3.5. Метод искусственного базиса

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи ЛП, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:

В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» R j следующим образом:

При введении искусственных переменных в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентом M. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для

n

функции цели: одна – для составляющей F = ∑ci xi , а другая – для составляющей

i=1

m

M ∑R j . Рассмотрим процедуру решения задачи на конкретном примере.

j =1

27

Пример 3.3. Найти максимум функции F(x) = −x1 + 2x2 − x3 при ограничениях:

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .

Введем искусственные переменные в ограничения задачи

2x1 +3x2 + x3 + R1 = 3; x1 + 3x3 + R2 = 2 .

− 3x2 − 4x3 , тогда F(x) = −x1 + 2x2 − x3 − M (5 −3x1 −3x2 − 4x3) .

При составлении первой симплекс-таблицы (табл. 3.5) будем полагать, что исходные переменные x1, x2 , x3 являются небазисными, а введенные искусствен-

ные переменные – базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных в F- и M-строках изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования осуществляются как в обычном симплекс-методе.

Искусственные переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому столбцы элементов таких переменных опускаются. Табл. 3.6. сократилась на 1 столбец. Осуществляя пересчет этой таблицы, переходим к табл. 3.7, в которой строка M обнулилась, ее можно убрать. После исключения из

28

базиса всех искусственных переменных получаем допустимое базисное решение исходной задачи, которое в рассматриваемом примере является оптимальным:

x1 = 0; x2 = 79 ; x3 = 23 ; Fmax = 89 .

Если при устранении M-строки решение не является оптимальным, то процедура оптимизации продолжается и выполняется обычным симплекс-методом.

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 .

Домножим первое из ограничений на (-1) и введем в ограничения дополнительные переменные x4 , x5 и искусственную переменную R следующим

образом:

− 2x1 − x2 + 3x3 + x4 = −6,

x1 − x2 + 2x3 + R = 4,x1 + x2 + x3 + x5 = 5.

Пусть x4 , R и x5 – базисные переменные, а x1, x2 , x3 – небазисные. Функция

цели F(x) = F(x) + M ∑R =2x1 + 3x2 − x3 + M (4 − x1 + x2 − 2x3 ).

В первой симплекс-таблице (табл. 3.8.) коэффициенты при небазисных переменных в F-строке и M-строках знака не меняют, так как осуществляется мини-

29