Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf
Скачиваний:
64
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
8.13 Mб
Скачать

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 11

I. Вычислить пределы:

1)

lim

8x5 + x4 7x3 ;

6) lim

x2 + 21 5

;

 

x → ∞

x2 + x + 1

 

 

 

 

x2

 

 

x 2

 

2)

lim

7x2 6x + 8

 

;

7) lim

1 cos (4x)

;

 

 

x→ ∞

12x2 5x + 4

 

 

 

x0

tg (3x2 )

 

3)

lim 5x2 + x 6

;

 

 

 

8) lim

1 cos (10x)

;

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x2 + 4x 5

 

 

 

 

 

x0

 

 

x2

2 x + 3

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4)

lim

4 3x

32

 

;

9)

lim

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x16

 

 

 

x → ∞

x 1

 

 

5)

lim ( x

2

+ 1

x

2

4x );

10)

lim

3x +

4 3x 1

 

 

 

 

3x +

 

.

 

x → ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

x → ∞

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =2 x2 в точках x01 = 6

и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный

график функции.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 12

I. Вычислить пределы:

1)

lim

4x2 + 4x 5

;

 

x → ∞ x2 + x3 x4

 

2)

lim

3x6 2x + 1

;

 

x → ∞ x3 + 2x2 + 1

 

3)

lim

 

x2 2x 3

;

 

 

 

 

 

x 3 2x2 9x + 9

 

4)

lim

 

x3 + 1

;

 

 

 

 

x → − 1 3x2 x 4

5)

lim

 

x + 11 4 ;

 

x5

 

x 5

 

II. Исследовать на непрерывность функцию

6)

lim (

x2 + 1 2x);

x → ∞

 

 

 

 

 

 

7) lim

1 cos (12x)

;

 

 

 

 

x0

 

x2

 

 

 

8) lim

2 x sin x

;

 

 

x0

sec x 1

 

 

9)

lim

ln x ln α ;

 

xα

 

x α

 

 

 

 

 

 

3x + 1

x + 1

10)

lim

 

 

 

 

.

 

 

 

 

x → ∞ 3x 2

 

f (x) =

x + 4

 

в точках

x2 + 2x 3

 

 

 

 

x01 = 1 и x02 =3. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.

170

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 13

I. Вычислить пределы:

1)

lim

 

 

x3 + x

 

 

 

 

;

6) lim

1 + 3x2

1 ;

 

 

 

3x3 2x2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

2x + 1

 

x 0

 

x2 + x3

 

2)

lim

 

 

1 x 3x2

 

 

;

 

7) lim

sin(4x)

;

 

 

x →∞

3x5 2x3 1

 

 

 

 

x0 sin(6x)

 

 

3)

lim

x3 x2 x + 1

;

8)

lim

cos x cosα

;

 

 

 

 

x α

 

x 1

 

 

x3 3x + 2

 

 

 

 

 

 

x α

 

 

 

 

4)

lim

3x2 14x 5

;

 

9)

lim

1

2x

5 x + 1

 

 

x2 2x 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

x → ∞ 3 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ 3

 

5 x2 + 1

5)

lim ( (x + 3)(x 1) x);

10)

lim

 

x

 

 

 

.

 

2

1

 

 

x→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

x→ ∞ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 5 7 x

в точках x01 = 1

и x0 2 = 7 . В окрестности точки разрыва построить схематичный

график функции.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 14

I. Вычислить пределы:

1)

lim

7x6 + 6x5 + 2x2 + 1

;

 

3x6 4x3 + 1

 

 

x →∞

 

 

2)

lim

x3 2x + 1

;

 

 

 

 

 

 

4x 3

 

 

 

 

 

 

 

x → ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

1

 

 

1

 

 

 

;

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

x3

 

 

 

x1

1

 

 

 

 

4)

lim

 

x3 125

 

 

;

 

 

 

3x2 14x 5

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

5)

lim ( x + 2

x );

 

 

 

 

x→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) lim

 

x 3

;

 

 

x3

5x + 1

4

 

 

7) lim

1

x

;

 

 

x0

cos x

 

8) lim

1 cos (12x)

;

 

x0

 

2x2

 

 

 

 

 

2 + x

x + 3

 

9) lim

2

 

;

 

 

 

 

x → ∞

4 + x

 

 

 

1

10) lim(1 + sin x)sin(3x) .

x0

1

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 5 x + 3 в точках x01 = −3

и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.

171

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 15

I. Вычислить пределы:

1)

lim

10x3 + 10x2 9x + 9

;

 

x→ ∞

 

 

5x2 + 5x 1

 

 

2)

lim

 

x3 + 2x 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → ∞ x4 + 3x + 1

 

 

3)

lim

 

 

x2 + 3x + 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → −1 3x2 + 4x + 1

 

 

4)

lim

x3 3x2 + 3x 1

 

;

 

 

 

 

x 1

 

 

5x2 + x 6

 

 

6) lim x(

x2 + 1 x);

x → ∞

 

 

7) lim tgx sin(x2 )

;

x0

sin2 x

 

8) lim

cos(7x) cos(3x)

;

 

 

x0

x tg (8x)

9)

 

 

7x 5

 

2 x 5

lim

7x + 1

 

;

 

 

x → ∞

 

 

 

 

 

 

3

5) lim

x + 7 13 + 3x ;

10) lim(3x 5)x2 4 .

x→ − 3

x + 3

x2

II. Исследовать на непрерывность функцию

f (x) =

x 2 + 1 в точках

 

 

 

x2 7x + 12

x01 =1 и x0 2 = 3. В окрестности точки разрыва построить схематич-

ный график функции.

 

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 16

I. Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

 

2 + x + x3

;

 

 

 

6)

lim

(

 

 

(x + 1)(x + 3) x);

 

 

 

 

 

 

x → ∞

1 2x x3

 

 

 

x→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

lim

 

7x4 2x5 + 3

;

 

7) lim

1 cos (16x)

;

 

 

 

x2 2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → ∞

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

3)

lim

4x3 2x2 + x

;

 

8) lim

 

 

 

 

 

 

tgx

;

 

x 0

 

 

3x2 + 2x

 

 

 

x0

 

 

 

(1 cos x)3

 

 

 

 

 

x2 + 3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 1

10 x2 + 1

4)

lim

 

 

 

 

 

 

 

;

 

9)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x → − 2 2x

+ 5x + 2

 

 

 

x→ ∞

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1 + x 1 x

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

x + 5

 

5)

 

 

 

;

10)

 

 

 

 

 

x 1

.

lim

 

 

 

 

0.5x

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

x→ ∞

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 2 9x

 

в точках x01 = 9

и x0 2 = 2 .

 

В окрестности точки разрыва построить схематичный

график функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

172

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 17

I. Вычислить пределы:

1)

lim

 

9x3 x2 1

 

;

 

3x2 + 4x + 5

 

x→∞

 

 

2)

lim

 

13x3 + 4x2 3x

;

 

 

 

 

x → ∞

 

 

3x2 2x + 3

3)

lim

 

 

2x2 50

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → − 5 x2 + 8x + 15

 

 

4)

lim

x2 2x + 1

;

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

x3 x

 

 

5)

lim 1

x 3 ;

 

 

 

x 4

 

 

2

x

 

 

6)

lim (

x2 + 1

x2 1);

 

x → ∞

 

 

 

 

7) lim

1 cos (17x)

;

 

 

 

x0

 

x2

 

 

8) lim

1 cos x ;

 

 

x0

 

x

 

 

 

 

 

x + 5

2 x

+ 1

9)

lim

 

 

 

;

 

 

x → ∞

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

10) lim(3 2x)x 1 .

x 1

1

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 3 x +5 в точках x01 = −5

и x0 2 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный

график функции.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V. Пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вычислить пределы:

Вариант 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

5x2 5x + 1 ;

