IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 22
−1 |
−1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ 2x dx ; |
∫ 23x dx . |
− 2 |
− 2 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 1 ( 4x2 + 5 ) dx .
∫
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin ( 3x ); |
|
0; |
π |
|
x |
2 |
. |
||
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы:
2 |
|
1 |
ln 2 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
e |
2 |
dx |
|
x |
|
dx |
|
|||||||
а) ∫ 2x + |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ (3x − 2) e |
|
dx ; |
г) ∫ |
|
. |
|
x |
e |
x |
+ 1 |
|
5x + 9 |
|||||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = 5 − x2 ; y = 0 ; x = 0 ; б) xy = 2 ; y = 1; y = 2 ; x = 0 ;
в) ρ = 1 + cosϕ ; ρ = 1 (вне окружности).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = 3cos x ; y = 0 ; x = 0 ; |
б) x = 2 cos t . |
|
y = 3sin t |
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( sin x) ;
|
π |
|
2π |
||
x |
|
; |
|
. |
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
|
2 |
|
|
|
x = 6t |
|
|
) |
(петля); ( Ox ) . |
ным точкам на линии |
|
− t 2 |
||
y = 2 t ( 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
0 |
x |
|
∞ |
|
|
dx |
|
0 |
|
dx |
|
2 |
dx |
|
|
||
а) ∫ e |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
; |
в) ∫ |
|
|
; |
г) ∫ |
|
|
|
. |
|
x |
2 |
( x + 1) |
|
x + 2 |
x ln |
3 |
|
|||||||||
− ∞ |
|
|
1 |
|
|
− 2 |
|
1 |
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 23
π |
π |
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ sin 2 x dx ; |
∫ sin 4 x dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 2 ( x2 − 2x + 9) dx .
∫
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||||||
ния f (x) = e3x ; |
x [ 0; |
2] . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
π |
|
|
|
||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
2 |
|
− x dx . |
||
|
а) ∫ ctg x dx ; |
б) ∫ |
|
; |
в) |
∫ ( 2x − 3 )sin ( 5x )dx ; |
г) ∫ 1 |
||||||||
|
1 + 2x − x |
2 |
|||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
x + 4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
|
|
в) ρ = 3tg ϕ ; ϕ = π . |
||||||||
|
а) xy = 1 ; |
y = 0 ; x = 1; x = 2 ; |
|
|
б) |
y = x2 ; y2 = x ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
||||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
||||||||||||
|
а) y = 1 − x2 ; |
y = 0 ; |
|
|
|
б) |
x = cos t |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 sin t |
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
||||||||||||||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
y = ln (1 − x 2 ); |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t (3 − t |
|
(петля); ( Oy ). |
|
|
|
|
|
||||||
ным точкам на линии |
3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|||||||||||||||
0 |
x2 |
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
3 |
dx |
|
|
1 |
x2 dx . |
||
а) ∫ |
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|||||||
2 |
|
x ( x + 1 ) |
x − 1 |
|||||||||||||
− ∞ |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
1 − x2 |
251
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 24
π |
π |
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ sin x dx ; |
∫ sin x dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 2 (3x + 11) dx
∫ 2 .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
π |
|
|
|
|
|
ния f (x) = cos ( 2x ) ; x |
2 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|||||||||||
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
( x − 3)dx |
|
1 |
5 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) ∫ cos x dx ; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ x e− x dx ; |
г) ∫ |
3x − 7 dx . |
|||||||
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
− 2 x |
+ 4x + 14 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
|||||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
|
|
б) x = 4 − ( y − 1 )2 ; x = y2 − 4 y + 3 ; |
|||||||||
|
а) xy = 1 ; y = 0 ; x = 2 ; x = 4 ; |
|||||||||||||
|
в) ρ = tg ϕ ; ϕ = π . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
|||||||||||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
||||||||||||
|
а) y = 2 sin x ; |
y = 0 ; x = |
π ; |
|
|
б) x = 2 cos t . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
y = 6sin t |
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
|||||||||||||
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
y = ln ( cos x ) ; |
|||||||||||||
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
; |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии x2 + y 2 = 16 ; |
