- •РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Тема 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Основные понятия и определения. Постановка задачи
- •Тема 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •2.2. Определение выпуклости функций
- •2.3. Типы задач математического программирования
- •2.4. Связь между задачей математического программирования
- •Тема 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •3.3. Симплекс-метод решения задач ЛП
- •3.4. Симплекс-таблицы
- •3.5. Метод искусственного базиса
- •3.6. Информационные технологии линейного программирования
- •3.7. Двойственная задача линейного программирования
- •3.8. Двойственный симплекс-метод
- •3.9. Целочисленное линейное программирование
- •3.9.1. Алгоритм Гомори для полностью целочисленной задачи ЛП.
- •3.9.2. Алгоритм Гомори для частично целочисленной задачи.
- •3.9.3. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач ЛП.
- •Тема 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ
- •4.1. Одномерная минимизация унимодальных функций
- •4.1.1. Метод Фибоначчи.
- •4.1.2 Метод золотого сечения.
- •4.1.3. Методы с использованием производных.
- •4.1.4. Методы полиномиальной аппроксимации.
- •4.2.2. Градиентные методы. Метод наискорейшего спуска.
- •4.2.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэла (ДФП) (метод переменной мет-
- •4.2.6. Обобщенный градиентный алгоритм.
- •4.2.7. Метод Ньютона.
- •4.2.9. Установка метода оптимизации в пакете MATLAB.
- •Тема 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
- •5.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •5.2. Теорема Куна-Таккера
- •5.3. Квадратичное программирование
- •5.4. Метод допустимых направлений Зойтендейка
- •6.1. Метод линейных комбинаций
- •6.2. Метод отсекающих плоскостей Кэлли
- •6.3. Сепарабельное программирование
- •ТЕМА 7. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ
- •7.1. Дискретное динамическое программирование
- •7.3. Принцип максимума Понтрягина
- •7.3.1. Постановка задачи. Формулировка принципа максимума.
- •7.3.3. Принцип максимума в задачах о максимальном быстродействии.
- •7.4.1. Определение моментов переключения.
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Содержание
- •Лабораторная работа № 1
- •Лабораторная работа № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 4
- •ЗАДАНИЯ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ
- •Задание 1. Линейное программирование
- •Задание 2. Нелинейное программирование
- •Задание 3. Математическое описание линейных систем
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики
и радиоэлектроники»
Кафедра систем управления
А.В. Павлова
ЗАДАНИЯ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ
по курсу «Математические основы теории систем» для студентов специальности I-53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах»
Минск 2006
Курсовая работа
Курсовая работа включает в себя два задания, соответствующие разделу «Методы оптимизации», и выполняется в 6-м семестре. Решение задач должно сопровождаться подробными пояснениями. Там, где это необходимо должна быть выполнена графическая интерпретация решения.
Задание 1. Линейное программирование
Под номерами 1.1 – 1.38 приведены условия задач линейного программирования. Необходимо последовательно выполнить следующие действия:
1.Найти оптимальный план x и экстремальное значение функции F(x).
2.Построить задачу, двойственную к исходной, решить ее и сравнить решения прямой и двойственной задач.
3.Если решение задачи не является целочисленным, получить целочисленное решение путем введения дополнительных ограничений по методу Гомори.
1.1.
F ( x) = −x1 + 4 x2 + 3x3 − 5x4 + 2 x5 (max), 4 x1 + 3x2 + 2 x3 − 2 x4 − x5 ≤ 12,
5x1 − x2 + 4 x3 − x4 ≥ 10, 2 x2 + 3x5 ≤ 15,
xi ≥ 0, i = 1,5.
1.3.
F (x) = x1 +3x2 + 2x3 + x4 (max), x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
− x1 +3x2 + 2x3 + x4 =13, xi ≥ 0, i =1,4.
1.5.
F ( x) = −5x1 − x2 + 3x3 − x4 (max), x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 7,
3x2 − x3 + 4x4 ≤ 7, x2 + x3 + 8x4 ≤12,
xi ≥ 0, i =1,4.
1.2.
F ( x) = −x1 + 2 x2 + x3 + x4 (max),
− 2 x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 2,
x1 − 2 x2 + x3 − x4 ≥ 3, x1 − x3 ≤ 4,
xi ≥ 0, i = 1,4.
1.4.
F ( x) = x1 + 5x2 |
+ 4 x3 + 2 x4 (min), |
||
− 4 x1 + x2 + x3 + 2 x4 ≥ 6, |
|||
2 x2 + x3 |
+ 3x4 ≥ 10, |
||
xi ≥ 0, |
i = |
|
|
1,4. |
1.6.