6)

lim (

x + 1

x );

 

x → ∞ 1 2x x2

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

2)

lim

2 3x 4x2

;

7) lim

1 cos (19x)

;

 

 

 

 

 

 

x → ∞ 7x3 x + 3

 

 

 

x0

2x2

 

 

 

3)

lim

 

2x2 + 3x + 1

;

8)

lim

1 + tgx 1 ;

 

 

 

x → −1 2x2 + 5x + 3

 

 

 

x 0

2x

2 x 1

4)

 

 

x2 9x + 14

 

 

 

 

 

5x + 4

lim

 

 

 

;

9)

lim

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

2x2 13x + 18

 

x→ ∞

5x 1

 

 

 

 

 

 

1 + x 1 + x2 ;

10) lim(7 6x)

 

x

5)

 

 

 

.

lim

 

3 x 3

 

x 0

 

4x

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

x

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =1010x в точках x01 =1

и x02 =10. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.

173

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V. Пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вычислить пределы:

Вариант 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

 

7x2 + x + 2 ;

6)

lim (

x + 2

 

 

x );

 

x → ∞

 

x4 + 1

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

2)

lim

3x5 2x3 + x2 2 ;

7) lim

 

x2

 

;

 

 

 

 

1

 

x →∞

 

4x3 x + 5

 

x 0 cos (5x)

 

 

3)

lim

 

2x2 7x 9

;

8)

lim cos ecx cos ecα ;

 

 

 

x→ −1 2x2 13x 15

 

xα

x α

4)

 

x2 3x + 2

 

 

 

 

 

 

4x + 1 x + 3

lim

 

 

 

 

;

 

9)

lim

 

 

 

 

;

 

x 1

 

 

x 1

 

 

 

 

x→∞

4x + 2

 

 

 

5)

 

 

 

4 9 + x 8 ;

10) lim(2x 9)

x

 

.

lim

 

x 5

 

x→ −

5

 

x + 5

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = 2 3x

в точках x01 = 3

и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный

график функции.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V. Пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

 

6x4 3x + 2

;

 

6)

lim (

x2 + 4

 

x2 4 );

 

 

 

 

 

x →∞ 2x4 7x + 4

 

 

 

 

x→ ∞

 

 

 

 

 

 

 

2)

lim

 

2x3 4x + 1

;

 

7) lim

1 cos (20x)

;

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

x0

x2

 

 

 

 

 

 

3)

lim

3x2 14x 5

;

 

8) lim

arcsin(2x)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

x2 2x 15

 

 

 

 

x0

3x

 

 

 

 

 

 

4)

lim

2x2 + 5x + 2

;

9)

2x2 1 x 1

2

 

 

 

lim

2

 

 

 

;

 

x → − 2 x + 3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → ∞ 2x +

4

 

 

5)

 

 

1 + 3x2 2

;

 

10) lim(7 3x)

 

x

 

.

lim

 

 

2 x 4

 

x1

 

x2 x

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию

f (x) =

x 2 +5

 

в точках x01 =1

1x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и x0 2 = 4. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.

174

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V. Пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

 

 

3x + 18x2

 

;

6) lim

(

 

x + 2

x );

 

3x2 2x + 1

 

x →∞

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

lim

 

 

4x2 + x 3

 

;

7) lim tgx sin x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x →∞

 

6x4 + 3x2 + 1

x0

 

 

x3

 

 

 

 

 

3)

lim

 

x2 + 3x 10

 

;

8) lim

 

 

 

 

 

 

x2

;

3x2 5x 2

 

 

1 sin x

 

x 2

 

 

x0

 

 

cos x

4)

lim

 

 

x3 + 1

;

9) lim

2x2 + 1

2 x2 1

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

;

 

x → −1 3x x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ 2x +

5

 

 

5)

 

 

 

2x + 1 3

;

10) lim(1 + x)

1

 

.

