IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 17
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
(2 + x)3 |
|
5 |
|
|
|||
а) ∫ |
|
|
dx ; |
б) ∫ 4tg x + |
|
|
|
dx . |
x |
2 |
sin |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
3 x7 |
+ 5x3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
5x |
dx ; |
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
dx ; |
|
|
в) ∫ |
dx . |
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
8 |
− x8 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 − cos x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) ∫ (x2 + 15)3x dx ; |
б) ∫ ( 3x − 11 )cos (5x )dx ; |
|
|
в) ∫ arctg (5x + 2 )dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ x ln( 3 − 2x )dx ; |
д) ∫ e5x cos x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
7x − 5 |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
8 − 3x |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − x2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 6x + 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
2x4 + 11 |
; |
|
б) ∫ |
|
|
6x + 21 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
− x |
x |
3 |
− 5x |
2 |
+ 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin3 ( 2x )cos8 ( 2x )dx ; |
б) ∫ cos6 (8x)dx ; |
|
|
|
|
|
в) ∫ tg −5 x dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ sec |
4 |
( 7x)dx |
; |
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
е) ∫sin(12x)cos(13x)dx; |
|||||||||||||||||
|
|
|
sin3 ( 3x − 5 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7 + 3cos ( 2x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
x + 1 |
dx ; |
|
|
б) ∫ |
196 − x2 dx ; |
|
в) |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
; |
г) ∫ |
4x2 − 1 dx |
. |
||||||||||||
|
1 |
− |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 + x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ 1 − 3x + 7x |
|
|||||
|
а) ∫ sec4 x dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) (x − 2) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
г) ∫ |
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
д) ∫ sin 2 x cos2 x dx ; |
|
|
е) ∫ x2 cos x dx ; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
x2 − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
dx ; |
|
|
|
з) ∫ |
arctg x + x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ж) ∫ 3 |
3x + 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 18
Вычислить неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
(1 + |
|
x |
)3 |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
12ctg x − |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ e |
5x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
3 + 2x |
||||||||
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
4 − x2 dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 3cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ ( 2 + x )7 x dx ; |
б) ∫ ( 7x − 10 )sin (5x)dx ; |
|
в) ∫ arctg ( 9x )dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
д) ∫ x tg 2 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
4 − 3x |
|
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
|
2x + 8 |
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x + 9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
− 4x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
2x3 + 25 |
|
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
(x |
− 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin5 x cos3 x dx ; |
б) ∫ cos6 (2x)dx ; |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ tg 4 ( 3x )dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ cosec |
4 |
( 3x |
+ 2)dx ; |
д) ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
е) ∫ sin (5x)cos (3x)dx ; |
||||||||||||||||||
|
|
cos 3 (3 x ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4dx |
|
|
x2 dx |
||
|
а) ∫ x + 2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
x x2 − 16 |
; |
|
|
в) ∫ |
|
|
|
(1 − x2 )3 |
; |
г) ∫ |
x2 + 9 . |
|||||||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫ x−2 ln x dx ;
г) ∫ cos (2x)cos (3x)dx ;
x3 + 3
ж) ∫ x3 − x2 − 2x dx ;
б) ∫ cos 5 x dx
д) ∫ 2 5x dx ;
|
|
x |
|
||
з) ∫ sin |
|
|
− |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
;
|
x |
2 |
||
cos |
|
|
dx . |
|
2 |
||||
|
|
|
в)
е)
∫
∫
1 − 4x2 dx ;
1 − x |
dx ; |
|
5 − 4x − x2 |
||
|
221
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 19
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
dx ; |
