Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

IDZ_VysshMatematTerehov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

8.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 437 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

					Треугольники
	В				Высота BD ( h ) – отрезок перпен-
c		β		a	дикуляра, опущенного из верши-
	h			a	ны треугольника на противополо-
	h				ны треугольника на противополо-
α				γ	жную сторону или её продолже-
α				γ	жную сторону или её продолже-
А	D		b E		С ние (в случае вершины тупого уг-
А	D		b E		С ние (в случае вершины тупого уг-

ла). Медиана BE – отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Стороны треугольника, которые лежат против вершин, обозначаются соответствующими буквами: BC = a (лежит напротив вершины A ), CA = b (лежит напротив вершины B ) и AB = c (лежит напротив вершины C ). Сумма углов в евклидовом треугольнике всегда равна π : α + β + γ = π . Пло-

щадь треугольника равна половине произведения высоты треуголь-

ника на основание, например: S = 21h b . Периметром называется сум-

ма всех сторон, ограничивающих плоскую фигуру: P = a + b + c ; а по-

лупериметром – величина p = P2 . Площадь треугольника вычисляет-

ся также по формуле Герона:

S =

p( p − a)( p − b)( p − c) . Если вокруг тре-

угольника описана окружность радиуса R (площадь окружности равна S = π R2 , а длина – L = 2π R ), то R = a4bSc . Для вписанной окруж-

ности с радиусом r эта формула имеет вид: r = Sp . Частными случа-

ями треугольников являются: равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину), равнобедренный (две стороны имеют одинаковую длину, которая отличается от длины третьей стороны), прямо-

угольный (один из углов прямой, который равен 90o или π			радиан).
		2
		Четырёхугольники
B	b	C
a	m	c – трапеция.

А d D

Средняя линия m – отрезок прямой, который параллелен основаниям трапеции и соединяющий середины её боковых сторон:

m =	b + d	;	S = h m	.

	2

Если длины боковых сторон трапеции равны ( a = c ), то трапеция называется равнобочной. Если два угла трапеции прямые, то она на-

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

зывается прямоугольной.

	B	b		C
a	h		a	– параллелограмм.
ϕ	h		a
ϕ

Аb D

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны между собой. Площадь параллелограмма равна S = h b = a b sin ϕ .

	B	a C	– ромб.
a	h	a
ϕ

Аa D

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны между собой, а углы отличны от прямого. Площадь ромба


равна	S = h a = a a sin ϕ = a 2 sin ϕ		.
B	b	C
a		a – прямоугольник.

Аb D

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Площадь прямоугольника равна S = a b .

B a C

a a – квадрат.

Аa D

Квадратом называется прямоугольник, у которого все сторо-

ны равны: S = a a = a 2 – площадь квадрата.

Параллелепипед

Для параллелепипеда выполняются следующие равенства:

d 2 = a2 + b2 + c2 ;

площадь боковой поверхности Sб = 2 (a b + b c + c a) ; объём вычисляется по формуле V = a b c . Кубом называется параллелепипед, для которого все рёбра равны, т.е. a = b = c ( Sб = 6 a 2 ,V = a 3 ).

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Пирамида

H высота

Основание

Пирамидой называется многогранник, в основание которого лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками. Если в основании лежит правильный многоугольник (стороны равны: равносторонний треугольник, квадрат и т.д.), то пирамида на-

зывается правильной. Объём пирамиды равен одной трети произве-

дения площади основания на её высоту: V = 13 So H .

Прямой круговой конус

Образующая l

h высота

Прямым круговым конусом называется фигура, которая получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. В основании прямого кругового конуса лежит окружность с радиусом r , его ось перпендикулярна к основанию и является высотой h . Образующая конуса l связана с высотой и радиусом соотношением l = r 2 + h2 . Площадь основания So = π r 2 , а боковой поверхности − Sб = π r l . Объём прямого кругового конуса определя-

ется формулой: V = 13 Soh = 13 π r 2 h .

Шар

Шаром называется фигура, ограниченная сферой, − геометрическим местом пространственных точек, равноудалённых на расстояние R , называемого радиусом сферы, от выделенной точки, называемой центром сферы. Площадь сферы определяется формулой

S = 4π R2 , а объём − V = 43 π R3 .

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет Кафедра “Высшая математика” им. В.В. Пака

Индивидуальные домашние задания

по высшей математике

Часть 1. Основы линейной и векторной алгебр аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Донецк – 2011

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Модульный блок № 1

Задания для самостоятельного решения

I. Основы линейной алгебры

Вариант 1

1.	Вычислить определители					− 2	− 9		;		2		− 1	2		.


