Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4326 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 22

−1	−1
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ 2x dx ;	∫ 23x dx .
− 2	− 2

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 1 ( 4x2 + 5 ) dx .

∫

−1

3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = sin ( 3x );		0;	π
	x		2	.

4. Вычислить указанные интегралы:

ln 2

а) ∫ 2x +

dx ;

б) ∫

;

в) ∫ (3x − 2) e

dx ;

г) ∫

+ 1

5x + 9

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

а) y = 5 − x2 ; y = 0 ; x = 0 ; б) xy = 2 ; y = 1; y = 2 ; x = 0 ;

в) ρ = 1 + cosϕ ; ρ = 1 (вне окружности).

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = 3cos x ; y = 0 ; x = 0 ;	б) x = 2 cos t .
	y = 3sin t

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( sin x) ;

	π		2π
x		;		.
	3		3

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

	2
x = 6t			)	(петля); ( Ox ) .
ным точкам на линии		− t 2		(петля); ( Ox ) .
y = 2 t ( 3		− t 2

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

а) ∫ e

dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

( x + 1)

x + 2

x ln

− ∞

− 2

250

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 23

π	π
2	2
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ sin 2 x dx ;	∫ sin 4 x dx .
0	0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 2 ( x2 − 2x + 9) dx .

∫

−1

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = e3x ;

x [ 0;

2] .

Вычислить указанные интегралы:

− x dx .

а) ∫ ctg x dx ;

б) ∫

;

в)

∫ ( 2x − 3 )sin ( 5x )dx ;

г) ∫ 1

1 + 2x − x

x + 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

в) ρ = 3tg ϕ ; ϕ = π .

а) xy = 1 ;

y = 0 ; x = 1; x = 2 ;

б)

y = x2 ; y2 = x ;

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = 1 − x2 ;

y = 0 ;

б)

x = cos t

y = 2 sin t

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

y = ln (1 − x 2 );

x −

;

Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её

части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-

)

x = t (3 − t

(петля); ( Oy ).

ным точкам на линии

3t 2

y =

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

x2 dx .

а) ∫

dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

x ( x + 1 )

x − 1

− ∞

1 − x2

251

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 24

π	π
2	2
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ sin x dx ;	∫ sin x dx .
0	0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

чение интеграла 2 (3x + 11) dx

∫ 2 .

Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-

ния f (x) = cos ( 2x ) ; x

Вычислить указанные интегралы:

( x − 3)dx

а) ∫ cos x dx ;

б) ∫

;

в) ∫ x e− x dx ;

г) ∫

3x − 7 dx .

− 2 x

+ 4x + 14

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

б) x = 4 − ( y − 1 )2 ; x = y2 − 4 y + 3 ;

а) xy = 1 ; y = 0 ; x = 2 ; x = 4 ;

в) ρ = tg ϕ ; ϕ = π .

Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) y = 2 sin x ;

y = 0 ; x =

π ;

б) x = 2 cos t .

y = 6sin t

Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу

изменения аргумента или указанным точкам на данной линии

y = ln ( cos x ) ;

;

ным точкам на линии x2 + y 2 = 16 ;						от A(2; 2	3 ) до B(3;		7 ); ( Ox ) .
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞	0			dx		6	dx		16	3 + 2 x dx .
а) ∫ 7 x5 dx ;	б) ∫				;	в) ∫		;	г) ∫
		x	2	+ 6x + 11
0	− ∞					0	6 − x		0	x − 4

252

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VIII. Определённый и несобственный интегралы

Вариант 25

1	1
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ex dx ;	∫ x dx .
0	0

2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-

	2
чение интеграла ∫ ex 2		dx .
	0
3.	Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = 3x2 + x ; x [ 0; 2 ].
4.	Вычислить указанные интегралы:
	3	8		dx		1	3
	а) ∫ (1 + 2x + 3x2 )dx ;	б) ∫		dx	;	в) ∫ x10x dx ;	г) ∫	dx .
	а) ∫ (1 + 2x + 3x2 )dx ;	б) ∫	2	− 6x + 34	;	в) ∫ x10x dx ;	г) ∫	dx .
	2	3 x		− 6x + 34		0	0	4 − x2

5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-

полнить чертёж.

				3	t
а)	x y = 6 ;	x + y = 7 ; б)	x = 8 cos		t	; x ≥ 3 3	;
а)	x y = 6 ;	x + y = 7 ; б)		3 t		; x ≥ 3 3	;
			y = 8 sin	3 t

в)	ρ = 3(1 − cosϕ ) ; ρ = 3 (вне кардиоиды).

6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси

Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.

а) x y = 5 ; y = 0 ; x = 1; x = 2 ;

б) y = x2 ; y = 0 ; x = 2 .

7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln ( x 2 + 1 );

x [ 2; 3 ].

8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 + y 2 = 25 ; от A( − 3; 4 ) до B( 4; 3 ); ( Ox ).

