Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт информационных технологий БГУИР

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мотс 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.02.2016

Размер:

1.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

∂L

≤ 0

≥ 0

x*,λ*

∂λ j

∂xi

,λ

* ∂L

(5.6)

∂L

(5.7)

λ j

x*,λ*

= 0

i ∂xi

,λ*

∂λ j

xi* ≥ 0,i =1,n

λ*j ≥ 0, j =1,m

Для точек,

где

xi > 0 ,

в точке минимума должно выполняться

условие

∂L

= 0, а на границе области, где xi = 0 , отклонения от оптимальной точки

∂xi

x*,λ*

возможны только в сторону увеличения x

, при этом

∂L

> 0.

∂x

x*,λ*

Аналогично по переменной λ для внутренних точек (λ > 0) выполняется ра-

венство нулю производной, а для граничных точек (λ = 0) первая производная для

случая максимума должна быть неположительной, т.е.	∂L		< 0 .
	∂λ j	x,λ

Условия (5.6) и (5.7) эквивалентны (5.5), т.е. являются необходимыми и достаточными для оптимальности x* в случае выпуклости F(x) и всех ограничений

задачи. Если имеется в виду седловая точка с максимумом по x и минимумом по λ, то знаки неравенств в первых строчках систем (5.6) и (5.7) изменяются на противоположные.

5.3. Квадратичное программирование

Задача МП, в которой функция цели квадратична, а все ограничения линей-

ны, носит название задачи квадратичного программирования.

В общем случае функция цели задачи квадратичного программирования (КП) может быть представлена следующим образом:

					n	n
				F(x) = CТx + xТDx = ∑ci xi +		∑xi dik xk ,					(5.8)
					i =1	i,k =1
где xТ =[x , x	2	,..., x	n	] – вектор переменных;	CТ =[c , c		2	,..., c	n	] – постоянный век-
1	2		n			1	2		n

тор; D =[dik ] – постоянная симметричная матрица размерности n×n.

Симметричность этой матрицы необходима для квадратичности функции цели, чтобы члены xl dlm xm и xmdml xl равнялись друг другу и объединялись в один

2xl dlm xm . Линейные ограничения задачи КП имеют такой же вид, как и в задаче ЛП Ax ≤ B, x ≥ 0, где А – постоянная матрица размерности m×n, B – m-мерный

постоянный вектор.

Задача КП, записанная в сжатой форме, имеет следующий вид

min{F(x) = CТx + xТDx | Ax ≤ B, x ≥ 0}.

(5.9)

Одним из условий применения теоремы Куна-Таккера является требование к выпуклости функции F(x) и всех ограничений. Ограничения задачи КП линейны и, следовательно, выпуклы. Для того, чтобы функция (5.8) была выпуклой, необ-

ходимо, чтобы матрица D была положительно полуопределенной, т.е.									xТDx ≥ 0,
для всех x.
Функция Лагранжа для задачи (5.9) имеет вид:
L(x,λ) = CT x + xT Dx + λT g(x) =CT x + xT Dx + λT (Ax − B).
Применим условия теоремы Куна-Таккера к рассматриваемой задаче. Найдем
частные производные
		∂L		= C + 2Dx + ATλ ≥ 0,			∂L	= Ax − B ≤ 0.
				= C + 2Dx + ATλ ≥ 0,				= Ax − B ≤ 0.
		∂x					∂λ
Введем дополнительные неотрицательные переменные, чтобы привести не-
равенства к виду равенств: C + 2Dx + ATλ −V = 0 , Ax − B +W = 0.
Очевидно, что	∂L		=V ,		∂L	= −W , следовательно, выражения X			∂L = 0	и
Очевидно, что			=V ,			= −W , следовательно, выражения X			∂L = 0	и
	∂x				∂λ				∂x

λ∂∂Lλ = 0 из (5.6) и (5.7) можно представить как xTV = 0 и λTW = 0.