F (x) = 8x1 − x2 |
− 3x3 |
+ x4 (max), |
|||
− x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 4, |
|||||
2x1 |
+ x3 |
− 3x4 |
≤ 3, |
||
3x1 |
− x3 |
+ 6x4 |
≤ 6, |
||
xi ≥ 0, |
i = |
|
|
||
1,4. |
2
1.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) = 9x1 + 5x2 + 2x3 − x4 (max), |
F (x) = x1 + 7x2 + 2x3 + x4 (max), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3x1 + 4x2 + x3 ≤12, |
|
6x1 + 3x2 + x3 + x4 ≤ 20, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2x1 + 3x2 + x3 |
+ 5x4 ≥17, |
4x1 |
+ 3x2 |
+ x4 |
≤12, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x1 − |
3x2 + x4 = 3, |
|
3x1 |
− 2x2 |
|
+ x3 |
≤ 6, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
xi |
≥ 0, i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
≥ 0, |
|
i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1,4. |
|
|
1,4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) = x1 + 3x2 − x3 + 2x4 (min), |
F(x) = 4x1 + 3x2 + 4x3 + x4 − x5 (max), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 4, |
|
x + 2x |
2 |
+ x − x |
4 |
|
|
=8, |
|||||||||||||||||||||||||
3x1 − x2 + x3 − x4 ≥3, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2x + x |
2 |
− 2x |
|
− 2x |
|
=14, |
||||||||||||||||||||||||||
x1 − x3 + 2x4 ≤ 7, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
− x |
|
|
2x |
4 |
= |
|
8, |
|
||||||||||||||||||||||
xi ≥ 0, i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1,4. |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
≥ 0, |
|
i = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5. |
|
|
||||||||||||||||||||||
1.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) = 2x1 +12x2 +10x3 +3x4 (min), |
F (x) = −2x1 + x2 − x3 +3x4 (min), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
−8x1 +8x2 +5x3 ≥ 4, |
|
3x1 + 2x2 + x4 + x5 =18, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x1 + 2x2 − 4x3 + x4 ≥ 5, |
x1 −2x2 +3x3 ≥ −8, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
xi |
≥ 0, |
i = |
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, |
|
i = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1,4. |
|
|
1,5. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( x) = x1 − 3x2 − 2 x3 − 3x4 (max), |
F (x) = 6x1 + 4x2 + 7 x3 + 5x4 (max |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 − 5x2 + 3x3 + 3x4 |
≤ −1, |
2x1 + x2 + x3 + 3x4 ≤ 30, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x1 + 2 x2 + 3x3 − x4 |
≤ 2, |
3x1 + x2 + 2x3 + 3x4 ≤ 20, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
xi ≥ 0, |
|
i = |
|
. |
|
|
|
xi |
|
≥ 0, |
|
|
i = |
|
. |
||||||||||||||||||
|
1,4 |
|
|
|
|
|
|
1,4 |
1.15.
F(x) = x1 +2x2 + x3 +3x4 −2x5 (max), x1 +7x2 −x3 +7x4 −8x5 ≤9,
x2 +8x3 +9x4 +7x5 ≤ 25, 2x2 +3x3 + x4 + x5 ≥3,
xi ≥0, i =1,5.
1.16.
F(x) = x1 + x2 + x3 + x4 −x5 (min), x1 + x2 +2x3 = 4,
−2x2 −2x3 + x4 −x5 = −6, . x1 −x2 +6x3 + x4 =12,
xi ≥0, i =1,5.
3
1.17.
F (x) = x1 + x2 + x3 + x4 (max), x1 + 3x2 + x3 + 2x4 ≥ 3,
x1 + x2 − x3 + x4 ≥1, x1 − x2 + x3 + x4 ≤1,
xi ≥ 0, i =1,4.
1.19.
F ( x ) = 2 x1 + x 2 + 5 x3 + 8 x 4 (min), 5 x1 + 4 x 2 + 3 x3 − x 4 ≤ 10 ,
2 x1 + x 2 + 4 x3 + 8 x 4 = 3, xi ≥ 0, i = 1,4 .
1.21.
F ( x ) = 4 x1 + 2 x 2 |
+ x 3 + 5 x 4 (min), |
||
x1 + 2 x 2 − 4 x 3 + x 4 ≥ 6, |
|||
− x1 + 3 x 2 + 2 x 4 ≥ 4, |
|||
x i ≥ 0, |
i = |
|
. |
1,4 |
1.23.
F ( x) = −2x1 + 3x2 + x3 (max), x1 + x2 + x3 ≥ 6,
−2x1 + 3x2 + 3x3 ≤ 7,
−2x1 − x2 + 2x3 ≤ 4,
xi ≥ 0, i =1,2,3.
