Тема 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ

Методы решения задач безусловной оптимизации отличаются более высоким уровнем развития по сравнению с другими методами нелинейного программирования. Ни один из известных методов не позволяет решить любую задачу оптимизации. Наиболее подходящий метод надо приспосабливать к характеристикам конкретно решаемой задачи. Простейшая оптимизационная задача – это задача нахождения экстремума функции одной переменной. Однако именно одномерные методы оптимизации часто используются в инженерной практике при реализации итеративных процедур в многомерных задачах.

4.1. Одномерная минимизация унимодальных функций

Функция F(x) , определенная на интервале [a, b] , называется унимодальной, если существует точка x* [a,b] такая, что при x ≤ x* функция F(x) строго убы-

вает и при x ≥ x* – строго возрастает. При этом F(x* ) = min F(x). Унимодаль-

a≤x≤b

ная функция может быть недифференцируемой, разрывной, неопределенной в некоторых точках, но не должна иметь горизонтальных участков («плато»). Функции одной переменной, являющиеся в области определения выпуклыми или вогнутыми, относятся к унимодальным.

Будем рассматривать задачи поиска экстремума, где:

а) целевая функция F(x) не имеет аналитического выражения;

б) значения функции при ряде значений x могут быть получены в результате некоторого эксперимента (моделирование процесса, обращение к таблице или к памяти ПЭВМ и т.д.).

В начале поиска положение точки x* на интервале [a, b] неизвестно. Путем проведения некоторых N экспериментов необходимо локализовать оптимальное решение x* в интервале [aN , bN ] меньшей длины, чем исходный. Интервал [a, b]

называется априорным интервалом неопределенности, а интервал [aN , bN ] –

апостериорным интервалом неопределенности.

Методы оптимизации, основанные на свойстве унимодальности минимизи-

руемой функции, называются методами сокращения интервала неопределен-

ности. При этом на каждом k-м шаге поиска исключаются те подинтервалы, в которых точка x* не находится, и определяется текущий интервал [ak +1, bk +1 ] , удовлетворяющий системе неравенств:

50

ak ≤ ak +1 ≤ x* ≤ bk +1 ≤ bk ,

(4.1)

ak < ak +1 или bk +1 < bk .

Точность решения определяется длиной апостерионого интервала [aN , bN ] и

зависит от числа экспериментов.

Различные методы отличаются процедурой выбора точек эксперимента.

4.1.1. Метод Фибоначчи. Реализация метода связана с использованием последовательности целых чисел, открытой итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в начале XVIII века. Последовательность чисел Фибоначчи F опреде-

Для того чтобы начать процедуру поиска, нужно задать число экспериментов

N.

На первом шаге, который соответствует k = 0, точки эксперимента на априорном интервале [a, b] вычисляются по формулам:

гласно условию унимодальности F(x) перед вторым шагом проводится сокращение интервала неопределенности по информации о значениях функции в точках эксперимента. Если F1 < F2 , то точка минимума x* не может принадлежать ин-

тервалу [x12 , b] . Эта часть априорного интервала исключается и для следующего

51

части интервала, тогда для следующего шага границами интервала будут точки

Рис. 4.1. Сокращение априорного интервала неопределенности

На каждом последующем шаге (при k = 1,2,3,…) точки эксперимента вы-

числяются по формулам:

При этом необходимо заново вычислять только одну из координат x1k +1 или x2k +1 для точки нового эксперимента, так как сведения о другом эксперименте пе-

52

реходят с предыдущего шага. Сокращение интервала неопределенности выполняется в соответствии со значениями функции в точках эксперимента на основании свойства унимодальности.

Последний N-й эксперимент проводится вблизи от точки xN −1 , которая оста-

лась от предыдущего эксперимента и попала в оставшийся интервал. Это точка xN = xN −1 − ε, где ε – постоянная, положительная, близкая к нулю величина, яв-

ляющаяся параметром метода и определяемая целесообразным количеством верных десятичных знаков при задании аргумента x.

Если априорный интервал является единичным ( a = 0, b = 1), то длина LN апостериорного интервала неопределенности определяется выражением

Недостаток метода Фибоначчи заключается в том, что в нем априори необходимо задавать число экспериментов N, так как на первом шаге требуется вычислять N-е и (N-1)-е числа Фибоначчи. Проиллюстрируем стратегию поиска по методу Фибоначчи на примере.

Пример 4.1. Найти минимальное значение унимодальной функции F(x) на интервале [0, 13] для N = 5.

1-й шаг. Эксперимент проводится в точках

Значения функции в точках эксперимента будем определять по графику на рис. 4.2. Так как F(x11 ) > F(x12 ) , то x* [0,5] и подинтервал [0,5] исключается, то-

гда a1 = 5; b1 = 13 .

2-й шаг ( k = 1). Точки эксперимента вычисляются по формулам

53

F(x)

10

8

6

4

2

Рис. 4.2. Поиск минимума унимодальной функции по методу Фибоначчи для N = 5

Точка x12 совпала с точкой x12 , которая осталась от предыдущего шага, и эксперимент в ней уже выполнен, поэтому значение функции определяется только в точке x22 = 10 . В соответствии с рис. 4.2 F(x12 ) < F(x22 ), поэтому x* [10,13] и подинтервал [10,13] сокращается. Для третьего шага остается интервал [5,10], т.е a2 = 5, b2 = 10.

3-й шаг ( k = 2 ). Эксперимент проводится только в точке x13 = 7 ; точка x12 с предыдущего шага сохранилась внутри интервала, поэтому x23 = x12 = 8. Следует

отметить, что точки эксперимента всегда находятся на равных расстояниях от концов интервала:

54