IDZ_VysshMatematTerehov
.pdfТерехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 11
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
8x5 + x4 − 7x3 ; |
6) lim |
x2 + 21 − 5 |
; |
|||||||||||||||
|
x → ∞ |
x2 + x + 1 |
|
|
|
|
x→2 |
|
|
x − 2 |
|
|||||||||
2) |
lim |
7x2 − 6x + 8 |
|
; |
7) lim |
1 − cos (4x) |
; |
|
||||||||||||
|
x→ ∞ |
12x2 − 5x + 4 |
|
|
|
x→0 |
tg (3x2 ) |
|
||||||||||||
3) |
lim 5x2 + x − 6 |
; |
|
|
|
8) lim |
1 − cos (10x) |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x →1 x2 + 4x − 5 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x2 |
2 x + 3 |
|||||||||
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
4) |
lim |
4 − 3x − |
32 |
|
; |
9) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→16 |
|
|
|
x → ∞ |
x − 1 |
|
|
||||||||||||
5) |
lim ( x |
2 |
+ 1 − |
x |
2 |
− 4x ); |
10) |
lim |
3x + |
4 3x − 1 |
||||||||||
|
|
|
|
3x + |
|
. |
||||||||||||||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =2 x−2 в точках x01 = 6
и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 12
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
4x2 + 4x − 5 |
; |
|||
|
x → ∞ x2 + x3 − x4 |
|
||||
2) |
lim |
3x6 − 2x + 1 |
; |
|||
|
x → ∞ x3 + 2x2 + 1 |
|
||||
3) |
lim |
|
x2 − 2x − 3 |
; |
||
|
|
|
|
|||
|
x →3 2x2 − 9x + 9 |
|
||||
4) |
lim |
|
x3 + 1 |
; |
||
|
|
|
||||
|
x → − 1 3x2 − x − 4 |
|||||
5) |
lim |
|
x + 11 − 4 ; |
|||
|
x→ 5 |
|
x − 5 |
|
II. Исследовать на непрерывность функцию
6) |
lim ( |
x2 + 1 − 2x); |
|||||||
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
7) lim |
1 − cos (12x) |
; |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
|||
8) lim |
2 x sin x |
; |
|
||||||
|
x→ 0 |
sec x − 1 |
|
|
|||||
9) |
lim |
ln x − ln α ; |
|||||||
|
x→α |
|
x − α |
|
|
|
|||
|
|
|
3x + 1 |
x + 1 |
|||||
10) |
lim |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|||||||
|
x → ∞ 3x − 2 |
|
|||||||
f (x) = |
x + 4 |
|
в точках |
||||||
x2 + 2x − 3 |
|||||||||
|
|
|
|
x01 = 1 и x02 =3. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
170
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 13
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
|
|
x3 + x |
|
|
|
|
; |
6) lim |
1 + 3x2 |
− 1 ; |
|
||||||||
|
|
3x3 − 2x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
2x + 1 |
|
x → 0 |
|
x2 + x3 |
|
|||||||||||||
2) |
lim |
|
|
1 − x − 3x2 |
|
|
; |
|
7) lim |
sin(4x) |
; |
|
|||||||||
|
x →∞ |
3x5 − 2x3 − 1 |
|
|
|
|
x→0 sin(6x) |
|
|
||||||||||||
3) |
lim |
x3 − x2 − x + 1 |
; |
8) |
lim |
cos x − cosα |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
x − α |
|||||||||||||||||
|
x →1 |
|
|
x3 − 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
x →α |
|
|
|
|
||||||
4) |
lim |
3x2 − 14x − 5 |
; |
|
9) |
lim |
1 |
− 2x |
5 x + 1 |
||||||||||||
|
|
x2 − 2x − 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
x →5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ 3 − 2x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 3 |
|
5 x2 + 1 |
|||
5) |
lim ( (x + 3)(x −1) − x); |
10) |
lim |
|
x |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
2 |
− 1 |
|
||||||||||||||||||
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ ∞ x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 5 7 − x |
в точках x01 = 1 |
и x0 2 = 7 . В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 14
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
7x6 + 6x5 + 2x2 + 1 |
; |
||||||||||
|
3x6 − 4x3 + 1 |
|
|||||||||||
|
x →∞ |
|
|
||||||||||
2) |
lim |
x3 − 2x + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
4x − 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
||
lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 − x |
|
− x3 |
|
|
|||||||||
|
x→1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
4) |
lim |
|
x3 − 125 |
|
|
; |
|
|
|||||
|
3x2 − 14x − 5 |
|
|
||||||||||
|
x →5 |
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
lim ( x + 2 − |
x ); |
|
|
|
||||||||
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
x − 3 |
; |
|
|
x→3 |
5x + 1 − |
4 |
|
|
|
7) lim |
1 |
x |
; |
|
|
x→0 |
− cos x |
|
|||
8) lim |
1 − cos (12x) |
; |
|||
|
|||||
x→0 |
|
2x2 |
|
|
|
|
|
2 + x |
x + 3 |
|
|
9) lim |
2 |
|
; |
||
|
|
|
|
||
x → ∞ |
4 + x |
|
|
|
1
10) lim(1 + sin x)sin(3x) .
x→0
1
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 5 x + 3 в точках x01 = −3
и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
171
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 15
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
10x3 + 10x2 − 9x + 9 |
; |
|||||||
|
x→ ∞ |
|
|
5x2 + 5x − 1 |
|
|
||||
2) |
lim |
|
x3 + 2x − 2 |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
x → ∞ x4 + 3x + 1 |
|
|
|||||||
3) |
lim |
|
|
x2 + 3x + 2 |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
x → −1 3x2 + 4x + 1 |
|
|
|||||||
4) |
lim |
x3 − 3x2 + 3x − 1 |
|
; |
|
|||||
|
|
|||||||||
|
x →1 |
|
|
5x2 + x − 6 |
|
|
6) lim x( |
x2 + 1 − x); |
|
x → ∞ |
|
|
7) lim tgx − sin(x2 ) |
; |
|
x→0 |
sin2 x |
|
8) lim |
cos(7x) − cos(3x) |
; |
||||
|
||||||
|
x→0 |
x tg (8x) |
||||
9) |
|
|
7x − 5 |
|
2 x − 5 |
|
lim |
7x + 1 |
|
; |
|
||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
3 |
5) lim |
x + 7 − 13 + 3x ; |
10) lim(3x − 5)x2 − 4 . |
|
x→ − 3 |
x + 3 |
x→2 |
|
II. Исследовать на непрерывность функцию |
f (x) = |
x 2 + 1 в точках |
|
|
|
|
x2 − 7x + 12 |
x01 =1 и x0 2 = 3. В окрестности точки разрыва построить схематич- |
|||
ный график функции. |
|
|
|
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 16
I. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
lim |
|
2 + x + x3 |
; |
|
|
|
6) |
lim |
( |
|
|
(x + 1)(x + 3) − x); |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x → ∞ |
1 − 2x − x3 |
|
|
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
lim |
|
7x4 − 2x5 + 3 |
; |
|
7) lim |
1 − cos (16x) |
; |
|
||||||||||||||||||
|
|
x2 − 2x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
lim |
4x3 − 2x2 + x |
; |
|
8) lim |
|
|
|
|
|
|
tgx |
; |
||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
3x2 + 2x |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
(1 − cos x)3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
10 x2 + 1 |
|||||||||||||
4) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
x → − 2 2x |
+ 5x + 2 |
|
|
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
− 4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + x − 1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
x + 5 |
|
|||||||||||||
5) |
|
|
|
; |
10) |
|
|
|
|
|
x − 1 |
. |
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
0.5x |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→ ∞ |
3x − 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 2 9− x |
|
в точках x01 = 9 |
|||||||||||||||||||||||||
и x0 2 = 2 . |
|
В окрестности точки разрыва построить схематичный |
|||||||||||||||||||||||||
график функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 17
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
|
9x3 − x2 − 1 |
|
; |
|
|||||
3x2 + 4x + 5 |
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
||||||||
2) |
lim |
|
13x3 + 4x2 − 3x |
; |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
x → ∞ |
|
|
3x2 − 2x + 3 |
|||||||
3) |
lim |
|
|
2x2 − 50 |
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x → − 5 x2 + 8x + 15 |
|
|
||||||||
4) |
lim |
x2 − 2x + 1 |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
x →1 |
|
|
x3 − x |
|
|
|||||
5) |
lim 1 − |
x − 3 ; |
|
|
|||||||
|
x → 4 |
|
|
2 − |
x |
|
|
6) |
lim ( |
x2 + 1 − |
x2 − 1); |
|||
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
7) lim |
1 − cos (17x) |
; |
||||
|
|
|||||
|
x→0 |
|
x2 |
|
|
|
8) lim |
1 − cos x ; |
|
||||
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x + 5 |
2 x |
+ 1 |
|
9) |
lim |
|
|
|
; |
|
|
||||||
|
x → ∞ |
x + 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 x |
|
10) lim(3 − 2x)x − 1 .
x →1
1
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 3 x +5 в точках x01 = −5
и x0 2 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|
|
|
Задания для самостоятельного решения |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
V. Пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
I. Вычислить пределы: |
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
lim |
5x2 − 5x + 1 ; |
6) |
lim ( |
x + 1 − |
x ); |
||||||||
|
x → ∞ 1 − 2x − x2 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
lim |
2 − 3x − 4x2 |
; |
7) lim |
1 − cos (19x) |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x → ∞ 7x3 − x + 3 |
|
|
|
x→0 |
2x2 |
|
|
|
|||||
3) |
lim |
|
2x2 + 3x + 1 |
; |
8) |
lim |
1 + tgx − 1 ; |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
x → −1 2x2 + 5x + 3 |
|
|
|
x → 0 |
2x |
2 x − 1 |
|||||||
4) |
|
|
x2 − 9x + 14 |
|
|
|
|
|
5x + 4 |
|||||
lim |
|
|
|
; |
9) |
lim |
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→ 2 |
2x2 −13x + 18 |
|
x→ ∞ |
5x − 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 + x − 1 + x2 ; |
10) lim(7 − 6x) |
|
x |
||||||||
5) |
|
|
|
. |
||||||||||
lim |
|
3 x − 3 |
||||||||||||
|
x → 0 |
|
4x |
|
|
|
x →1 |
|
|
|
|
|
|
x
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =1010− x в точках x01 =1
и x02 =10. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
173
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V. Пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. Вычислить пределы: |
Вариант 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
lim |
|
7x2 + x + 2 ; |
6) |
lim ( |
x + 2 − |
|
|
x ); |
||||||||
|
x → ∞ |
|
x4 + 1 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
lim |
3x5 − 2x3 + x2 − 2 ; |
7) lim |
|
x2 |
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
x →∞ |
|
4x3 − x + 5 |
|
x →0 cos (5x) − |
|
|
||||||||||
3) |
lim |
|
2x2 − 7x − 9 |
; |
8) |
lim cos ecx − cos ecα ; |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
x→ −1 2x2 − 13x − 15 |
|
x→α |
x − α |
|||||||||||||
4) |
|
x2 − 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
4x + 1 x + 3 |
||||||||
lim |
|
|
|
|
; |
|
9) |
lim |
|
|
|
|
; |
||||
|
x →1 |
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
x→∞ |
4x + 2 |
|
|
|
||||
5) |
|
|
|
4 9 + x − 8 ; |
10) lim(2x − 9) |
x |
|
. |
|||||||||
lim |
|
x − 5 |
|||||||||||||||
|
x→ − |
5 |
|
x + 5 |
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 2 3− x |
в точках x01 = 3 |
||||||||||||||||
и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный |
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V. Пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
lim |
|
6x4 − 3x + 2 |
; |
|
6) |
lim ( |
x2 + 4 − |
|
x2 − 4 ); |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x →∞ 2x4 − 7x + 4 |
|
|
|
|
x→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
lim |
|
2x3 − 4x + 1 |
; |
|
7) lim |
1 − cos (20x) |
; |
||||||||||||
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
lim |
3x2 − 14x − 5 |
; |
|
8) lim |
arcsin(2x) |
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x →5 |
|
x2 − 2x − 15 |
|
|
|
|
x→0 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
lim |
2x2 + 5x + 2 |
; |
9) |
2x2 − 1 x − 1 |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
lim |
2 |
|
|
|
; |
|||||||||||
|
x → − 2 x + 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x → ∞ 2x + |
4 |
|
|
||||||||||||||
5) |
|
|
1 + 3x2 − 2 |
; |
|
10) lim(7 − 3x) |
|
x |
|
. |
||||||||||
lim |
|
|
2 x − 4 |
|||||||||||||||||
|
x→1 |
|
x2 − x |
|
|
|
|
x → 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
II. Исследовать на непрерывность функцию |
f (x) = |
x 2 +5 |
|
в точках x01 =1 |
||||||||||||||||
1− x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и x0 2 = 4. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
174
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V. Пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
lim |
|
|
3x + 18x2 |
|
; |
6) lim |
( |
|
x + 2 − |
x ); |
|||||||||
|
3x2 − 2x + 1 |
|||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
lim |
|
|
4x2 + x − 3 |
|
; |
7) lim tgx − sin x |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x →∞ |
|
6x4 + 3x2 + 1 |
x→0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
lim |
|
x2 + 3x − 10 |
|
; |
8) lim |
|
|
|
|
|
|
x2 |
; |
||||||
3x2 − 5x − 2 |
|
|
1 − sin x − |
|||||||||||||||||
|
x → 2 |
|
|
x→0 |
|
|
cos x |
|||||||||||||
4) |
lim |
|
|
x3 + 1 |
; |
9) lim |
2x2 + 1 |
2 x2 − 1 |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
x → −1 3x − x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x→∞ 2x + |
5 |
|
|
||||||||||||||
5) |
|
|
|
2x + 1 − 3 |
; |
10) lim(1 + x) |
1 |
|
. |
|
|
|||||||||
lim |
|
|
3 x |
|
|
|||||||||||||||
|
x → 4 |
|
|
x − 2 − 2 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
II. Исследовать на непрерывность функцию |
− |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
− 4 в точках x01 =1 |
|||||||||||||||||||
f (x) = 2 |
и x0 2 = 4. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 22
I. Вычислить пределы:
1) |
lim 3x2 + 2x − 24x3 |
; |
|
|||||||
|
x →∞ |
x3 − 1 |
|
|
|
|||||
2) |
lim 6x4 − 3x2 + 2x − 2 |
; |
||||||||
|
x →∞ |
7x2 + 3x + 1 |
|
|
|
|||||
3) |
lim |
x3 + 3x2 + 2x |
|
; |
|
|
||||
x2 − x − 6 |
|
|
||||||||
|
x → − 2 |
|
|
|
||||||
4) |
lim |
x2 − x − 2 |
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
x → 2 x2 + x − 6 |
|
|
|
||||||
5) |
lim |
|
3x + 28 − 5 |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
x → − 1 |
x(x + 1) |
|
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию
6) |
lim ( |
x + 4 − x ); |
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7) lim |
1 − cos (2x) + tg 2 x |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
x sin x |
|
|
|||||||||
8) lim |
1 − cos (23x) |
|
; |
|
|||||||||
|
|
x3 |
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x − 3 2 x + 3 |
||||||||
9) |
|
lim |
|
|
; |
|
|||||||
|
|
||||||||||||
|
x →∞ x + 3 |
|
|
||||||||||
10) lim(3x − 5) |
x |
|
|
||||||||||
|
. |
||||||||||||
x − 2 |
|||||||||||||
|
|
x → 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) = |
x 4 |
|
в точках x01 = −1 |
||||||||||
x+1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
175
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 23
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
|
3x2 − 14x |
|
|
; |
|
|
|
6) lim |
3x + 1 − 3 ; |
|
|
||||||||||||
1 + 3x − 7x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
5x − 1 − 2 |
|
|
||||||||||||
2) |
lim |
|
7x2 + 2x − 4 |
|
|
; |
7) lim |
cos (3x) − 1 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||
8x4 − 3x2 + 2x − 1 |
|
x tg(2x) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2x2 + 5x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3x − 1 x + 1 |
|
|
||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
8) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
2x3 + 7x2 |
+ |
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x → − 2 |
|
|
|
|
|
x →∞ |
3x − 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||
4) |
lim |
|
3x2 + x − 2 |
|
|
; |
|
|
|
9) |
|
|
x2 − 2x + 1 x |
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
|
x → −1 3x + 4x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x → ∞ x − 4x + |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
5) |
lim ( |
x + 4 − |
x ); |
|
|
|
10) |
|
lim ctg(2x) − |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
sin(2x) |
||||||
II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = |
1 |
|
|
в точках x01 =1 |
|||||||||||||||||||||
x 2 −16 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и x0 2 = 4. В окрестности точки разрыва построить схематичный
график функции.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 24
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
x3 − 5x2 + 2x + 3 |
; |
||
7x2 + 4x + 5 |
|||||
|
x →∞ |
|
|||
2) |
lim |
15x2 − 8x + 1 |
; |
|
|
|
x →∞ |
5x2 + 14x − 3 |
|
|
|
3) |
lim |
2x2 − 5x − 7 |
; |
|
|
|
x → −1 3x2 + x − 2 |
|
|
||
4) |
lim |
1 − 2x − x2 |
− 1 − x ; |
||
|
x→ 0 |
0.2 x |
|
|
6) lim |
3x + 28 − 5 |
; |
|
x(x + 1) |
|||
x → − 1 |
|
7) lim |
sin(4 + x) − sin(4 − x) |
; |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
8) lim |
1− cos(20x) |
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|||
9) |
|
x |
2 |
− x + 1 |
; |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||
lim |
|
+ 4x + 2 |
|
|
|||||||
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
5) lim ( |
x + 5 − x ); |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
10) |
|
x |
. |
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ |
|
|
|
x→ 0 2x + 1 |
|
|
|||||||
II. Исследовать на непрерывность функцию |
f (x) = |
x 4 |
|
в точках x01 = −7 |
|||||||||
x + 7 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и x0 2 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
176
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
V. Пределы
Вариант 25
I. Вычислить пределы:
1) |
lim |
|
|
2x5 + x3 − 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→ ∞ 3x4 − 2x2 + x |
||||||
2) |
lim |
6x5 − 2x3 − 5 |
; |
||||
|
x→∞ |
|
2x5 − 8x4 + 1 |
|
|
||
3) |
lim 4x3 − 2x2 + x |
; |
|||||
|
x→0 |
|
|
3x2 + 2x |
|
|
|
4) |
lim |
|
|
x2 − 3 x + 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x → −1 |
2 x2 + x − 1 |
|
|
|||
5) |
lim |
x + 7 − 13 + 3x ; |
|||||
|
x→ − |
3 |
x + 3 |
|
|
II. Исследовать на непрерывность функцию
6) lim |
|
|
x2 + 25 − 5 ; |
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
7) lim |
1 − cos (4x) |
; |
|||||||||
2 x tg ( 3x ) |
|
||||||||||
x→0 |
|
||||||||||
8) lim |
|
tg 2 (4x) |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 x sin(3x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ 1 |
3x2 |
||||
9) lim |
|
|
|
; |
|||||||
|
|
2 |
+ 4 |
|
|||||||
x→ ∞ |
x |
|
|
|
|
x
10) lim (3 − 2x) x −1 .
x→1
f (x) = xx+47 в точках x01 = −7
и x0 2 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.