11ctg x + |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
3 |
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ cos ( 3x − 1 )dx ; |
б) ∫ |
|
|
e2 x |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
5x − 22 dx . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 3 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x |
|
|
|
|
||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) ∫ ( 2x + 1 )e7 x dx ; |
б) ∫ ( 2 − 3x)sin ( 4x )dx ; |
|
в) ∫ arccos ( 5x )dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ |
|
|
|
x ln x dx ; |
|
|
|
д) ∫ x cos 2 |
x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
3x − 2 |
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
4 − 9x |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2x2 − 6x + 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 2x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
5x3 − 3 |
dx |
; |
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
3 |
− 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x + 2 ) (x − 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin 2 |
x cos 5 x dx ; |
б) ∫ cos4 (2x − 1 )dx ; |
|
|
|
в) ∫ tg 5 ( 9x )dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ cos ec |
6 |
x dx ; |
|
|
|
д) ∫sin(2x +1)cos(3x −1)dx; |
|
е) ∫ |
|
dx |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos3 (6x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3sin x + 2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
dx |
|
|
x2 |
− 225 dx |
|
||||
|
а) ∫ |
|
|
|
x + 1 + ( x + 1 )3 ; б) ∫ |
9 + x |
|
dx ; в) |
∫ ( 4x2 − 1) |
1 − 4x2 |
; г) ∫ |
|
|
x |
|
. |
|||||||||||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) ∫ arccos x dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
x + 2 |
|
dx ; |
|
в) ∫ |
x2 − 9 dx |
; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9x2 − 6x + 13 |
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ arcsin2 x + 1 dx ; |
д) ∫ sin 4 (2x)cos2 (2x)dx ; |
|
е) ∫ |
|
x |
|
dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
з) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos3 (2x) |
|
|
|
|
3 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 20
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
cos ( |
2x ) |
dx ; |
|
б) ∫ (7 x + 5 |
6 |
x |
5 |
)dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Метод замены переменной интегрирования |
|
|
5 x3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ 9 |
5x − 7 |
dx ; |
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
+ 8 x |
dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
+ x |
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) ∫ ( 7x + 3 )5x dx ; |
|
б) ∫ ( 8 − 3x )cos (5x)dx ; |
|
в) ∫ ( 2x + 1 )arctg x dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ |
ln x |
dx ; |
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
x cos x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
9 |
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
3x − 25 |
|
dx |
; |
б) ∫ |
|
|
4 − 7x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 10x + 1 |
|
|
|
|
5 + 4x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
x3 + 1 |
|
dx ; |
|
|
|
|
б) ∫ |
|
|
|
2x + 17 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( x2 + 1 )( x − 1 )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x2 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6. Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ sin3 ( 8x )cos2 ( 8x )dx ; |
б) ∫ sin6 ( 2x + 3 )dx ; |
|
в) ∫ ctg 7 x dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
г) ∫ cos ec |
4 |
( 6x )dx ; |
|
д) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
е) ∫ sin (5x)sin (7x)dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
cos 3 ( 4 x − 7) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5sin x + 3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ 3 |
x |
dx |
x |
; |
|
|
б) ∫ |
( 4 + x2 )3 dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
|
x2 dx |
; |
г) ∫ 16x2 − 1 dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
а) ∫ tg 3 (2x)dx ; |
|
|
|
|
б) ∫ x2 3x dx ; |
|
|
|
|
|
|
в) ∫ |
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 + 1 |
|||
г) ∫ arctgx dx ; |
|
|
|
|
|
д) ∫ |
5 − |
2 sin3 x |
dx |
; |
|
|
е) ∫sec4 (3x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
з) ∫ |
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(1 + x2 )3 |
; |
|
|
|
|
x2 (x2 + 1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
223
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 21
