Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Мотс 2.pdf
Скачиваний:
38
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.96 Mб
Скачать

1.37.

 

 

1.38.

 

 

 

 

F (x) = 2x1 + 3x2 + 4x3 (max),

F (x) = x1 + 2x2 + x3 3x4 (max),

x1 + 2x2 + x3 7,

x1 + 2x2 + x4 8,

2x1

x2 + 3x3

10,

2x1

+ x3

=11,

4x1

+ 2x2 + x3

15,

4x1

+ x2

10,

xi

0, i =1,2,3.

x 0, i =

 

 

1,4.

 

 

 

i

 

 

 

 

Задание 2. Нелинейное программирование

В каждой из задач под номерами 2.1 – 2.34 приведены квадратичная функция цели F (x) и система линейных ограничений, определяющая область

допустимых значений переменных задачи максимизации. Выполнить следующие действия:

1.Построить область допустимых значений переменных. Внутри области выбрать точку x0, которая в дальнейшем будет являться начальной в процессе поиска экстремума.

2.Найти максимальное значение функции F (x) без учета ограничений на

переменные, используя а) метод наискорейшего спуска;

б) метод Ньютона-Рафсона.

Оптимизационный процесс начинать с выбранной точки x0.

3. Найти максимальное значение функции F (x) с учетом системы огра-

ничений задачи, используя а) метод допустимых направлений Зойтендейка;

б) метод линейных комбинаций; в) условия теоремы Куна–Таккера.

Оптимизационный процесс в пунктах а) и б) начинать с выбранной точки x0.

2.1.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

F(x) =−5x1 +7x2 3x12 x22 +2x1x2,

F (x) = 2x1 3x2 2

x1

 

x2

 

+

2

x1 x2

,

 

x1 3, x2 6,

 

 

 

3x1

+ x2

 

3,

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

x1 + 2x2

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.

x1 0,

x2

 

0.

 

 

 

 

 

 

2.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) = 6x

+ 3x

2

4x

x

2

2x 2

3x

2

,

F(x) = −x 2

2x + 3x x

4x

2

+15x ,

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

2

 

1

1

1

2

2

2

 

2x1 + 3x2

 

6,

 

 

 

 

 

 

 

6x1 + 3x2

10,

 

 

 

x1 + x2 1,

 

 

 

 

 

 

 

x1 + x2 4,

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5.

F ( x) = 3 x1 2 + x 2 2 3 x1 x2 + x1 + x2 ,

3 x1 + x2 6,

x 2 x1

1,

x1 0,

x2 0.

2.7.

F (x) = 3x

+ x

2

 

+ 3x 2

+ 4x x

+ 4x

2

2

,

1

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

x1 + x2 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x) = −2x

+ 9x

2

x 2

4x

2

+ 3x x

2

,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

x1 x2 < 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

 

x2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.11.

 

 

 

 

 

2x 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

F (x) = 3x 7x

2

3x

2

+ 2x x

2

,

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

5x1 + 2x2 10,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 + x2 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) = −x

1

+ 6x

2

2x

2 3x

2

+ 4x

1

x

2

,

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4x1

 

+ 3x2 12,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

2.15.

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

2

 

 

 

 

 

 

F (x) =14x

+10x

2

x

2

x x

2

,

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

3x1 + 2x2 6,

x2 + x1 4,

x1 0, x2 0.

2.6.

F (x) = 3x 2

2x x

2

+ x

2

+ 7 x + 6x

2

,

1

1

 

2

1

 

 

x1 + x2 2,

 

 

 

 

x1 + 2x2 4,

 

 

 

 

x1 0,

 

x2 0.

 

 

2.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( x) = ( x 2) 2 + ( x + 4 x

2

) 2

,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + x2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + 3x2

6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

 

x2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.10.

11

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

F(x) =

x

x

 

x

2

x

 

2

+

x x

 

,

 

 

2

 

 

2

 

2

2

1

 

6

 

 

 

1

 

3

 

2

 

1

 

 

 

 

 

2x1 x2 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 +2x2 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.12.

 

 

 

x1 0,

 

 

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x) = −x

2 x

2

2 + x x

2

+ 7x

 

,

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x1 + x2 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

0,

 

 

 

x2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( x) = 4 x1 2 + 8x2 + 3x2 2 + 5x1 x2 ,

 

 

 

3x1

+ 6 x2

18,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

4 x2

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

0,

 

 

 

x2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2x

 

2 + x x

 

 

F (x) = −x

 

+

5x

2

 

x

2

2

,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x1 + x3 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

 

 

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

2.17.

F (x) = −6x

+18x

2

2x 2 3x

2

+ x x

2

,

1

 

1

2

1

 

 

2x1 x2 2,

 

 

 

 

 

3x1 + 4x2 12,

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

2.19.

F (x) = 24x + 14x

2

2x

2 3x

2

4x x

2

,

1

 

 

1

 

2

1

 

2x1 + 4x2

9,

 

 

 

 

 

x1 2x2

4,

 

 

 

 

x1

0,

x2

0.

 

 

 

 

2.21.

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

2 + x x

 

 

 

 

F(x) =10x 8x

2

2x

2

2

,

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

x1 + x2 ≤ −3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 +5x2 20,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.23.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) = 4x + 4x

2

3x 2

x

2

+ 2x x

2

,

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

 

1

 

 

 

3x1 + 4x2

12,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 2x2

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.25.

 

 

 

 

 

 

2 x

 

2 2x x

 

 

F (x) =18x +

12x

2

2x

2

2

,

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

x1 + x2 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 + x2 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

 

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.27.