 

 

lim

 

 

3 x

 

 

 

x 4

 

 

x 2 2

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

4 в точках x01 =1

f (x) = 2

и x0 2 = 4. В окрестности точки разрыва построить схематичный

график функции.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 22

I. Вычислить пределы:

1)

lim 3x2 + 2x 24x3

;

 

 

x →∞

x3 1

 

 

 

2)

lim 6x4 3x2 + 2x 2

;

 

x →∞

7x2 + 3x + 1

 

 

 

3)

lim

x3 + 3x2 + 2x

 

;

 

 

x2 x 6

 

 

 

x → − 2

 

 

 

4)

lim

x2 x 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x2 + x 6

 

 

 

5)

lim

 

3x + 28 5

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → − 1

x(x + 1)

 

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию

6)

lim (

x + 4 x );

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

7) lim

1 cos (2x) + tg 2 x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

x sin x

 

 

8) lim

1 cos (23x)

 

;

 

 

 

x3

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

x 3 2 x + 3

9)

 

lim

 

 

;

 

 

 

 

x →∞ x + 3

 

 

10) lim(3x 5)

x

 

 

 

.

x 2

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

x 4

 

в точках x01 = −1

x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и x02 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.

175

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 23

I. Вычислить пределы:

1)

lim

 

3x2 14x

 

 

;

 

 

 

6) lim

3x + 1 3 ;

 

 

1 + 3x 7x2

 

 

 

 

 

 

x →∞

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

5x 1 2

 

 

2)

lim

 

7x2 + 2x 4

 

 

;

7) lim

cos (3x) 1

 

;

 

 

 

8x4 3x2 + 2x 1

 

x tg(2x)

 

 

 

x →∞

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

2x2 + 5x + 2

 

 

 

 

 

 

 

3x 1 x + 1

 

 

3)

lim

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

8)

lim

 

 

 

 

;

 

 

 

2x3 + 7x2

+

 

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

x → − 2

 

 

 

 

 

x →∞

3x 5

 

 

 

 

4)

lim

 

3x2 + x 2

 

 

;

 

 

 

9)

 

 

x2 2x + 1 x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

lim

2

 

 

 

 

 

;

 

 

x → −1 3x + 4x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → ∞ x 4x +

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5)

lim (

x + 4

x );

 

 

 

10)

 

lim ctg(2x)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

sin(2x)

II. Исследовать на непрерывность функцию f (x) =

1

 

 

в точках x01 =1

x 2 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и x0 2 = 4. В окрестности точки разрыва построить схематичный

график функции.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 24

I. Вычислить пределы:

1)

lim

x3 5x2 + 2x + 3

;

7x2 + 4x + 5

 

x →∞

 

2)

lim

15x2 8x + 1

;

 

 

x →∞

5x2 + 14x 3

 

 

3)

lim

2x2 5x 7

;

 

 

x → −1 3x2 + x 2

 

 

4)

lim

1 2x x2

1 x ;

 

x0

0.2 x

 

 

6) lim

3x + 28 5

;

x(x + 1)

x → − 1

 

7) lim

sin(4 + x) sin(4 x)

;

 

 

 

x0

 

 

 

x

 

 

 

8) lim

1cos(20x)

 

;

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

x2

x2

 

 

9)

 

x

2

x + 1

;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

lim

 

+ 4x + 2

 

 

 

x→∞ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5) lim (

x + 5 x );

 

 

 

 

1

 

 

 

 

10)

 

x

.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

x0 2x + 1

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию

f (x) =

x 4

 

в точках x01 = −7

x + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и x0 2 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.

