1; x = 2 ;

 

 

б)

y = x2 ; y2 = x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

 

а) y = 1 x2 ;

y = 0 ;

 

 

 

б)

x = cos t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 sin t

 

 

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

y = ln (1 x 2 );

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

;

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

 

 

 

 

 

 

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = t (3 t

 

(петля); ( Oy ).

 

 

 

 

 

ным точкам на линии

3t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

 

0

x2

 

 

dx

 

 

 

3

dx

 

 

1

x2 dx .

а)

dx ;

б)

 

 

 

;

в)

;

г)

2

 

x ( x + 1 )

x 1

− ∞

 

1

 

 

0

 

0

1 x2

251

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 24

π

π

2

2

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше sin x dx ;

sin x dx .

0

0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 2 (3x + 11) dx

2 .

0

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

π

 

 

 

 

ния f (x) = cos ( 2x ) ; x

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

π

 

 

 

1

 

( x 3)dx

 

1

5

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

а) cos x dx ;

б)

 

;

в) x ex dx ;

г)

3x 7 dx .

 

 

2

 

 

π

 

 

 

2 x

+ 4x + 14

0

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

б) x = 4 ( y 1 )2 ; x = y2 4 y + 3 ;

 

а) xy = 1 ; y = 0 ; x = 2 ; x = 4 ;

 

в) ρ = tg ϕ ; ϕ = π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

 

 

 

а) y = 2 sin x ;

y = 0 ; x =

π ;

 

 

б) x = 2 cos t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

y = 6sin t

 

 

7.

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

y = ln ( cos x ) ;

 

 

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

ным точкам на линии x2 + y 2 = 16 ;

от A(2; 2

3 ) до B(3;

7 ); ( Ox ) .

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

0

 

 

dx

 

 

6

dx

 

16

3 + 2 x dx .

а) 7 x5 dx ;

б)

 

 

;

в)

;

г)

x

2

+ 6x + 11

 

0

− ∞

 

 

0

6 x

0

x 4

252

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 25

1

1

1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ex dx ;

x dx .

0

0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

чение интеграла ex 2

dx .

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = 3x2 + x ; x [ 0; 2 ].

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить указанные интегралы:

 

 

 

 

 

3

8

 

 

dx

 

1

3

 

 

а) (1 + 2x + 3x2 )dx ;

б)

 

 

;

в) x10x dx ;

г)

dx .

 

 

2

6x + 34

 

2

3 x

 

 

0

0

4 x2

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

 

 

 

 

3

t

 

 

а)

x y = 6 ;

x + y = 7 ; б)

x = 8 cos

 

; x 3 3

;

 

3 t

 

 

 

y = 8 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

ρ = 3(1 cosϕ ) ; ρ = 3 (вне кардиоиды).

 

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) x y = 5 ; y = 0 ; x = 1; x = 2 ;

б) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 .

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( x 2 + 1 );

x [ 2; 3 ].

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 + y 2 = 25 ; от A( 3; 4 ) до B( 4; 3 ); ( Ox ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

1

ln x dx

 

2

dx

 

2

 

dx

 

 

а) ( 3x + 1 )dx ;

б)

;

в)

;

г)

 

.

x

3

 

 

x ln

4

 

0

2

 

 

2 x 1

 

0

 

 

x

253

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет Кафедра Высшая математикаим. В.В. Пака

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Часть 4. Дифференциальные уравнения I и II порядка, ряды

Донецк – 2011

254

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Модульный блок № 4

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 1

I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:

– с разделяющимися переменными

а) 2x 1 y 2 dx y d y = 0 ;

б) 4 x dx 3 y dy = 3 x2 y dy 2 x y 2 dx ;

в) x y′ − y 2 = 0 , y(1) = 1;

– однородные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

dx

 

 

=

 

 

dy

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

+ y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x y′ = 4 2 x 2 + y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

,

y(1) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

=

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

y′ − y sin x = sin x cos x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

y

 