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции |
||||||||||
а) ∫ |
(3 + 2x2 |
)2 |
|
|
|
12 |
|
|
||
|
|
|
dx ; |
б) ∫ 1 |
− 7 sin x + |
|
|
|
dx . |
|
x |
3 |
|
5 sin |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ x− 2 9 |
1 |
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
|
|
x |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
в) ∫ 2 x3 − 7x dx . |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 + 5x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 − x |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ arcsin x dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ x2 7x −1 dx ; |
|
|
б) ∫ ( 7 − 6x )cos ( 3x )dx ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
г) ∫ ln ( x2 + 1 ) dx ; |
|
д) ∫ e x cos ( 2 − 3x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
11x + 15 |
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
12 − 17x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
x2 − 8x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
− 2x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
x3 − |
5x2 + 3x |
|
; |
б) ∫ |
|
|
23x2 + 4 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( x3 + 1 ) |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
( x − 4 )2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
в) ∫ tg 5 ( 1 − x )dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin 8 |
x cos 3 x dx ; |
б) ∫ cos6 ( 3 − 5x )dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ cos ec |
4 |
( x + 7 )dx ; |
д) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
|
|
е) ∫ sin (7x)sin (3x)dx ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 3 (3 − 4 x ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
+ 2 sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
3 |
x − 4 |
dx ; |
|
б) ∫ |
x2 |
|
|
dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
x2 dx |
; |
г) ∫ |
x2 − 400 dx |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 x + 1 |
|
(1 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
1 + 9x2 |
x4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 dx |
|
|
|||||||||||||||
|
а) ∫ 3 |
x3 − 8 x2 dx ; |
|
б) ∫ sin 4 (3x)dx ; |
|
|
|
|
|
в) ∫ |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ arctg ( |
8x − 1)dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16 − x2 )3 |
|
|
||||||||||||||
|
д) ∫ |
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
|
dx ; |
|
|
е) ∫ |
2x + 1 |
dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6x + 10 |
|
|
|
|
|
|
x − 4x |
|
|
|
|||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
з) ∫ |
|
|
|
−2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
cos |
|
x + |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
sin |
3 |
(5x) |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
224
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 22
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
5 − 9x |
|
|
|
x−1 |
|
5 |
|
|
4 |
|
|
а) ∫ |
|
|
|
|
) + |
|
|
|
||||
x3 |
dx ; |
б) ∫ |
3 |
|
− |
7 (1 + x2 |
x |
2 |
− 5 |
dx . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
в) ∫ 6 sin x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ x e3− 2 x 2 |
dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
7 |
3 − 8x dx ; |
|
|
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) ∫ ( x + 6 )5− x dx ; |
|
б) ∫ ( 3x − 2 )cos ( 2x )dx ; |
|
|
в) ∫ 4 arccos (5x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ ln |
2 |
x dx ; |
|
|
|
|
|
|
д) ∫ |
|
|
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
3x − 7 |
|
|
|
dx ; |
|
б) ∫ |
|
|
|
2 − 7x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
− 16x − x |
2 |
|
|
|
x2 − 8x + 25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
б) ∫ |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( x + 2 )2 |
( x2 + 16 ) dx ; |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x3 + 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin 2 (1 − x)cos4 (1 − x )dx ; |
б) ∫ cos5 x dx ; |
|
|
|
в) ∫ ctg 4 ( 7x )dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ cos ec |
4 |
x |
|
|
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
е) ∫ cos (8x)cos (3x)dx ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 + sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
7 x |
+ 1 |
+ 3 |
|
dx ; б) |
∫ x2 (1 + x2 ) |
5 |
dx ; в) |
∫ |
x |
2 dx |
; г) ∫ |
4x2 |
− 1 dx |
. |
||||||||||||||
|
( x + 1) |
2 |
− |
x + 1 |
|
|
1 |
− 9x2 |
5x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
|
x − 2 |
|
dx ; |
б) ∫ (3x + 4)e3x dx ; |
|
|
|
|
в) ∫ tg 3 (4x)dx ; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 − 12x − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
г) ∫ x2 |
4 − x2 dx ; |
|
д) ∫ sin (3x)sin (5x)dx ; |
|
|
е) ∫ ln (x + 3)dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
(1 − 2 |
|
x )2 |
dx ; |
|
з) ∫ x − arccos x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 23
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
10x8 |
− 11x |
|
|
23 |
|
|
|
а) ∫ |
|
4 |
dx ; |
б) ∫ 5tg x − |
|
|
|
dx . |
x |
7 cos |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
x (1− 2x |
2 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
7 |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
6 |
|
dx |
; |
|
|
в) ∫ |
dx . |
||||||||||||||
|
5 |
− 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 + x |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x + 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
в) ∫ arccos ( 8x )dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ ( 3x − 1 )2 x dx ; |
|
|
|
б) ∫ ( 9 − 5x)sin ( 2x )dx ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ ln ( x + 22) dx ; |
|
|
|
д) ∫ x tg 2 ( 3x )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
( x + 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
|
7x − 15 |
|
|
dx ; |
|
|
|
б) ∫ |
|
12x − 1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4x |
2 |
− |
2x + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 − 6x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
3x2 + |
|
5 |
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
|
7x5 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6. |
Интегрирование тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ sin 2 ( 3x )cos4 ( 3x )dx ; |
б) ∫ sin5 x dx ; |
|
|
|
в) ∫ ctg 4 ( 2x − 1 )dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) ∫ cos ec |
4 |
( 5x )dx ; |
|
|
|
д) ∫ |
|
dx |
; |
|
|
е) ∫ sin (4x)sin (3x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos 3 (1 + x ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ж) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
+ 3cos x + 4sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) ∫ 3 |
15 |
|
|
|
x |
|
dx ; |
б) ∫ |
1 − 121x2 dx ; |
|
в) ∫ |
dx |
|
; |
г) ∫ x2 |
9x2 − 1 dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 + x2 ) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
Разные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
а) ∫ |
x5 − 12x3 + 7 |
dx |
; |
|
|
б) ∫ sin 5 x cos 2 x dx ; |
|
|
в) ∫ e5x dx ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
г) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
д) ∫ sec4 (2x) dx ; |
|
|
|
е) ∫ |
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
9 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ cos x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ж) ∫ (2 x − 5)cos (4 x )dx ; |
з) ∫ |
11x − 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
226
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 24
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
2 |
|
9 |
|
|
|
x |
|
3 |
|
− 2x + |
|
5 cos x − e |
+ |
|
||||||
а) ∫ 7 x |
|
x |
dx ; |
б) ∫ |
|
4 − x2 |
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Метод замены переменной интегрирования |
|
|
|
||||
|
а) ∫ 5x 4 |
− x 2 |
dx ; |
б) ∫ |
4arccos3 ( 3x ) − 7x |
dx ; |
в) ∫ |
4x −1dx . |
|
|
1− 9x2 |
||||||
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
arcsinx dx ; |
||||
|
а) ∫ ( 8x + 9 )8− x dx ; |
б) ∫ ( 7 − x)sin ( 9x )dx ; |
|
в) ∫ |
||||
|
г) ∫ ln ( 3x + 23) dx ; |
|
|
|
|
2 − x |
||
|
д) ∫ e− x sin x dx . |
|
|
|
||||
|
( 3x + 2 ) |
|
|
|
|
|
4. Интегрирование квадратичных полиномов
а) ∫ |
|
6x + 7 |
|
dx ; |
б) ∫ |
9 − 10x |
dx . |
x |
2 |
15 − 6x − x2 |
|||||
|
− 4x + 1 |
|
|
|
5. Метод интегрирования рациональных дробей
а) ∫ |
7x4 − 5x + |
2 |
dx ; |
б) ∫ |
|
3x − 5 |
|
dx . |
|||||
x |
3 |
+ x |
2 |
− 2x |
x |
2 |
(x − 1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6. Интегрирование тригонометрических функций
а) ∫ sin3 ( 7x )cos5 ( 7x )dx ; |
б) ∫ sin6 (5x)dx ; |
|
||||||||
г) ∫ sec4 ( 2x )dx ; |
|
д) ∫ |
|
|
dx |
|
; |
|||
|
sin |
3 |
(3x − 5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
1 + |
5sin x + 2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ tg 3 (3x − 4)dx ;
е) ∫ cos(9x)cos(11x)dx;
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
|
|
8 2x + 1 |
|
2 |
|
2 |
dx ; в) ∫ |
dx |
) 3 |