											1		− 2	3
					3		2				− 1	0		1
						x	1	2			− 1	0		1
2.	Решить уравнение	x	2	− 2						= 4 +			x	x	.


						3	0	1
		3	1			− 1	2	4					3	4
						− 1	2	4									2	1	3	1


3.	Вычислить определитель четвёртого порядка																0	1	2	4	, пре-
																	2	3	4	0
																	1	2	1	1

образовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда.

	4x − y + z = 3
4. Решить методами Крамера и Гаусса СЛАУ	x + y − z = 1 .
	2x − 3y − 3z = − 4
	2x − 3y − 3z = − 4

5. Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя

третьего порядка					1	− 2	3	.
					1	− 2	3
					− 3	5	− 4
					− 2	1	− 1
6. Вычислить произведения матриц A B и B T A, если матрица
− 1		1	2						− 1
	2	0	1						− 2
A =	2	0	1	, а матрица B =					− 2	.
	1	− 1	− 3						2
	1	− 1	− 3						2
											1	− 2	2
7. Найти матрицу A−1 , обратную к матрице A=											−1	1	−1 .
											1	1
											1	1	−1

x − y + 3z = 1

8. Решить матричным способом СЛАУ 3x + 2 y + 4z = 5 .

− 2x + y + z = 4

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

I. Основы линейной алгебры

Вариант 2

1.	Вычислить определители				5		− 2		;	− 3	− 4	0	.


										2	− 3	1
					− 7		− 4			0	1	2
	Решить неравенство	2	3			2	x	1		0	1	2
2.				+ 4						+ x > 3 .


						3	2	0
		x	1			1	1	1
						1	1	1						2	−1	−3	0


3.	Вычислить определитель четвёртого порядка													1	−1	1	1	, пре-
														2	−3	4	5
														−1	0	1	1

										8x − y − z = 6
4.	Решить методами Крамера и Гаусса СЛАУ x − 2 y + 3z = 2 .
										3x + 4 y + 4z = 11
5.	Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя
третьего порядка					2	0	1	.
					2	0	1
					2	−1	4
					6	− 2	5
6.	Вычислить произведения матриц A B и B T A, если матрица
		2	0	−1					0
		1	− 2						1
A =		1	− 2	1 , а матрица B =					1	.
		− 3	0						5
		− 3	0	− 3					5
										−1 −1			1
7.	Найти матрицу A−1 , обратную к матрице A=										1	2	− 2 .
											−1	2
											−1	2	1

2x − y − z = − 4
8. Решить матричным способом СЛАУ	3x + 2 y − 4z = −5 .
	x + 5y − z = 3

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

I. Основы линейной алгебры

Вариант 3

1.	Вычислить определители				− 4		8	;		1		− 2	− 1	.


										− 3		4	− 2
					2		− 3			1		5	− 3
										1		5	− 3
2.	Решить неравенство	x	x	− 3		1	− 1		x		+ 2x = 10 .


						2	0		1
		4	5			3	4		1
						3	4		1						1	−1	2	0


3.	Вычислить определитель четвёртого порядка														2	1	3 1		, пре-
															4	−2	5	0
															1	1	−2	3

2x − y − 2z = −1

4. Решить методами Крамера и Гаусса СЛАУ x + y + 7z = 9 .

4x + y + 2z = 7

5.Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя

−1 2 − 1

третьего порядка 6					3	2 .
				1	− 2	0
6. Вычислить произведения матриц A B и B T A, если матрица
− 2 − 2			3				4
	− 2	4		, а матрица		B =	1
A=	− 2	4	− 3	, а матрица		B =	1	.
	3	5					− 3
	3	5	0				− 3

	2	0	−1
7. Найти матрицу A−1 , обратную к матрице A=	2	−1	1 .
	−1	2
	−1	2	1

5x + 3y − z = −3

8. Решить матричным способом СЛАУ − x + 4 y + 3z = 8 .

3x + 2 y + 5z = 4

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

I. Основы линейной алгебры

Вариант 4

1.	Вычислить определители			5	7		;	− 4			3	6	.


									0		− 1	− 1
				4	8			− 2			1	− 9
		x	− 1		3			− 2			1	− 9
2.	Решить неравенство					+ 4				3	− 1	+ 6 < 5x .