1.25.
F ( x) = 3x1 + 8x2 + 5x3 (max), x1 + 3x2 ≤ 4,
x1 + 2x3 ≤ 7,
x1 + 3x2 + 2 x3 ≤12, xi ≥ 0, i =1,2,3.
4
1.18.
F (x) = 2x1 + x2 + 3x3 + x4 (max), x1 + x2 + 2x3 + x4 = 5,
3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 9, x2 + x3 + 2x4 ≤ 6,
xi ≥ 0, i =1,4.
1.20.
F ( x) = 2 x1 + 4 x2 |
+ 5 x3 + x4 (min), |
||
x1 − x 2 + 2 x3 + x 4 ≥ 8, |
|||
3 x1 + 4 x3 ≥ 5, |
|||
xi ≥ 0, |
i = |
|
. |
1,4 |
1.22.
F ( x) = 13 x1 − 9 x2 |
+ 2 x3 + 3 x4 (max), |
||
x1 − x2 + x4 − 3 x3 ≤ 2, |
|||
4 x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 8, |
|||
xi ≥ 0, |
i = |
|
|
1,4. |
1.24.
F ( x) = 5x1 + 3x2 + 4 x3 (max), x1 + x2 + x3 ≤ 8,
3x1 − x2 + 2 x3 ≥10, x1 + 2x2 + 3x3 ≥12,
xi ≥ 0, i =1,2,3.
1.26.
F ( x) = 4x1 + 9 x2 + 2x3 (min), 2x1 + 3x2 + 2x3 ≥14,
x1 + 3x2 + x3 ≥ 6, 5x1 + 9x2 + 2 x3 ≥ 20,
xi ≥ 0, i =1,2,3.
1.27.
F (x) = 4x1 + 3x2 −10x3 + 5x4 (min), x1 + x2 − 5x3 − x4 ≥8,
2x1 + x3 + x4 ≥ −2,
−x2 − 3x3 + 6x4 ≥ 4, xi ≥ 0, i =1,2,3.
1.29.
F (x) =10 x1 + 2x2 + 5x3 (min), 5x1 + x2 +10 x3 ≥ 6,
2x1 +14 x2 − x3 ≥1, x1 + 2x2 + x3 ≥ 2,
−3x1 + x2 + 5x3 ≤ 4, xi ≥ 0, i =1,2,3.
1.31.
F (x) = x1 +10x2 − x3 + 5x4 (max), x1 + 2x2 − x3 − x4 = 2,
− x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 2, x1 + 5x2 + x3 − x4 = 5,
xi ≥ 0, i =1,4.
1.33.
F ( x) = 3x1 + 5x2 + 4 x3 (max), 3x1 + 4 x2 + 2 x3 ≤ 9,
2 x1 |
+ 5x2 + x3 |
≤ 8, |
x1 + 2 x2 + 4 x3 |
≥ 7, |
|
xi |
≥ 0, i = 1,2,3. |
1.35.
F (x) =12x1 + 27x2 + 6x3 (min), 2x1 + 3x2 + 2x3 ≥14,
x1 + 3x2 + x3 ≥ 6, 6x1 + 9x2 + 2x3 ≥ 22,
xi ≥ 0, i =1,2,3.
1.28.
F (x) = 5x1 − 4x2 + 6x3 (max), x1 + x2 + x3 ≤ 6,
2x1 − x2 + 3x3 ≥ 9, 3x1 + x2 + 2x3 ≥11,
xi ≥ 0, x3 ≥ 0.
1.30.
F(x) = −2x1 + x2 −4x3 +6x4 (max), x1 +2x2 +3x3 +5x4 ≤20,
3x1 −x2 −5x3 +10x4 ≤10, x1 +7x2 + x3 + x4 ≤ 4,
xi ≥0, i =1,4.
1.32.
F(x) =16x1 −34x2 −7x3 +12x4 (min), x1 +3x2 −2x3 +2x4 ≤14,
−x1 +4x2 + x3 = 4,
−4x1 +3x2 +6x3 + x4 ≤ 27,
xi ≥0, i =1,4.
1.34.
F ( x) = x1 + 4 x2 + x3 (min), 5 x1 + 12 x2 + 2 x3 = 9,
3x1 + 4 x2 + 4 x3 = 11, xi ≥ 0, i = 1,2,3.
1.36.
F (x) = x1 + 2x2 − x3 + x4 (min), 2x1 + x2 − 2x3 + x4 = 2,
x1 − 2x2 + x3 − x4 ≥3, x1 − x3 ≤ 4,
xi ≥ 0, i =1,4.
5