 

 

 

 

x 2

 

 

 

2 + 2x x

 

 

 

F (x) = 2x + 2x

2

2x

 

2

,

 

1

 

 

 

 

1

 

 

2

1

 

 

 

 

 

x1 + x2 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 + 4x2 12,

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

 

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.18.

F(x) = x

+ 10x

2

+ x 2

+ 3x

2

x x

2

,

1

 

1

 

2

1

 

 

2x1 + 3x2 6,

 

 

 

 

 

2x1

+ x2

1,

 

 

 

 

 

x1 0,

x2

0.

 

 

 

 

2.20.

F ( x) = 23 x2 x1 2 2 x2 2 + 2 x1 x2 , 5x1 + 4 x2 20,

x1 x2 2, x1 0, x2 0.

2.22.

F (x) = 5x

2

7x

+ 9x

2

+ 6x x

2

+ 2x

2

,

 

 

 

1

 

 

2

 

 

1

 

 

1

 

 

 

3x1 + 2x2

6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + x2 7,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2

0.

 

 

 

 

 

 

 

2.24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( x) = 8 x1 + 6 x 2 2 x1 2 x 2 2 ,

 

 

 

 

3 x1 + 2 x2

6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + x 2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

0,

x 2

0.

 

 

 

 

 

 

 

2.26.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( x) = 8 x1 + 12 x2 x1 2 2 x2 2 ,

 

 

 

 

2 x1 + x2

 

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x1 + 5 x2

 

10 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2

0.

 

 

 

 

 

 

 

2.28.

 

 

 

2x 2 3x

2

 

 

 

 

 

 

 

F (x) =12 x

2

+ 2x x

2

,

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

x1 + 2x2 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 0,

x2 0.

 

 

 

 

 

 

 

8

2.29.

2.30.

3

 

 

 

F ( x) = 11x1 3x2 x12 4 x2 2 + x1 x2 ,

2

2

+ 2 x1 x2

,

2 x1 x2 2,

F ( x) = 6 x1 x2

2

x1

3 x1 + 2 x2

0,

 

 

x1 + 2 x2 4,

 

 

4 x1 + 3 x2 12 ,

 

 

x1 0, x2 0.

x1 0,

x2 0.

 

2.31. 2.32.

F ( x) = 3x1 2x2 x1 2 x2 2 + x1 x2 ,

F ( x) = 8x2 x1 2 3x2 2 + 2x1 x2 ,

x1 + x2 3,

2x1 + x2 2,

 

 

 

x1 x2 1,

x1 + x2 5,

 

 

 

x1 0,

x2 0.

x1 0,

 

x2 0.

 

 

2.33.

 

2.34.

 

x 2

 

2

 

F ( x) = −5 x1 + 6 x 2 x1 2 3 x 2 2 + x1 x 2 ,

F ( x) = 12 x + 4 x

2

3x

,

x1 x 2 1,

1

1

 

2

 

x1 + x2 6,

 

 

 

3 x1 + 5 x 2 15 ,

x1 + x2 ≤ −1,

 

 

 

x1 0,

x 2 0.

x1 0, x2 0.

 

 

 

Задание 3. Математическое описание линейных систем

Передаточная функция W(s) линейной системы имеет вид:

W (s) =

b s2

+ b s + b

 

.

2

1

0

 

s2 + a

s2 + a s + a

0

 

2

 

1

 

Значения коэффициентов аj и bj определяются табл. 1 в соответствии с номером варианта задачи.

Выполнить следующие задания:

1.Записать дифференциальное уравнение системы.

2.Найти корни характеристического уравнения системы.

3.Вычислить импульсную переходную характеристику w(t).

4.Построить ЛАЧХ, ФЧХ и АФЧХ системы.

5.Записать уравнения состояния системы, имеющей передаточную функцию W(s), заданную в стандартной и нормальной форме.

6.Изобразить блок-схему модели системы, представленной уравнениями состояния в стандартной и нормальной форме.

7.Найти решение уравнений состояния у(t) для обоих случаев, если

y(0) = C , y&(t) = &y&(t) = 0 .

9

Таблица 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

варианта

a2

9

12

15

21

18

24

27

8

10

14

12

14

16

15

14

16

18

14

13

a1

26

47

74

146

107

191

242

17

27

56

39

53

69

54

59

76

95

63

54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

24

60

120

336

210

504

720

10

18

64

28

40

54

40

70

96

126

90

72

b2

8

6

3

2

1

0

0

2

7

2

2

2

2

0

1

4

2

3

1

b1

2

3

2

4

2

2

7

4

8

3

3

4

8

2

3

7

6

1

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b0

4

2

1

3

5

5

6

6

8

9

8

6

10

5

6

5

3

4

5

c

5

4

3

6

4

1

3

2

4

3

5

7

7

2

1

3

4

8

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

варианта

a2

18

18

9

20

20

17

19

15

28

28

27

22

21

19

21

19

19

21

22

a1

99

101

23

124

127

80

104

68

257

255

236

145

134

111

134

108

96

128

151

a0

162

168

15

240

252

100

170

96

770

756

672

264

264

189

240

180

144

240

330

b2

0

1

2

0

0

0

7

1

2

0

1

1

1

4

1

3

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

8

5

4

3

2

6

5

2

4

3

1

2

2

1

2

5

3

4

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b0

7

6

8

4

5

6

8

5

6

5

2

3

3

2

3

6

7

1

2

c

2

1

4

1

2

3

4

5

3

7

8

6

4

3

5

9

8

2

5