ТЕМА 6. МЕТОДЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Решение нелинейных задач может быть сведено к решению одной или нескольких линейных задач, порожденных исходной.

6.1. Метод линейных комбинаций

Метод линейных комбинаций ориентирован на решение задач, в которых функция цели нелинейная, а все ограничения линейны, т.е.

Пусть функция F(x) и ее частные производные непрерывны. В основе метода лежит представление нелинейной функции F(x) общего вида в виде ряда Тей-

лора до членов первого порядка в окрестности точки xk , где xk – допустимая точка, полученная на k-й итерации. Это соответствует замене F(x) линейной

~ k

функцией F(x) в окрестности x , т.е.

~ ≈ k + k T − k = k − k T k + k T

F(x) F(x ) F(x ) (x x ) F(x ) F(x ) x F(x ) x .

Выражение [F(xk ) − F(xk )T xk ] , вычисленное в точке xk , есть некоторое

число. Поэтому для ~нахождения вектора x*, максимизирующего линеаризованную функцию цели F(x) , нужно решать следующую задачу линейного программирования:

Точка x*, соответствующая оптимальному решению линеаризованной задачи

(6.2), должна быть угловой, т.е. вершиной ОДЗП, а истинное решение x* исходной задачи (6.1) может лежать внутри ОДЗП. Поэтому необходима дополнитель-

ствовать такая точка xk +1 , что F(xk +1) > F(xk ) . Координаты этой точки являются

правление поиска, а параметр α – величину шага в этом направлении. Величина

шения уравнения ∂∂Fα = 0 или применением одного из методов одномерного поис-

ка.

Поскольку величина F(xk +1) в общем случае не равна нулю, полученная

точка xk +1 служит точкой линеаризации для построения следующей аппроксимации. Решение продолжается до тех пор, пока последовательные оптимумы не окажутся достаточно близкими, т.е. поиск прекращается при выполнении условия

где ε – точность решения задачи.

Вычислительная схема метода известна как алгоритм Франка-Вульфа:

1-й шаг. Задать x0 и точность решения ε, определить составляющие вектора

F(x) .

2-й шаг. Вычислить F(xk ) , где xk – допустимая точка, полученная на k-й итерации (k = 0,1,2,...). Если F(xk ) < ε, прекратить вычисления, в противном случае перейти к 3-му шагу.

3-й шаг. Решить задачу линейного программирования:

Иначе перейти к 2-му шагу, полагая k = k +1.

96

Пример 6.1. Найти минимальное значение функции F(x) =(x1 −2)2 +(x2 −2)2 при ограничениях x1 + x2 ≤ 3; 10x1 − x2 ≥ 2; x1,2 ≥ 0 . Начальная точка x0 =[1;0,5].

Первая итерация.

Решается задача ЛП:

min{−2x1 − 3x2 x1 + x2 ≤ 3; 10x1 − x2 ≥ 2; x1,2 ≥ 0}.

Процедура решения задачи иллюстрируется последовательностью симплекс-

таблиц 6.1 – 6.3

в функцию цели, получим

F (α0 ) = (1−0,55α0 −2)2 +(0,5 + 2,05α0 −2)2 = 3,9(α0 )2 −7,25α0 +1,25.

97

Тогда ∂∂αF0 = 7,8α0 −7,25 = 0 и α0 = 0,93.

Находим координаты точки x1 и значение F(x1) :

x11 =1 − 0,55 0,93 = 0,49; x12 = 0,5 + 2,05 0,93 = 2,41.

F(x1) = (0,49 − 2)2 + (2,41 − 2)2 = 2,45 .

Графическая интерпретация процедуры решения приведена на рис. 6.1. Здесь линии уровня функции цели F(x) представлены концентрическими окружностя-

задачи соответствует вершина В этого треугольника, а скорректированному ре-

F1

x1

2

x*

x2

1

x0

~1*

x

Рис. 6.1. Графическая интерпретация процедуры решения примера 6.1

Вторая итерация.

Вычисляется F(x1)T =[−3,02; 0,82] и осуществляется линеаризация F(x) относительно найденной точки x1 :

98

Подставим эти значения в функцию F(x) и осуществим ее минимизацию по параметру α1:

F(α1) = (0,49 + 2,51α1 − 2)2 + (2,41 − 2,41α1 − 2)2 =12,11(α1)2 − 9,56α1 + 2,45.

99