176

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

V. Пределы

Вариант 25

I. Вычислить пределы:

1)

lim

 

 

2x5 + x3 1

 

;

 

 

 

 

 

 

x→ ∞ 3x4 2x2 + x

2)

lim

6x5 2x3 5

;

 

x→∞

 

2x5 8x4 + 1

 

 

3)

lim 4x3 2x2 + x

;

 

x0

 

 

3x2 + 2x

 

 

4)

lim

 

 

x2 3 x + 4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x → −1

2 x2 + x 1

 

 

5)

lim

x + 7 13 + 3x ;

 

x→ −

3

x + 3

 

 

II. Исследовать на непрерывность функцию

6) lim

 

 

x2 + 25 5 ;

x0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

7) lim

1 cos (4x)

;

2 x tg ( 3x )

 

x0

 

8) lim

 

tg 2 (4x)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x sin(3x)

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 1

3x2

9) lim

 

 

 

;

 

 

2

+ 4

 

x→ ∞

x

 

 

 

 

x

10) lim (3 2x) x 1 .

x1

f (x) = xx+47 в точках x01 = −7

и x0 2 = 2. В окрестности точки разрыва построить схематичный график функции.

177

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 1

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: a) f (x) = 3x2 x ; б) f (x) = ln(x + 3) .

2.Продифференцировать

а) y = x 2 ln(1 + 3 x ) ;

в) y = (3x 1)5 2x ;

д)

 

5 t

2

π

 

;

y = 3 arctg

 

sin

7

 

 

 

 

 

 

 

 

указанные функции.

 

 

 

 

tg (2 x)

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

y = 3

x

 

 

 

 

x

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ arcsin

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y = e x5x

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = e

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е)

x

2

y + xy

2

= 2 ;

 

 

ж)

 

 

 

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = e3 t cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

a) y = ln(x + 4) , x0 = 0 ;

б) x = ln t

;

в) y ± 3x = 2 y .

 

y = t 3

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

 

x

2

 

 

3

 

 

 

 

ра: а) y 2 =

 

, x0 = 0 ;

б) x = 2sin

 

t ,

t0

=

π .

2a x

 

 

 

y = 2 cos3 t

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью

а)

lim

ln x

;

 

 

 

 

б)

lim

ln(1 + sin x)

;

 

 

 

 

 

 

sin(4x)

 

 

 

x0 ctgx

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

г)

 

x

 

 

1

 

;

д)

lim (cos (2x))

x

2

 

.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

x 1

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правила Лопиталя.

в)

 

π x

 

 

π x

;

lim tg

ln tg

 

 

 

x1 2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное исследование и построить график функции

f (x) = x3 3x2 .

178

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

VI. Дифференциальное исчисление

Вариант 2

1. Найти производные следующих функций, пользуясь определени-

ем производной: a) f (x) = 3 2x + 1 ; б) f (x) = sin(2x + 1) .

2. Продифференцировать указанные функции.

а)

y =

a2

ln(x

x

2

a

2

1

 

;

б)

y = 2

arcsin

 

x

+ 5

4

x

;

2

 

 

 

)+ sin

 

 

 

 

2x

 

 

2

 

 

(

 

)

 

 

x

 

 

 

 

t +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

в)

y = (x + 1)

2x

 

;

 

 

 

 

г) y = e

 

3 tg ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

y = (arccos π 3 4 t 2

) ;

 

 

е)

xy = arctg

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

ж) x = t(1 sin t ) .

y = t cos t

3. Найти производную второго порядка от указанных функций.

 

 

4x + 7

 

 

2 t

 

a)

y =

, x0 = 0 ;

б) x = e

;

в) 3y 3x = 2 y .

2x + 3

 

 

 

y = et

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить уравнения касательной и нормали к указанным лини-

ям либо в указанной точке, либо при указанном значении парамет-

ра: а) y = x

3

2x

2

+ 1, x0 = 2 ;

x =

3 cos t

,

t0 =

π

.

 

 

б)

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin t

 

 

 

5. Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

а) lim

 

 

tgx

 

;

 

б)

lim

1 cos

(10x)

;

 

в) lim(sin x ln(ctgx)) ;

 

tg(3x)

 

 

 

 

 

xπ

 

 

 

 

x0

e x2 1

 

 

 

x0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

π x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (3 x)

 

 

 

 

 

 

г) lim

 

 

ctgx

;

д)

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Провести полное

исследование и

 

построить график функции

f (x) =

(x2 2)2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

179

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]