от A(2; 2 |
3 ) до B(3; |
7 ); ( Ox ) . |
||||||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|||||||||||
∞ |
0 |
|
|
dx |
|
|
6 |
dx |
|
16 |
3 + 2 x dx . |
а) ∫ 7 x5 dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
||||
x |
2 |
+ 6x + 11 |
|
||||||||
0 |
− ∞ |
|
|
0 |
6 − x |
0 |
x − 4 |
252
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 25
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ex dx ; |
∫ x dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
чение интеграла ∫ ex 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||
ния f (x) = 3x2 + x ; x [ 0; 2 ]. |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
||||
|
3 |
8 |
|
|
dx |
|
1 |
3 |
|
|
а) ∫ (1 + 2x + 3x2 )dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ x10x dx ; |
г) ∫ |
dx . |
|
|
|
2 |
− 6x + 34 |
||||||
|
2 |
3 x |
|
|
0 |
0 |
4 − x2 |
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
|
|
|
|
3 |
t |
|
|
а) |
x y = 6 ; |
x + y = 7 ; б) |
x = 8 cos |
|
; x ≥ 3 3 |
; |
|
|
3 t |
||||||
|
|
|
y = 8 sin |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
ρ = 3(1 − cosϕ ) ; ρ = 3 (вне кардиоиды). |
|
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) x y = 5 ; y = 0 ; x = 1; x = 2 ; |
б) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 . |
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( x 2 + 1 );
x [ 2; 3 ].
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 + y 2 = 25 ; от A( − 3; 4 ) до B( 4; 3 ); ( Ox ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
1
∞ |
∞ |
ln x dx |
|
2 |
dx |
|
2 |
|
dx |
|
|
|||
а) ∫ ( 3x + 1 )dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|
. |
|||||||
x |
3 |
|
|
x ln |
4 |
|
||||||||
0 |
2 |
|
|
− 2 x − 1 |
|
0 |
|
|
x |
253
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный технический университет Кафедра “Высшая математика” им. В.В. Пака
Индивидуальные домашние задания
по высшей математике
Часть 4. Дифференциальные уравнения I и II порядка, ряды
Донецк – 2011
254
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Модульный блок № 4
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 1
I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:
– с разделяющимися переменными
а) 2x 1 − y 2 dx − y d y = 0 ;
б) 4 x dx − 3 y dy = 3 x2 y dy − 2 x y 2 dx ;
в) x y′ − y 2 = 0 , y(1) = 1;
– однородные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
dy |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
y − x |
|
|
|
|
|
+ y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x y′ = 4 2 x 2 + y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
, |
y(1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) |
|
y′ − y sin x = sin x cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y |
|
− |
|
y |
= x |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
s (1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d s |
+ |
3 s |
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
– уравнение Бернулли: |
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
y′ + x y = (1 + x) e− x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′ |
y |
′′ |
|
′ |
) |
2 |
+ 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
2 y y |
′′ |
− |
3( y |
′ |
) |
2 |
= |
4 y |
2 |
, y(0) |
|
′ |
= 1; |
|||||||||||||||||||||
а) 2 x y |
|
= ( y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y (0) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
y′′ + 9 y = sin (3x) + 2 e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
y′′ − 4 y′ + 5y = (16 − 2x ) e x + x 2 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
− 6 y |
|
+ 9 y |
|
= 3e |
|
|
|
, |
|
y(0) = 3 , y(0) = 27 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
y |
′′ |
|
+ 4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= 1; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin x , y(0) = y |
(0) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4e 2 x |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||
а) y |
+ 4 y |
= sin 2 x ; |
б) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 8 y |
= |
1 + e− 2 x , |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− 6 y |
|
y(0) = y (0) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 2x − 3y ; |
|
|
|
б) |
x& = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = x |
|
|
|
|
|
|
|
y = 3x + 4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
255
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 2
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ( x2 − 1) dy + (1 − y 2 ) dx = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
