3.9.3. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач ЛП. Метод ветвей и границ относится к комбинаторным методам решения целочисленных задач и применим как к полностью, так и к частично целочисленным задачам.

Суть метода – в направленном частичном переборе допустимых решений. Как и ранее, будем рассматривать задачу (3.29). Вначале она решается без ограничений на целочисленность. При этом находится верхняя граница F(x), так как целочисленное решение не может улучшить значение функции цели.

Далее область допустимых значений переменных (ОДЗП) разбивается на ряд непересекающихся областей (ветвление), в каждой из которых оценивается экстремальное значение функции. Если целое решение не найдено, ветвление продолжается.

Ветвление производится последовательным введением дополнительных ограничений. Пусть xk – целочисленная переменная, значение которой в оптималь-

ном решении получилось дробным. Интервал [βk ]≤ xk ≤ [βk ]+1 не содержит целочисленных компонентов решения. Поэтому допустимое целое значение xk должно удовлетворять одному из неравенств xk ≥ [βk ]+1 или xk ≤ [βk ]. Это и есть

дополнительные ограничения. Введение их на каждом шаге порождает две не связанные между собой подзадачи. Каждая подзадача решается как задача ЛП с исходной целевой функцией. После конечного числа шагов будет найдено целочисленное оптимальное решение.

Применение метода ветвей и границ рассмотрим на конкретном примере.

Пример 3.10. Методом ветвей и границ найти максимальное значение функции F(x) = 2x1 +3x2 при ограничениях

x1,2 ≥ 0 − целые.

1-й шаг. Решается задача ЛП с отброшенными условиями целочисленности с помощью симплекс-метода (табл. 3.30 – 3.32).

По данным табл. 3.32 запишем оптимальное нецелое решение

46

возможно. Ветвление подзадачи 5 в лучшем случае приведёт к другому целочисленному решению, в котором F = 16.

x2

Рис. 3.7. Графическая интерпретация решения примера 3.10

4-й шаг. Исследуется подзадача 2 с ограничением x2 ≥ 3 , находится её оптимальное решение, которое соответствует вершине М (рис. 3.7) с координатами x1* = 3,5; x2* = 3. Значение функции цели при этом Fmax =16, которое не превышает найденного ранее решения. Таким образом, поиск вдоль ветви x2 ≥ 3 следу-

ет прекратить.

Отметим, что алгоритм метода ветвей и границ является наиболее надёжным средством решения целочисленных задач, он положен в основу большинства прикладных программ для ПЭВМ, используемых для этих целей.

Для решения ЛП имеется широкий набор разнообразных машинных программ, которые избавляют от трудоёмкого процесса вычислений вручную. Однако интерпретация информации, выведенной на печать, невозможна без чёткого представления о том, почему и как работает симплекс-метод.

49