Для формирования управляющего воздействия используются взвешенные сигналы обратной связи с информацией о состоянии объекта. Система является нестационарной. Заметим, что если время управления не ограничено, то система оказывается стационарной. Действительно, при t → ∞ имеем С = 0 и, следовательно, k(t) = k1 .

Непрерывное ДП позволяет получать оптимальный закон управления объектом в функции переменных состояния, т.е. проводить синтез системы. Недостаток метода – необходимость решать нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Функция S(x) должна иметь частные производные по всем

переменным.

7.3.Принцип максимума Понтрягина

7.3.1.Постановка задачи. Формулировка принципа максимума. Принцип максимума – это метод оптимизации, разработанный специально для задач оптимального управления, в которых управляющие воздействия ограничены и описываются кусочно-непрерывными функциями. Принцип максимума разработан группой учёных под руководством академика Понтрягина Л.С. в 1956 г. Этот метод обоснован как необходимое условие оптимальности для нелинейных систем и как необходимое и достаточное условие для линейных. Задача формулируется следующим образом.

Пусть ОУ описывается системой уравнений

или, в векторной форме x& = f (x,u), где xT =[x1,..., xn ] – вектор переменных состояния системы, uT =[u1,...,ur ] – вектор управляющих воздействий.

Управление u(t) принадлежит ограниченной замкнутой области U r-мер- ного пространства управлений, а координаты x(t) принадлежат хотя и ограни-

ченной, но открытой области X n-мерного пространства состояний, т.е. u(t) U , x(t) X .

Требуется из класса кусочно-непрерывных управлений, принадлежащих области U (допустимые управления), выбрать такое управление, которое переводит объект управления из заданного начального состояния xi (t0 ) в конечное

xi (t1) (i = 1,..., n) и минимизирует функционал

134

Будем полагать, что функции fi (x,u) определены и непрерывны по совокуп-

ности переменных x, u вместе со своими частными производными ∂fi . Для удоб-

∂xi

ства решения задачи вводится дополнительная переменная x0 такая, что

Здесь f0(x,u) – подынтегральная функция функционала (7.46). Присоединив (7.47) к исходной системе уравнений (7.45), получим систему из n+1 уравнений

правые части которой не зависят от x0 .

С учётом (7.47) функционал J можно рассматривать как конечное значение переменной x0 :

и сформулированная выше задача сводится к задаче о достижении экстремума конечного значения координаты x0 .

Прежде чем перейти к формулировке принципа максимума, введём понятие о вспомогательных переменных Ψ0 (t),Ψ1(t),...,Ψn (t), которые определяются систе-

мой линейных однородных уравнений:

Системы уравнений (7.48) и (7.50) можно объединить одной формой записи, вводя в рассмотрение вспомогательную функцию

n

H (Ψ, x,u) = ∑Ψi (t) fi (x,u) . (7.51)

i =0

Определив частные производные функции H по Ψi и xi с учётом (7.48), (7.50) и (7.51) найдём, что

функцией только управления u. Уравнения вида (7.52) и (7.53) носят название канонически сопряжённых и совпадают по форме с каноническими уравнения Гамильтона, известными из теоретической механики. В связи с этим функцию H называют функцией Гамильтона, или гамильтонианом.

Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т.е. для получения минимума функционала J (7.46), необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций Ψ0 (t),Ψ1(t),...,Ψn (t), что при любом t [t0 ,t1 ] , функ-

ция H как функция переменных u1,u2 ,..., ur в заданной области их допустимых

янны во времени и Ψ0 (t) ≤ 0, max H = 0 .

u U

Таким образом, для получения оптимального процесса нужно в любой момент времени t [t0 ,t1] выбирать такое управление, чтобы величина H была мак-

симальной, причём в течение всего времени оптимального управления max H = 0 ,

ueU

а переменная Ψ0 (t) постоянна по величине и неположительна.

Особенностью принципа максимума является то, что вариационная задача определения управления u(t) , минимизирующего функционал J, заменяется задачей

математического анализа определения параметра u, доставляющего максимум вспомогательной функции H (u) . Отсюда происходит и название метода – прин-

цип максимума.

7.3.2. Алгоритм расчёта оптимального управления с помощью принципа максимума.

1-й шаг. Уравнения объекта представляются в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (7.45) с учётом уравнения (7.47) для дополнительной координаты

x&i = fi (x, u), i = 0,1,...,n .

2-й шаг. Составляется функция H:

n

H= ∑Ψi (t) fi (x,u).

i=0

3-й шаг. Определяется значение u , максимизирующее функцию H , из сис-

136

темы уравнений

Внекоторых случаях это равенство не выполняется при ненулевой функции

Ψ(t) , тогда максимум H достигается на границе допустимой области управления.

4-й шаг. Составляются уравнения для определения Ψi (t) :

уравнений (7.54), n +1 уравнений исходной системы и n +1 уравнений для функции Ψi (t) . Из совместного решения перечисленных 2n + 2 + r уравнений нахо-

дится оптимальное управление.

Пример 7.5. Объект управления описывается уравнением x& = T1 (ku − x) . Оп-

t1

ределить алгоритм управления, который минимизирует функционал J = ∫ xdt , ес-

0

ли известны начальные и конечные состояния объекта, а управляющее воздействие u ограничено, т.е. u ≤Umax .

1-й шаг. Система уравнений, включающая дополнительную переменную имеет вид

x&o = x,

x& = 1 (ku − x).

T

2-й шаг. Составим функцию H = Ψ0 x + Ψ1 T1 (ku − x) .

3-й шаг. Определить управление u, минимизирующее H. Для этого приравняем нулю частную производную

∂∂Hu = Tk Ψ1(t) = 0 .

Это условие удовлетворяется только при Ψ1(t) = 0 . Однако в формулировке принципа максимума требуется существование ненулевой функции Ψ1(t) . Отсю-

137

да следует, что значение u, максимизирующие H, следует брать на границах, т.е. u = +Umax или u = −Umax . Очевидно, что при Ψ1(t) > 0 следует брать u = +Umax , а при Ψ1(t) < 0 необходимо u = −Umax . Этот закон управления можно записать сле-

дующим образом:

u =Umax SignΨ1(t) .

Символ Sign означает операцию смены знаков, т.е. переключение релейного

Так как функция Ψ1(t) может менять знак не более одного раза, то опти-

мальное управление представляет собой кусочно-постоянную функцию, принимающую предельные значения −Umax или +Umax и имеющую не более двух ин-

тервалов постоянства (рис. 7.10).

138