177
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 1
1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: a) f (x) = 3x2 − x ; б) f (x) = ln(x + 3) .
2.Продифференцировать
а) y = x − 2 ln(1 + 3 x ) ;
в) y = (3x − 1)5 2x ;
д) |
|
5 t |
2 |
π |
|
; |
|
y = 3 arctg |
|
− sin |
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
указанные функции.
|
|
|
|
tg (2 x) |
|
|
|
2 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y = 3 |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ arcsin |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
y = e x−5x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ctg |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e |
|
sin |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
е) |
x |
2 |
y + xy |
2 |
= 2 ; |
|
|
ж) |
|
|
|
2 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = e3 t cos |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
a) y = ln(x + 4) , x0 = 0 ; |
б) x = ln t |
; |
в) y ± 3x = 2 y . |
|
y = t 3 |
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
|
x |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
ра: а) y 2 = |
|
, x0 = 0 ; |
б) x = 2sin |
|
t , |
t0 |
= |
π . |
|
2a − x |
|
||||||||
|
|
y = 2 cos3 t |
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти указанные пределы с помощью
а) |
lim |
ln x |
; |
|
|
|
|
б) |
lim |
ln(1 + sin x) |
; |
|
||||
|
|
|
|
|
sin(4x) |
|
|
|||||||||
|
x→0 ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
г) |
|
x |
|
|
1 |
|
; |
д) |
lim (cos (2x)) |
x |
2 |
|
. |
|||
lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln x |
x − 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правила Лопиталя.
в) |
|
π x |
|
|
π x |
; |
|
lim tg |
ln tg |
|
|
||||
|
x→1 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
6. Провести полное исследование и построить график функции
f (x) = x3 − 3x2 .
178
Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике
Задания для самостоятельного решения
VI. Дифференциальное исчисление
Вариант 2
1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-
ем производной: a) f (x) = 3 2x + 1 ; б) f (x) = sin(2x + 1) .
2. Продифференцировать указанные функции.
а) |
y = |
a2 |
ln(x − |
x |
2 |
− a |
2 |
1 |
|
; |
б) |
y = 2 |
arcsin |
|
x |
+ 5 |
4 |
− x |
; |
||||
2 |
|
|
|
)+ sin |
|
|
|
|
2x |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
( |
|
) |
|
|
x |
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||
в) |
y = (x + 1) |
2x |
|
; |
|
|
|
|
г) y = e |
|
3 tg ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
y = (arccos π 3 − 4 t 2 |
) ; |
|
|
е) |
xy = arctg |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
ж) x = t(1 − sin t ) .
y = t cos t
3. Найти производную второго порядка от указанных функций.
|
|
4x + 7 |
|
|
2 t |
|
|
a) |
y = |
, x0 = 0 ; |
б) x = e |
; |
в) 3y − 3x = 2 y . |
||
2x + 3 |
|||||||
|
|
|
y = e− t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-
ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-
ра: а) y = x |
3 |
− 2x |
2 |
+ 1, x0 = 2 ; |
x = |
3 cos t |
, |
t0 = |
π |
. |
|||||||||||
|
|
б) |
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin t |
|
|
|
|||||
5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя. |
|||||||||||||||||||||
а) lim |
|
|
tgx |
|
; |
|
б) |
lim |
1 − cos |
(10x) |
; |
|
в) lim(sin x ln(ctgx)) ; |
||||||||
|
tg(3x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→π |
|
|
|
|
x→0 |
e x2 − 1 |
|
|
|
x→0 |
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
π x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (3 − x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) lim |
|
|
− ctgx |
; |
д) |
4 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Провести полное |
исследование и |
|
построить график функции |
||||||||||||||||||
f (x) = |
(x2 − 2)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
179