4 + y 2 dx − y dy = x 2 y dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– однородные |
|
|
в) |
(1 + y 2 ) dx = x y dy , |
y(2) = 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y′ + y |
ln |
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x y′ = 4 x 2 + y 2 + y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y ) arctg x = x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
( x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y |
′ |
= e |
− x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
|
+ y cos x = 2 sin (2x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
d s |
cos2 t − s = tg t , |
s (0) = −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– уравнение Бернулли: x y′ + y = 2 y 2 |
ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
а) y y |
′′ |
|
′ |
|
2 |
; |
б) |
|
|
′′ |
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1) , |
y(2) = 1 , |
|
′ |
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
) |
|
y |
|
− x − 1 = x (x |
|
= −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
= 2 ( y |
|
|
|
|
y (2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y′′ + 5 y′ + 4 y = 3sin x + e− x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y′′ + 4 y = x e 2 x + 5 ; |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
+ 9 y = x |
|
− x + 3 ; y(0) = 3 , |
= |
27 |
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6 y |
|
|
y (0) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
+ 9 y = cos x , |
|
|
|
|
|
′ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|||
а) y |
+ y = sec x |
; |
б) |
y |
− 3 y |
+ 2 y = |
|
3 + e − x , y(0) = 1 + 8ln 2 , |
|
= 14ln2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = x + y |
; |
|
|
|
б) x& = y − 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x − y |
|
|
|
|
|
y = x + 5 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
256
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
I. Решить дифференциальные уравнения I порядка: |
||||||
– с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
||
а) x2 dy + ( y − 5) dx = 0 ; |
|
|
|
|
||
б) x2 y 2 y′ + 1 = y ; |
|
|
|
|
||
|
π |
|
1 |
|
||
′ |
= ( 2 y + 1) ctg x , y 4 |
|
|
; |
||
= 2 |
||||||
в) y |
– однородные
а) б)
в)
x y′ = 2 3 x 2 + y 2 + y
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|||
x y′ cos |
|
|
|
= |
y cos |
|
|
|||
x |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
, |
|
||
x y′ = |
y 1 |
+ ln |
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
;
|
− .x ; |
|
|
|
|
− 1
y(1) = e 2 ;
– линейные
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
y′ − y ctg x = 2 x sin x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ( x y + e x ) dx − x dy = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
t |
d s |
− s = t 2 , s (0) = 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– уравнение Бернулли: x2 y′ = y 2 + x y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) y |
′′ |
|
|
′ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y |
′′ |
|
|
′ |
e |
y |
, |
′ |
|
= 1, |
′ |
= 0 ; |
|
x ln x = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y |
|
y(0) = 0 , y (0) |
y (0) |
||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y′′ − 4 y = 8 x 3 + e 2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y′′ + 2 y′ + 5 y = 10 cos x + x e− x ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y′′ − 4 y′ + 3 y = e5 x |
, |
|
y(0) |
′ |
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 y = sin(2x), |
|
|
= 3 , y (0) = 9 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1; |
|
|
|
|
||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) y |
′′ |
′ |
|
|
|
e x |
|
|
|
′′ |
+ 9 y = 9 sec(3x) , |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||
+ y |
= x ; |
б) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
− 2 y |
|
|
|
y(0) = 1, y (0) = 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) x& = x + 8 y |
; |
|
|
|
б) |
x& = 3x + 5 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = y − 2x |
|
|
|
|
|
y = x + 4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
257
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков
Вариант 4
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
|
а) ( x 2 + x ) dy = ( 2 y + 1) dx ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) ( e 2 x + 5 ) dy + y e 2 x dx = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
– однородные |
|
в) |
(1 + x 2 ) y′ + y |
|
1 + x2 = x y , |
y(0) = 1; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y |