 

y

= x

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

s (1) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d s

+

3 s

 

=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли:

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ + x y = (1 + x) ex

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

′′

 

)

2

+ 1

;

 

 

 

 

 

 

б)

 

2 y y

′′

3( y

)

2

=

4 y

2

, y(0)

 

= 1;

а) 2 x y

 

= ( y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y (0)

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

y′′ + 9 y = sin (3x) + 2 e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

y′′ − 4 y′ + 5y = (16 2x ) e x + x 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

6 y

 

+ 9 y

 

= 3e

 

 

 

,

 

y(0) = 3 , y(0) = 27 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

y

′′

 

+ 4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= sin x , y(0) = y

(0)

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4e 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

+ 4 y

= sin 2 x ;

б)

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 8 y

=

1 + e2 x ,

 

 

 

= 0 .

 

 

 

 

 

6 y

 

y(0) = y (0)

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

а) x& = 2x 3y ;

 

 

 

б)

x& = y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x

 

 

 

 

 

 

 

y = 3x + 4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

255

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 2

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ( x2 1) dy + (1 y 2 ) dx = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

4 + y 2 dx y dy = x 2 y dy ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– однородные

 

 

в)

(1 + y 2 ) dx = x y dy ,

y(2) = 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y′ + y

ln

 

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x y′ = 4 x 2 + y 2 + y ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ) arctg x = x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

 

 

( x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

= e

x

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y

 

+ y cos x = 2 sin (2x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

d s

cos2 t s = tg t ,

s (0) = −1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: x y′ + y = 2 y 2

ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

 

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y y

′′

 

 

2

;

б)

 

 

′′

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ,

y(2) = 1 ,

 

 

;

 

 

 

 

 

)

 

y

 

x 1 = x (x

 

= −1

 

 

 

 

 

= 2 ( y

 

 

 

 

y (2)

 

 

 

 

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y′′ + 5 y′ + 4 y = 3sin x + ex ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′′ + 4 y = x e 2 x + 5 ;

 

 

 

4

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

+ 9 y = x

 

x + 3 ; y(0) = 3 ,

=

27

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 y

 

 

y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y

′′

+ 9 y = cos x ,

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0) = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

+ y = sec x

;

б)

y

3 y

+ 2 y =

 

3 + e x , y(0) = 1 + 8ln 2 ,

 

= 14ln2 .

 

 

 

 

y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

 

 

а) x& = x + y

;

 

 

 

б) x& = y 2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x y

 

 

 

 

 

y = x + 5 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

256

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

 

Вариант 3

 

 

 

 

I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:

– с разделяющимися переменными

 

 

 

 

а) x2 dy + ( y 5) dx = 0 ;

 

 

 

 

б) x2 y 2 y′ + 1 = y ;

 

 

 

 

 

π

 

1

 

= ( 2 y + 1) ctg x , y 4

 

 

;

= 2

в) y

– однородные

а) б)

в)

x y′ = 2 3 x 2 + y 2 + y

 

 

y

 

 

 

 

y

x ycos

 

 

 

=

y cos

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

y

,

 

x y′ =

y 1

+ ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

;

 

.x ;

 

 

 

1

y(1) = e 2 ;

– линейные

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

y′ − y ctg x = 2 x sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ( x y + e x ) dx x dy = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

t

d s

s = t 2 , s (0) = 0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: x2 y′ = y 2 + x y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

′′

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y

′′

 

 

e

y

,

 

= 1,

= 0 ;

 

x ln x = y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y

 

y(0) = 0 , y (0)

y (0)

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′′ − 4 y = 8 x 3 + e 2 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y′′ + 2 y′ + 5 y = 10 cos x + x ex ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

y′′ − 4 y′ + 3 y = e5 x

,

 

y(0)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4 y = sin(2x),

 

 

= 3 , y (0) = 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0) = 1;

 

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

′′

 

 

 

e x

 

 

 

′′

+ 9 y = 9 sec(3x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y

= x ;

б)

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

 

 

 

y(0) = 1, y (0) = 0 .