Таким образом, решение задачи КП сводится к решению следующей системы уравнений:

Ax +W = B,

2Dx + ATλ −V = −C,		(5.10)
T	T
x V = 0, λ W = 0,
	λ ≥ 0, v ≥ 0, w	≥ 0.
x ≥ 0,

Вектор x*, удовлетворяющий системе уравнений (5.10), является оптимальным решением задачи КП. Существуют различные специальные методы опреде-

ления x* . Рассмотрим один из них, позволяющий свести решение задачи КП к за-

даче ЛП.

Необходимые и достаточные условия (5.10) для решения задачи (5.9) можно

трактовать следующим образом: найти значения		x*, удовлетворяющие системе
линейных уравнений
Ax +W = B,			(5.11)
			(5.11)
2Dx + ATλ −V = −C
при наличии нелинейных ограничений
xTV = 0 и	λTW = 0,		(5.12)
а также ограничений на знак переменных
x ≥ 0, v ≥ 0,	λ ≥ 0,	w ≥ 0 .	(5.13)

Решение системы (5.11) при ограничениях (5.13) может быть найдено при помощи симплекс-метода. Задача, следовательно, состоит в том, чтобы среди допустимых базисных решений этой системы найти такое, которое удовлетворяет условию (5.12).

Сохранение условия (5.12) на протяжении всего процесса вычислений обеспечивается выполнением следующего дополнительного правила:

−при переходе к очередному базисному решению переменная wj не должна включаться в базис, если там уже присутствует λ j ; переменная λ j не должна включаться в базис, если там уже присутствует wj ;

−при переходе к очередному базисному решению переменная vi не должна включаться в базис, если там уже присутствует xi ; переменная xi не должна включаться в базис, если там уже присутствует vi .

Таким образом, дополнительное правило запрещает одновременное присутствие переменных xi и vi с одинаковым индексом i и переменных λ j и w j с оди-

наковым индексом j в числе переменных отличных от нуля.

Допустимое базисное решение, удовлетворяющее нелинейным ограничениям

(5.12), будет являться оптимальным решением задачи (5.10).
Пример		5.1.		Найти			максимальное	значение				функции
F (x) = −2x2	+18x	− 2x x	2	− x2	+12x	2	при ограничениях	2x + x	2	≥ 2;	x	+ x	2	≤ 4;
1	1	1	2	2		2		1	2		1		2

x1,2 ≥ 0, используя условия теоремы Куна-Таккера. 1-й шаг. Составляется функция Лагранжа:

L(x,λ) = F(x) + λT g(x) = F(x) + ∑λ j g j (x) .

Здесь g j (x) – левые части ограничений, приведенных к нулевой правой части; λ j – неопределенные множители Лагранжа:

g1(x) = −2 + 2x1 + x2 ≥ 0 ; g2 (x) = 4 − x1 − x2 ≥ 0 .

Точка экстремума является седловой точкой с максимумом по x и миниму-

мом по λ, т.е.	∂L	≥ 0,	( j =			) . А так как					∂L		= q j (x) , то ограничения приводят-
				1,m
	∂λ j										∂λ j
ся к виду g j (x) ≥ 0 и записывается функция L(x,λ)
L(x,λ) = −2x2 +18x − 2x x					2		− x2	+12x	2	+ λ		1	(−2 + 2x + x	2	) + λ	2	(4	− x − x	2	) .
1			1	1			2						1					1

2-й шаг. Условия теоремы Куна-Таккера записываются следующим образом:

	∂L			x,λ ≤ 0,
	∂L

	∂x
	∂x
		i
		∂L
		∂L
xi*					x,λ = 0,
xi*		∂x
		∂x
			i
	x* ≥			0,i =1,n.
	i

		∂L			x* ,λ* ≥ 0,
		∂L

		∂λ		j
		∂λ		j
	* ∂L
	* ∂L
λ j						x* ,λ* = 0,
λ j			∂λ			x* ,λ* = 0,
					j
		x*		≥ 0, j =1, n.
			j

Частные производные функции Лагранжа определяют ограничения задачи в соответствии с выражениями:

∂L

= −4x +18 −2x

+ 2λ

−λ

≤ 0;

∂x1

∂L

= −2x −2x

+12 +λ

−λ

≤ 0 ;

∂x2

∂L

= −2 + 2x + x

≥ 0 ;

∂λ1

∂L

= 4 − x − x

≥ 0 .

