Следовательно, в точке x1 = [3, 3] функция F(x) достигает максимального значения Fmax = 45.

4.2.8. Метод Левенберга-Марквардта. Рассматриваемый метод является комбинацией метода наискорейшего спуска и метода Ньютона, в которой удачно сочетаются положительные свойства обоих методов. Направление поиска опре-

деляется равенством S k = −[H k + αk I ]−1 F(xk ) . При этом параметр α позволяет не только изменять направление поиска, но и регулировать длину шага. На на-

чальной стадии поиска параметру α0 присваивается достаточно большое значение (например, 104), так что

Таким образом, большим значениям α0 соответствует направление поиска S0,

совпадающее с направлением – F(x0). При уменьшении величины α до 0 S будет изменяться до направления, определяемого по методу Ньютона. Если в ре-

зультате первого шага F(x1 ) ≤ F(x0 ) , следует выбрать α1 < α0 и реализовать ещё

один шаг, в противном случае следует увеличить α0 , т.е. положить, что α0 = βα0 , где β ≥1, и вновь реализовать предыдущий шаг.

Метод характеризуется относительной простотой, свойством убывания целевой функции при переходе от итерации к итерации, высокой скоростью сходимости в окрестности точки минимума, а также отсутствием процедуры поиска величины шага вдоль направления. Этот метод широко используется при решении задач, в которых функция F(x) записывается в виде суммы квадратов, т.е.

F(x) = F12 (x) + F22 (x) +... + Fm2 (x) .

4.2.9. Установка метода оптимизации в пакете MATLAB. Установка ме-

тода оптимизации осуществляется функциями FMINU, FMINS и LEASTSQ. Вектор управляющих параметров options содержит 18 компонент и предназначен для настройки алгоритмов оптимизации.

Функция FMINU и одно из значений options(6) используются для реализации следующих методов:

1)по умолчанию (options(6) = 0) – метод Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno;

2)при options(6) = 1 – метод Davidon-Fletcher-Powell;

3)при options(6) = 2 – метод Steepest Descent (наискорейшего спуска), функция FMINS используется для реализации неградиентного симплекс-метода;

4)метод Nelder-Mead.

Функция LEASTSQ и одно из значений options(5) используются для реализации методов:

79