= x + cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
′ |
|
|
3 y 3 |
|
+ 12 y x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x y |
= 2 y |
|
2 + 6 x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
2 |
, |
|
y(1) = 2 ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= 4 + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– линейные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
а) |
y′ + y sin x = cos2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) ( 9 + x2 ) y′ + x y = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
(1 − t 2 ) |
d s |
− t s = (1 − t 2 ) 3/ 2 , |
s(0) = 0 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– уравнение Бернулли: x y′ − y = − y 2 ( ln x + 2 ) ln x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) y |
′′ |
tgx = y |
′ |
+ 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y |
′′ |
y |
− |
′ |
) |
2 |
= 0 |
, y(0) = 1, |
′ |
= 2 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y |
|
y (0) |
||||||||||||||||
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y′′ − 5 y′ + 6 y = 13sin (3x) + e 2 x ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) y′′ − 4 y′ + 4 y = 2 x2 + x e x ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
2 y |
′′ |
− y |
′ |
= |
1, y(0) = 0 , |
|
|
′ |
= 1; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y |
′′ |
+ y = 2 cos (7x) , |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) y |
′′ |
′ |
|
|
|
e− x |
; б) |
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
9 e− 3 x |
, |
|
|
|
|
′ |
= 3( 3ln 4 − 1) . |
|||||||||
+ y = |
x |
y |
− 3 y |
|
= |
3 + e− 3 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
+ 2 y |
|
|
|
|
y(0) = 4 ln 4 , y (0) |
||||||||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) x& = 2x − y ; |
|
б) |
x& = 7x + y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y − 4x |
|
|
y = 3x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
258
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 5
I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:
–с разделяющимися переменными
а) y′ = e x − 2 y ;
б) x 3 + y 2 dx + y 1 + x2 dy = 0 ;
|
|
|
|
в) |
dx − |
|
|
|
|
1 − x2 dy = 0 , |
y(1) = π |
; |
|
|
|
|
||||||||||
– однородные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
а) |
|
y′ = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x y′ = 3 2 x2 + y 2 + y ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
– линейные |
в) |
(y + |
|
|
|
x 2 + y 2 ) dx − x dy = 0 , |
y(1) = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
а) |
|
y |
− x = x sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
|
|
′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
sin x ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ x = x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
в) |
|
d s |
+ |
s |
|
= 3t (t > 0) , |
s(1) = 1 ; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
– уравнение Бернулли: 2 ( y′ + x y) = (1 + x ) e− x y 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения II порядка: |
|
|||||||||||||||||||||||||
– допускающие понижение порядка |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
y′′ − 2 y′ ctg x = sin 3 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
4 y3 y′′ = y 4 − 1, |
y(0) = |
2 , |
||||||
′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
= 2 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– со специальной правой частью |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) |
|
y′′ − 4 y′ + 4 y = 2 sin (2x) + 2x ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
б) y′′ − 4 y′ + 8 y = e x + ( x2 + 1) ; |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
в) |
|
y |
′′ |
− |
|
3 y = x + cos (2x), y(0) = |
′ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, y (0) = − 9 ; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
г) y |
′′ |
+ 2 y |
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
= 1; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 6 y = 20 cos x sin x + 3 , y(0) = y (0) |
|||||||||||||||||||
– методом вариации постоянных |
π |
π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
1 |
; |
б) |
|
|
|
|
|
|
4 y = 4 ctg (2x), |
= 2 . |
|
||||||||||||||
y′′ + y = |
|
y′′ + |
y 4 = |
3, y′ 4 |
|
|||||||||||||||||||||
cos3 x |
|
|||||||||||||||||||||||||
III. Решить системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) x& = 5x + 2 y ; |
б) |
x& = y − 2x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4x − 7 y |
|
y = y − x |
|
|
|
|
|
|
|
259