∂λ2

3-й шаг. Ограничения приводятся к виду равенств введением дополнитель-

ных неотрицательных переменных v1, v2 и w1, w2 . Одновременно свободные члены переносятся в правую часть, тогда:

− 4x1 +18 − 2x2 + 2λ1 − λ2 + v1 = −18 , − 2x1 − 2x2 +12 + λ1 − λ2 + v2 = −12 , 2x1 + x2 − w1 = 2 , − x1 − x2 − w2 = −4 .

Получена система из четырех линейных алгебраических уравнений, содержащая 8 неизвестных.

4-й шаг. Находится решение системы с помощью симплекс-процедуры. На первом шаге в базис включаются все введенные дополнительные переменные, тогда первая симплекс-таблица соответствует табл. 5.1. Строка для функции цели отсутствует. Процедура решения иллюстрируется симплекс-таблицами 5.1 – 5.4.

Т а б л и ц а 5.1

	Сво-				Небазисные
БП	бодные				переменные
	члены	x1				x2					λ1		λ2
v1	-18	-4			-2					2			-1

v2	-12	-2			-2					1			-1

w1	-2	-2			-1					0			0

w2	4	1			1					0			0

								Т а б л и ц а 5.3

	Сво-				Небазисные
БП	бодные				переменные
	члены	v1			v2					λ1			λ2
x1	3	−		1		1				−		1	0
x1	3	−			2					−
		2			2				2
x2	3	−		1	−		1		0					1
x2	3	−			−				0				2
		2			4								2
w1	7	−	1		0				-1					1
w1	7	−			0				-1				2
		2											2
w2	-2	0				1					1		−		1
w2	-2	0			2				2				−
					2				2				2

								Т а б л и ц а 5.2
					Небазисные
	Сво-				Небазисные
БП	бодные				переменные
	члены	x1			v2				λ1					λ2
v1	-6	-2			-1				1					0

x2	6	1			−		1		−			1			1
x2	6	1			−				−					2
					2				2					2
w1	4	-1			−		1		−		1				1
w1	4	-1			−				−		1			2
					2				2					2
w2	-2	0				1				1				−		1
					2				2					2
								Т а б л и ц а 5.4
					Небазисные
	Сво-				Небазисные
БП	бодные				переменные
	члены	v1			v2				λ1					w2
x1	3	−	1			1			−			1		0
x1	3	−			2				−					0
		2			2				2
x2	1	1			1				1					1

		2			4				2
		2			4				2
w1	5	−		1		1			−				1	1
w1	5	−			2				−					1
		2			2				2
λ2	4	0			-1				-1					-2

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.02.2016391.68 Кб58Методичка МКЭТ.doc
#
24.02.20161.54 Mб53Методичка по АВМ 2014.doc
#
24.02.2016255.47 Кб12Методичка по выполнению КР.pdf
#
24.02.2016137.79 Кб20Методичка ПП СОБ для заочников.docx
#
24.02.2016238.08 Кб21МетУказ Производственные технологии.doc
#
24.02.20161.96 Mб66Мотс 2.pdf
#
24.02.20162.32 Mб14Мотс1.pdf
#
24.02.2016888.53 Кб84МСиС пособие.pdf
#
24.02.201639.07 Кб48Нарбутович Виктория Социология.docx
#
24.02.20161.08 Mб43ОАиП Лекции ч.2 ПОИТ.pdf
#
24.02.2016594.43 Кб39ОАиП Методичка.doc