 

 

 

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

а) x& = x + 8 y

;

 

 

 

б)

x& = 3x + 5 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = y 2x

 

 

 

 

 

y = x + 4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

257

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 4

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

 

 

 

 

 

 

 

а) ( x 2 + x ) dy = ( 2 y + 1) dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ( e 2 x + 5 ) dy + y e 2 x dx = 0 ;

 

 

 

 

– однородные

 

в)

(1 + x 2 ) y′ + y

 

1 + x2 = x y ,

y(0) = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

= x + cos x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

3 y 3

 

+ 12 y x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

= 2 y

 

2 + 6 x 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

2

,

 

y(1) = 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= 4 +

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

– линейные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y′ + y sin x = cos2 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ( 9 + x2 ) y′ + x y = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

(1 t 2 )

d s

t s = (1 t 2 ) 3/ 2 ,

s(0) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: x y′ − y = − y 2 ( ln x + 2 ) ln x .

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

 

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

′′

tgx = y

+ 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y

′′

y

)

2

= 0

, y(0) = 1,

= 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y

 

y (0)

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y′′ − 5 y′ + 6 y = 13sin (3x) + e 2 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′′ − 4 y′ + 4 y = 2 x2 + x e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

2 y

′′

y

=

1, y(0) = 0 ,

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y

′′

+ y = 2 cos (7x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = y (0) = 1;

 

 

 

– методом вариации постоянных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

′′

 

 

 

ex

; б)

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 e3 x

,

 

 

 

 

= 3( 3ln 4 1) .

+ y =

x

y

3 y

 

=

3 + e3 x

 

 

 

 

 

+ 2 y

 

 

 

 

y(0) = 4 ln 4 , y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

а) x& = 2x y ;

 

б)

x& = 7x + y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = y 4x

 

 

y = 3x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

258

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 5

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

с разделяющимися переменными

а) y′ = e x 2 y ;

б) x 3 + y 2 dx + y 1 + x2 dy = 0 ;

 

 

 

 

в)

dx

 

 

 

 

1 x2 dy = 0 ,

y(1) = π

;

 

 

 

 

– однородные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

y′ =

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x y′ = 3 2 x2 + y 2 + y ;

 

 

 

 

 

– линейные

в)

(y +

 

 

 

x 2 + y 2 ) dx x dy = 0 ,

y(1) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

y

x = x sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

2

sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x = x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

d s

+

s

 

= 3t (t > 0) ,

s(1) = 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– уравнение Бернулли: 2 ( y′ + x y) = (1 + x ) ex y 2 .

 

 

 

 

 

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

 

– допускающие понижение порядка

 

 

 

 

 

 

а)

y′′ − 2 yctg x = sin 3 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

4 y3 y′′ = y 4 1,

y(0) =

2 ,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (0)

= 2 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– со специальной правой частью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

y′′ − 4 y′ + 4 y = 2 sin (2x) + 2x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′′ − 4 y′ + 8 y = e x + ( x2 + 1) ;

1

 

 

 

 

 

 

в)

 

y

′′

 

3 y = x + cos (2x), y(0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, y (0) = − 9 ;

 

 

 

 

 

г) y

′′

+ 2 y

 

 

 

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

+ 6 y = 20 cos x sin x + 3 , y(0) = y (0)

– методом вариации постоянных

π

π

 

 

 

 

а)

1

;

б)

 

 

 

 

 

 

4 y = 4 ctg (2x),

= 2 .

 

y′′ + y =

 

y′′ +

y 4 =

3, y4

 

cos3 x

 

III. Решить системы дифференциальных уравнений

 

 

 

 

а) x& = 5x + 2 y ;

б)

x& = y 2x .

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4x 7 y

 

y = y x

 

 

 

 

 

 

 

259

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]