		4	2		0
		1	− 1		− 3					x	x
		1	− 1		− 3									3	2	0	1


3.	Вычислить определитель четвёртого порядка													2	−1	3	1	, пре-
														2	3	1	2
														4	2	3	5

2x + 2 y − 3z = 1

4. Решить методами Крамера и Гаусса СЛАУ − x + y + z = 1 .

x − 3y + 4z = 0

5.Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя

−4 − 1 − 5

третьего порядка 2					− 1	− 3 .
				1	3	− 1
6. Вычислить произведения матриц A B и B T A, если матрица
4		1	− 6				8
	3	5	− 1	, а матрица			− 1
A =	3	5	− 1	, а матрица		B =	− 1	.
	1	2	− 1				− 6
	1	2	− 1				− 6
								−1		2	1
7. Найти матрицу A−1 , обратную к матрице A=									1	−1	1 .
									0	2
									0	2	−1

2x + y − z = −2

8. Решить матричным способом СЛАУ x + 4 y + 2z = 5 .

x + y + 3z = 3

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

I. Основы линейной алгебры

Вариант 5

1.	Вычислить определители			− 2		− 9			;		2	− 1	2	.


											1	− 2	3
				3		2					− 1	0	1
											− 1	0	1
2.	Решить неравенство	2 + x		1	− x			3		2		− 1	> 1.


								4		2		0
		3	2				− 1			3		− 1
							− 1			3		− 1			2	1	4	1


3.	Вычислить определитель четвёртого порядка														3	0	1	1	, пре-
															−1	2	3	4
															3	1	1	1

											4x + 2 y − 7z = −1
4.	Решить методами Крамера и Гаусса СЛАУ 3x + y + z = 5 .
											5x + 2 y − 6z = 1
5.	Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя
третьего порядка						2	0	5	.
						2	0	5
						5	1	2
						8	2	− 4
6.	Вычислить произведения матриц A B и B T A, если матрица
	− 2		− 1	4						2
		5	0	2						8
A =		5	0	2	, а матрица B =					8	.
		− 1	7	5						1
		− 1	7	5						1

0		−1	1
7. Найти матрицу A−1 , обратную к матрице A=	2	−1	−1 .
	1	−1
	1	−1	2

	3x − y + z = −3
8. Решить матричным способом СЛАУ	x + y − z = −1 .

5x + 4 y − 3z = − 4

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Задания для самостоятельного решения

I. Основы линейной алгебры

Вариант 6

1.	Вычислить определители				2	3	;		6	− 2	9		.


									2	0	4
					6	9			1	1	2
									1	1	2
2.	Решить неравенство	1	x − 3			+ 3		2	x	1		+ 3x = 2 .


								3	4	0
		2		4				1	− 1	2
								1	− 1	2				3	−1	2	4


3.	Вычислить определитель четвёртого порядка													0	2	−1 3		, пре-
														2	1	3	1
														3	1	2	1

x − 2 y − 2z = −3

4. Решить методами Крамера и Гаусса СЛАУ x + 2 y + 2z = 5 .

5x − 4 y − z = 0

5. Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя

третьего порядка					− 1	3	− 2	.
					− 1	3	− 2
					4	− 2	1
					9	5	− 3
6. Вычислить произведения матриц A B и B T A, если матрица
	9	5	1						3
	1	− 1	4						− 2
A =	1	− 1	4	, а матрица B =					− 2	.
	− 1	− 3	2						5
	− 1	− 3	2						5
											1	−1	− 2
7. Найти матрицу A−1 , обратную к матрице A=											2	1	1 .
											1	1
											1	1	0

x − y − z = −3

8. Решить матричным способом СЛАУ 6x − 2 y + 5z = −3 .

5x − y + 7z = 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 437 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.2019336.38 Кб1glava12.doc
#
03.03.20162.83 Mб4GoPRO Диплом(FR).pdf
#
18.11.201899.33 Кб3Grazhdanskoe_pravo_kursovaya.doc
#
03.03.201690.05 Кб7GRU_otvety.docx
#
03.03.2016146.94 Кб2history.doc
#
03.03.20168.13 Mб65IDZ_VysshMatematTerehov.pdf
#
03.03.20164.28 Mб9Ind_zad_SEMESTR_2.doc
#
03.03.2016195.87 Кб25Ind_Zavdannya_z_Strategiyi_P.pdf
#
12.11.20191.27 Mб2Inescapable by Amy A. Bartol (The Premonition #...doc
#
03.03.2016121.34 Кб33infrastr.doc
#
17.11.2019201.73 Кб1ism.doc