IDZ_VysshMatematTerehov

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

поэтому решением этой системы будет xy == 14 .

33.Если два математических выражения соединены знаками “ ≠ ”

(не равно), “ < ” (меньше), “ ≤ ” (меньше или равно), “ > ” (больше), “≥ ”

(больше или равно), то такое математическое предложение называ-

ется неравенством.

34.Неравенства со знаками “ ≠ ”, “ < ”, “ > ” называются строгими, а

остальные – нестрогими.

35.Решением неравенства называется частное значение или область значений неизвестной, при которых неравенство становится истинным.

Классификация неравенств аналогична той, которая принята для алгебраических и трансцендентных уравнений. Прежде, чем рассмотреть методы решения некоторых неравенств, заметим, что при решении некоторых неравенств используется неравенство Ко-

ши для оценки одной из частей заданного неравенства: a + b ≥ 2 ab

(a ≥ 0, b ≥ 0) .

36. Неравенство, которое содержит только полиномы первого порядка, называется линейным (например, ax + b > 0 , a ≠ 0 , (a R,b R) ).

Линейное неравенство решается следующим образом (для определённости выбран знак “ > ”): ax+ b > 0, ax > − b . Если a > 0 , то при

30

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

делении обеих частей неравенства на коэффициент a знак неравенства не меняется x > −b / a . Если a < 0 , то деление обеих частей неравенства на этот коэффициент сопровождается изменением знака не-

равенства на противоположный x < − ba .

Неравенства вида Pn (x) > 0 при n ≥ 2; (знак неравенства “>” вы-

бран для определённости рассуждений) решаются методом интервалов, сущность которого состоит в следующем:

–находят корни xi уравнения Pn (x) = 0 ;

–раскладывают полином Pn (x) на простые множители;

–на каждом интервале ( − ∞; x1 ),...,( xi ; xi+1 ),...( xn ; ∞ ) определяют знак полинома Pn (x) , для чего из интервала берут произвольное число q и вычисляют величину Pn (q) ;

–после чего берут знак величины Pn (q) и пишут его над данным ин-

тервалом;

– по знаку неравенства (знакам “ < ” и “ ≤ ” соответствует знак полинома “–”, а знакам “ > ” и “ ≥ ” – знак “ + ”) выбирают необходимые интервалы.

Пример 36. Решить квадратное неравенство 6x2 − x − 12 ≤ 0 . Решим квадратное уравнение 6x2 − x − 12 = 0 :

Для решения квадратных неравенств, содержащих функцию y = ax2 + bx + c , также важно помнить о расположении параболы относительно оси абсцисс в зависимости от знака коэффициента a при старшей степени неизвестной x и знака дискриминанта D . При a > 0 график функции y = ax 2 + bx + c в зависимости от знака дискриминанта D = b2 − 4ac расположен относительно оси абсцисс так, как показа-

31

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

но ниже на соответствующих рисунках (рядом с рисунками приведены решения соответствующих неравенств):

При a < 0 график функции y = ax2 + bx + c в зависимости от знака дискриминанта D расположен относительно оси абсцисс так (рядом с рисунками приведены решения соответствующих неравенств):

Пример 37. Решить квадратное неравенство 2x2 + x + 3 < 0 .

В этом неравенстве a = 2 > 0 , а дискриминант D = 12 − 4 2 3 = −23 < 0 . Для данного неравенства реализуется вариант 1) случай в), следовательно, неравенство решений не имеет: x R .

Пример 38. Решить квадратное неравенство − x2 + 2x − 3 ≤ 0 . Для данного неравенства a = −1 < 0 , а дискриминант

D = 22 − 4 (−1) (−3) = 4 − 12 = − 8 < 0 ,

значит по варианту 4) случай г) решением неравенства является множество вещественных чисел: x R .

37. Дробно-рациональным уравнением называется уравнение, кото-

рое обязательно содержит отношение полиномов.

Для решения таких уравнений надо уметь приводить дроби к

32

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

общему знаменателю и помнить о том, что выражения, стоящие в знаменателях дробей, не должны обращаться в 0 (см. ОДЗ).

Разложим знаменатель первой дроби на сомножители 3x2 −12 = 3(x − 2)(x + 2) , а знаменатель второй дроби представим в виде 2 − x = −(x − 2) и в силу этого из-

меним знак перед второй дробью на противоположный, тогда становится очевидным, что знаменатель первой дроби является наименьшим общим знаменателем для всех дробей

телю его можно отбросить, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю.

Приведём подобные члены и решим квадратное уравнение

6 − x − 6x − 12 − 3x2 − 12 = 0; 3x2 + 7x − 6 = 0. D = 49 + 72 = 121 > 0, D = 11,

38. Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее корни одной или различных степеней.

При решении таких уравнений надо помнить о том, что выра-

жение, стоящее под корнем чётной степени, должно быть неотрицательным, а сам корень чётной степени не может быть равен отрицательному выражению.