9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:

∞

ln x dx

а) ∫ ( 3x + 1 )dx ;

б) ∫

;

в) ∫

;

г) ∫

x ln

− 2 x − 1

253

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет Кафедра “Высшая математика” им. В.В. Пака

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Часть 4. Дифференциальные уравнения I и II порядка, ряды

Донецк – 2011

254

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Модульный блок № 4

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 1

I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:

– с разделяющимися переменными

а) 2x 1 − y 2 dx − y d y = 0 ;

б) 4 x dx − 3 y dy = 3 x2 y dy − 2 x y 2 dx ;

в) x y′ − y 2 = 0 , y(1) = 1;

– однородные

а)

;

x + y

y − x

+ y ;

б) x y′ = 4 2 x 2 + y 2

в)

y(1) = 1;

y′

– линейные

а)

y′ − y sin x = sin x cos x ;

б)

−

= x

;

в)

′

s (1) = 1;

d s

3 s

– уравнение Бернулли:

d t

t 3

y 2 .

y′ + x y = (1 + x) e− x

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

′

′′

′

)

+ 1

;

б)

2 y y

′′

−

3( y

′

)

4 y

, y(0)

′

= 1;

а) 2 x y

= ( y

= y (0)

– со специальной правой частью

а)

y′′ + 9 y = sin (3x) + 2 e x ;

б)

y′′ − 4 y′ + 5y = (16 − 2x ) e x + x 2 ;

в)

′′

′

3 x

− 6 y

+ 9 y

= 3e

y(0) = 3 , y(0) = 27 ;

г)

′′

+ 4 y

′

= 1;

= sin x , y(0) = y

(0)

– методом вариации постоянных

′′

′

4e 2 x

′

а) y

+ 4 y

= sin 2 x ;

б)

+ 8 y

1 + e− 2 x ,

= 0 .

− 6 y

y(0) = y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 2x − 3y ;

б)

x& = y

y = x

y = 3x + 4 y

255

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 2

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) ( x2 − 1) dy + (1 − y 2 ) dx = 0 ;

б)

4 + y 2 dx − y dy = x 2 y dy ;

– однородные

в)

(1 + y 2 ) dx = x y dy ,

y(2) = 1 ;

а)

x y′ + y

= 0 ;

б) x y′ = 4 x 2 + y 2 + y ;

в)

′

− y ) arctg x = x ;

– линейные

( x y

а)

′

= e

− x

;

− 1 + x

′

б)

+ y cos x = 2 sin (2x) ;

в)

d s

cos2 t − s = tg t ,

s (0) = −1;

d t

– уравнение Бернулли: x y′ + y = 2 y 2

ln x .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y y

′′

′

;

б)

′′

y′

− 1) ,

y(2) = 1 ,

′

;

)

− x − 1 = x (x

= −1

= 2 ( y

y (2)

– со специальной правой частью

а)

y′′ + 5 y′ + 4 y = 3sin x + e− x ;

б) y′′ + 4 y = x e 2 x + 5 ;

в)

′′

′

+ 9 y = x

− x + 3 ; y(0) = 3 ,

;

− 6 y

y (0)

г)

′′

+ 9 y = cos x ,

′

;

y(0) = y (0) = 1

– методом вариации постоянных

′′

′

а) y

+ y = sec x

;

б)

− 3 y

+ 2 y =

3 + e − x , y(0) = 1 + 8ln 2 ,

= 14ln2 .

y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = x + y

;

б) x& = y − 2x .

y = x − y

y = x + 5 y

256

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

	Вариант 3
I. Решить дифференциальные уравнения I порядка:
– с разделяющимися переменными
а) x2 dy + ( y − 5) dx = 0 ;
б) x2 y 2 y′ + 1 = y ;
	π	1
′	= ( 2 y + 1) ctg x , y 4		;
′		= 2
в) y		= 2

– однородные

а) б)

в)

x y′ = 2 3 x 2 + y 2 + y

		y						y
x y′ cos					=	y cos
			x						x
							y	,
x y′ =	y 1			+ ln


						x

;

	− .x ;
	− .x ;

− 1

y(1) = e 2 ;

– линейные

а)

y′ − y ctg x = 2 x sin x ;

б) ( x y + e x ) dx − x dy = 0 ;

в)

d s

− s = t 2 , s (0) = 0

;

d t

– уравнение Бернулли: x2 y′ = y 2 + x y .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

′

;

б) y

′′

′

= 1,

′

= 0 ;

x ln x = y

= y

y(0) = 0 , y (0)

y (0)

– со специальной правой частью

а) y′′ − 4 y = 8 x 3 + e 2 x ;

б)

y′′ + 2 y′ + 5 y = 10 cos x + x e− x ;

в)

y′′ − 4 y′ + 3 y = e5 x

y(0)

′

;

+ 4 y = sin(2x),

= 3 , y (0) = 9

г)

′′

′

y(0) = y (0) = 1;

– методом вариации постоянных

а) y

′′

′

e x

′′

+ 9 y = 9 sec(3x) ,

′

+ y

= x ;

б)

− 2 y

y(0) = 1, y (0) = 0 .

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = x + 8 y

;

б)

x& = 3x + 5 y .

y = y − 2x

y = x + 4 y

257

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков

Вариант 4

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) ( x 2 + x ) dy = ( 2 y + 1) dx ;

б) ( e 2 x + 5 ) dy + y e 2 x dx = 0 ;

– однородные

в)

(1 + x 2 ) y′ + y

1 + x2 = x y ,

y(0) = 1;

′

а)

= x + cos x ;

б)

′

3 y 3

+ 12 y x 2

x y

= 2 y

2 + 6 x 2 ;

в)

y(1) = 2 ;

y′

= 4 +

– линейные

а)

y′ + y sin x = cos2 x ;

б) ( 9 + x2 ) y′ + x y = 1;

в)

(1 − t 2 )

d s

− t s = (1 − t 2 ) 3/ 2 ,

s(0) = 0 ;

d t

– уравнение Бернулли: x y′ − y = − y 2 ( ln x + 2 ) ln x .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

tgx = y

′

+ 1;

б) y

′′

−

′

)

= 0

, y(0) = 1,

′

= 2 ;

( y

y (0)

– со специальной правой частью

а)

y′′ − 5 y′ + 6 y = 13sin (3x) + e 2 x ;

б) y′′ − 4 y′ + 4 y = 2 x2 + x e x ;

в)

2 y

′′

− y

′

1, y(0) = 0 ,

′

= 1;

y (0)

г)

′′

+ y = 2 cos (7x) ,

′

y(0) = y (0) = 1;

– методом вариации постоянных

а) y

′′

′

e− x

; б)

′′

′

9 e− 3 x

′

= 3( 3ln 4 − 1) .

+ y =

− 3 y

3 + e− 3 x

+ 2 y

y(0) = 4 ln 4 , y (0)

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 2x − y ;

б)

x& = 7x + y .

y = y − 4x

y = 3x − y

258

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

IX. Дифференциальные уравнения I и II порядков Вариант 5

I.Решить дифференциальные уравнения I порядка:

–с разделяющимися переменными

а) y′ = e x − 2 y ;

б) x 3 + y 2 dx + y 1 + x2 dy = 0 ;

в)

dx −

1 − x2 dy = 0 ,

y(1) = π

;

– однородные

x + 2 y

а)

y′ =

;

б) x y′ = 3 2 x2 + y 2 + y ;

– линейные

в)

(y +

x 2 + y 2 ) dx − x dy = 0 ,

y(1) = 0 ;

′

а)

− x = x sin x ;

б)

′

sin x ;

+ x = x

в)

d s

= 3t (t > 0) ,

s(1) = 1 ;

d t

– уравнение Бернулли: 2 ( y′ + x y) = (1 + x ) e− x y 2 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а)

y′′ − 2 y′ ctg x = sin 3 x ;

б)

4 y3 y′′ = y 4 − 1,

y(0) =

2 ,

′

y (0)

= 2 2 ;

– со специальной правой частью

а)

y′′ − 4 y′ + 4 y = 2 sin (2x) + 2x ;

б) y′′ − 4 y′ + 8 y = e x + ( x2 + 1) ;

в)

′′

−

3 y = x + cos (2x), y(0) =

′

0, y (0) = − 9 ;

г) y

′′

+ 2 y

′

= 1;

+ 6 y = 20 cos x sin x + 3 , y(0) = y (0)

– методом вариации постоянных

а)

;

б)

4 y = 4 ctg (2x),

= 2 .

y′′ + y =

y′′ +

y 4 =

3, y′ 4

cos3 x

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 5x + 2 y ;

б)

x& = y − 2x .

y = 4x − 7 y

y = y − x

259

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4326 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.20163 Мб6GoPRO Диплом(FR).pdf
#
01.05.2025206 Кб1Gotovy_referat_Sverlilnye_stanki.doc
#
18.11.201899 Кб13Grazhdanskoe_pravo_kursovaya.doc
#
03.03.201690 Кб9GRU_otvety.docx
#
03.03.2016147 Кб3history.doc
#
03.03.20168 Мб76IDZ_VysshMatematTerehov.pdf
#
01.05.2025177 Кб4ikk_kz.docx
#
03.03.20164 Мб11Ind_zad_SEMESTR_2.doc
#
03.03.2016196 Кб32Ind_Zavdannya_z_Strategiyi_P.pdf
#
12.11.20191 Мб3Inescapable by Amy A. Bartol (The Premonition #...doc
#
03.03.2016121 Кб46infrastr.doc