3.9.2. Алгоритм Гомори для частично целочисленной задачи. В частично целочисленных задачах требование целочисленности накладывается не на все переменные, а на одну или некоторые из них. Предположим, что решается задача (3.29), но целочисленной должна быть только переменная xk. В результате решения задачи с отброшенным условием целочисленности получена оптимальная симплекс-таблица (табл. 3.19) и переменной xk соответствует строка базисной переменной vk этой таблицы. Эта строка порождает равенство:

Если значение vk = βk оказалось дробным, то можно сказать, что интервал [βk ]< vk < [βk ]+1 не содержит допустимых целочисленных компонентов реше-

ния. Тогда для целочисленной переменной vk должно выполняться одно из двух неравенств: либо vk ≤ [βk ], либо vk ≥ [βk ] +1. Левая часть выражения (3.38)

должна быть целой.

Рассмотрим условия, при которых правая часть (3.38) будет принимать целое значение.

Если vk ≤ [βk ], то из (3.38) для αki ≥ 0 следует, что

Уравнение (3.42) определяет отсечение Гомори для частично целочисленной задачи и является дополнительным ограничением в расширенной задаче. Двойственный симплекс метод позволяет решать расширенную задачу одной заменой базисной переменной.

43

Пример 3.9. Найти оптимальное решение F(x) = 6x1 + 8x2 + x3 + 2x4 (min)

Процедура решения задачи с отброшенным условием целочисленности для x1 иллюстрируется симплекс-таблицами 3.25 – 3.27. Получено оптимальное, но не целочисленное решение.

Дополнительное ограничение составляем по строке, соответствующей переменной x1 табл. 3.27, на основании выражения (3.42).

После преобразования (3.43), умножения его на (-1) и введения дополнительной переменной х7 получим дополнительное ограничение в виде

Табл. 3.28 соответствует расширенной задаче и получена добавлением к табл. 3.27 ограничения (3.44). Выполняя симплекс-преобразования, переходим к табл. 3.29, которая соответствует оптимальному решению с целым значением x1:

x1* = 2;

x2* = 12 ;

x6* = 12 ;

x3 = x4 = x5 = x7 = 0;

Fmin =16.

Были рассмотрены два вида отсечений Гомори. Известны способы построения отсечений других видов [4], каждый из которых имеет те или иные преиму-

44