; г) ∫ |
9x2 − 1 dx |
|
|
|||||||
а) ∫ 3 2x + 1 − 2x + 1 dx ; б) ∫ x |
|
9 − x |
|
(1 + 16x2 |
3x2 |
. |
|
|||||||||||||
8. Разные интегралы |
б) ∫ 3arcsin4 x + 9x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) ∫ ctg 4 (5x)dx ; |
|
|
|
в) ∫ |
|
4 − 3x |
|
dx ; |
|
|
||||||||||
|
|
|
10 |
− 6x + x |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) ∫ sin |
3 |
(3x )cos |
2 |
( 3x )dx ; |
д) ∫ (5tg x + 3ctg x)dx ; |
|
|
е) ∫ |
5x3 − 2x2 + 9 |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x (x + 1 )(x − 3 ) |
||||||||||||||||
ж) ∫ ( 4x + 7 )cos ( 2x )dx ; |
з) ∫ |
x2 − 16 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
227
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VII. Неопределённый интеграл
Вариант 25
Вычислить неопределённые интегралы:
1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции
|
1 − sin |
3 |
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
а) ∫ |
|
|
|
|
|
|
||||
sin |
2 |
x |
|
dx ; |
б) ∫ |
5 sin x + |
1 − x |
2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Метод замены переменной интегрирования
|
а) ∫ 2 5x dx ; |
|
|
|
|
|
|
б) ∫ |
x 2 |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
а) ∫ ( 5 − 6x)e2 x dx ; |
|
б) |
∫ (4x − 2)cos (3x)dx ; |
|
|||||||||||||
|
г) ∫ ln (x2 + 4) dx ; |
|
|
д) |
∫ ex sin (6x)dx . |
|
||||||||||||
4. |
Интегрирование квадратичных полиномов |
|
||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
x + 11 |
|
|
dx ; |
|
|
б) ∫ |
|
|
3x + 4 |
dx . |
|||||
|
7 |
− 6x − 2x |
2 |
|
|
|
2x2 − 6x + 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Метод интегрирования рациональных дробей |
|
||||||||||||||||
|
а) ∫ |
|
x2 + 9x − 12 |
|
|
|
б) ∫ |
5x − 8 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
||
|
|
2 |
(x |
2 |
+ 9) |
|
|
x |
4 |
− x |
2 |
|
||||||
|
|
(x − 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Интегрирование тригонометрических функций
а) |
∫ sin3 ( 2x )cos4 ( 2x )dx ; |
б) |
∫ cos6 (8x)dx ; |
|
|
||||||
г) |
∫ cos ec6 x dx ; |
|
д) |
∫ |
|
|
dx |
|
; |
||
|
cos |
3 |
( 4 x − |
7 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) |
∫ |
|
cos x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ∫ x − arccos x dx . 1− x2
в) ∫ 7x arctg ( 5x )dx ;
в) ∫ tg 4 ( 3x )dx ;
е) ∫ sin (7x)sin (3x)dx ;
7. Интегрирование некоторых иррациональных функций
а) ∫ 3 |
15 |
x |
dx ; б) |
∫ |
4 − x |
2 |
dx ; в) ∫ |
dx |
; г) |
∫ |
|
dx |
. |
x |
− |
|
(1 + x 2 ) |
|
2 |
||||||||
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
x |
x |
− 9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Разные интегралы
а) ∫ x e |
3− 2 x 2 |
dx ; |
б) ∫ |
dx |
|
|
; |
в) |
||||||
|
|
(1 + 16x2 ) 3 |
||||||||||||
г) ∫ 3 |
|
|
dx |
|
; |
|
д) ∫ ( 3x − 2 )cos ( 2x )dx ; |
е) |
||||||
|
x + 4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
ж) ∫ |
|
|
|
x3 + 3 |
|
dx ; |
з) ∫ |
1 − 4x |
2 |
dx . |
|
|
||
x |
3 |
|
− x |
2 |
− |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
∫
∫
cos x dx |
; |
2 + sin x + cos x |
2 − 7x |
dx ; |
|
x2 − 8x + 25 |
||
|
228
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 1
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫ ex dx ; |
∫ x dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла 4 ( x + x − 5 )dx .
∫ 2
1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = cos x ; |
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
x |
4 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
4. Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|||||||
1 |
3 |
|
|
|
dx |
|
1 |
4 |
dx . |
а) ∫ x3 dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ x 4x dx ; |
г) ∫ |
|||
x |
2 |
− 2x − 8 |
|||||||
0 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
x + 5 |
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = 4 − x2 ; y = 0 ; б) y = x2 9 − x2 ; y = 0 ; x [ 0; 3 ]; в) ρ = 1 − sin ϕ ; ρ = 1.
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = e x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1; б) x2 − y2 = 4 ; y = ± 2 .
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
|
3 |
x = 3t − t |
. |
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
|
y = 3t 2 |
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии y2 = 4x ; x [ 0; 1 ]; ( Ox ) .
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
( x2 + 1 )dx ; |
∞ |
|
|
|
π |
1 |
|
dx |
|
2 |
||||
а) ∫ |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ ctgx dx ; |
г) ∫ ln x dx . |
||
x |
3 |
||||||
− ∞ |
0 |
+ 1 |
|
0 |
0 |
||
|
|
|
229