Рассмотрим на примерах методы решения иррационального уравнения:

А) уединение корня и возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень.

Пример 40. Решить иррациональное уравнение 2 x − 3 + 1− x = 2.

Данный пример иллюстрирует важность правильного нахождения ОДЗ.

Запись ОДЗ в указанном виде является самой распространённой ошибкой.

Напомним, что решением системы (в том числе и неравенств) является пере-

сечение, а не объединение множеств, следовательно, в этом случае правильное ОДЗ: x R , т.е. исходное уравнение решения не имеет.

33

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Пример 41. Решить иррациональное уравнение x + 1 + 1 − 3x = −1.

Данный пример оттеняет тот факт, что сумма неотрицательных величин не равна отрицательному числу. Чётные радикалы x +1 ≥ 0 и 1− 3x ≥ 0 , сле-

довательно, их сумма является положительной величиной, поэтому x R . Пример 42. Решить иррациональное уравнение x − 5 + 10 − x = 3 .

Этот пример показывает важность постоянного контроля неотрицательности выражения, к которому приравнивается корень чётной степени.

Оставим один из корней, например, первый x − 5 в левой части уравнения, а другой корень 10 − x перенесём в правую часть уравнения

x − 5 = 3 − 10 − x .

корень в левую часть уравнения для того, чтобы перед ним стоял знак "+", а остальные члены соберём в правой части уравнения

6 10 − x = 24 − 2 x или 3 10 − x = 12 − x .

В правой части уравнения стоит выражение 12 − x , которое при определённых значениях неизвестной x может стать отрицательным, однако в найденном ОДЗ оно положительно. Вновь возведём обе части уравнения в квадрат

(снова возникает опасность появления посторонних корней)

(3 10 − x )2 = (12 − x )2 ; 9 (10 − x) = 144 − 24x + x2

или после преобразований

x2 − 15x + 54 = 0 ; D = (−15)2 − 4 1 54 = 225 − 216 = 9 > 0 ; D = 3 .

Пример 43. Решить иррациональное уравнение x − x + 1 = 1.

Приведенный пример показывает опасность появления лишних корней при возведение чётных корней в соответствующую степень.

Выпишем ОДЗ: x + 1 ≥ 0 ; x ≥ −1. Уединим квадратный корень x + 1 = x − 1. За-

пишем дополнительное условие, связанное с требованием неотрицательности выражения x −1, к которому приравнивается чётный корень: x−1≥ 0; x ≥ 1. Накладывая дополнительное условие на основное ОДЗ, получим:

34

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Отсюда x1 = 0 ОДЗ; x2 = 3 ОДЗ.

Б) группировка применяется при наличии в заданном уравнении чётного числа корней одинаковой степени, которые собираются по частям уравнения так, чтобы после возведения в необходимую степень уравнение приобрело бы более простой вид.

Пример 44. Решить иррациональное уравнение 3x+8 − 3x + 5 = 5x − 4 − 5x − 7 .

На этом примере показана значимость предварительного анализа заданного примера для выбора правильного метода его решения.

Проанализируем данное уравнение: группировка корней 3 x + 8 + 5 x − 7 и

3 x + 5 + 5 x − 4 приводит к тому, что при возведении в квадрат указанных

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим

В) введение вспомогательной неизвестной для упрощения выраже-

ния, которое стоит под знаком корня, или для замены самого корня с целью изменения формы записи самого уравнения.

Пример 45. Решить иррациональное уравнение x − 2 x −1 + x + 3 − 4 x −1 =1.

Прежде, чем записать ОДЗ, упростим уравнение путём введения новой неизвестной x − 1 = t ≥ 0 , тогда x − 1 = t 2 , x = t 2 + 1 . Подставим в уравнение x = t 2 + 1

и x − 1 = t , получим t 2 + 1− 2t + t2 + 1+ 3 − 4t = 1; t2 − 2t +1 + t2 − 4t + 4 = 1. За-

метим, что под корнями стоят полные квадраты

t2 − 2t +1= (t −1)2 и t 2 − 4t + 4 = (t − 2)2 .

Извлечение квадратных корней из этих выражений (t −1)2 = t −1 и (t − 2)2 = = t −2 , приводит к уравнению с модулями t − 1 + t − 2 = 1 , которое будет ре-

35

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

шено ниже. Данный пример показывает, что введение новой неизвестной существенно упрощает не только форму записи уравнения, но и вид самого ОД З: x − 1 ≥ 0; x ≥ 1 также упрощается по сравнению с тем, как оно было бы запи-

x ≠ 0; x− 1 ≥ 0

Запишем ОДЗ: x . Решим второе неравенство, которое после приве-

1− 1 ≥ 0

x

Это уравнение является распадающимся, то есть эквивалентно совокупности

36

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике