Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Мотс 2.pdf
Скачиваний:
38
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.96 Mб
Скачать

Т а б л и ц а 3.23

Базисные

Свободные

Небазисные

перемен-

члены

переменные

ные

 

 

 

 

 

 

 

 

х3

х4

х1

 

5

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

х2

 

16

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

х5

7

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х6

2

 

1

 

2

 

 

3

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

85

 

 

11

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 3.24

Базисные

Свободные

Небазисные

перемен-

члены

переменные

ные

 

х3

х6

х1

2

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

 

 

2

х2

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х5

2

1

 

 

1

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

х4

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

27

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для построения дополнительного ограничения на рис. 3.6 необходимо выразить переменные x3 и x4 через x1 и x2 .

Из табл. 3.20 следует, что x1 + x2 + x3 = 7 и 2x1 + x2 + x4 = 2 , тогда x3 = 7 x1 x2 , а x4 = 2 + 2x1 x2 . Подставляя эти выражения в (3.35), получим

3x1 + 3x2 9 .

Дополнительное ограничение отсекает заштрихованную часть ОДЗП вместе с точкой х* и образует новую вершину xц* с координатами [2,5], которая соответствует оптимальному целочисленному решению.

3.9.2. Алгоритм Гомори для частично целочисленной задачи. В частично целочисленных задачах требование целочисленности накладывается не на все переменные, а на одну или некоторые из них. Предположим, что решается задача (3.29), но целочисленной должна быть только переменная xk. В результате решения задачи с отброшенным условием целочисленности получена оптимальная симплекс-таблица (табл. 3.19) и переменной xk соответствует строка базисной переменной vk этой таблицы. Эта строка порождает равенство:

n

αki wi + vk = βk . (3.37)

i =1

Выделим в βk целую и дробную часть и преобразуем (3.37) к виду

n

vk [βk ] = {βk } αki wi . (3.38)

i =1

42

Если значение vk = βk оказалось дробным, то можно сказать, что интервал [βk ]< vk < [βk ]+1 не содержит допустимых целочисленных компонентов реше-

ния. Тогда для целочисленной переменной vk должно выполняться одно из двух неравенств: либо vk [βk ], либо vk [βk ] +1. Левая часть выражения (3.38)

должна быть целой.

Рассмотрим условия, при которых правая часть (3.38) будет принимать целое значение.

Если vk [βk ], то из (3.38) для αki 0 следует, что

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

{βk } αki wi

0

 

или αki wi

{βk }.

(3.39)

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

Если vk [βk ] +1, то vk [βk ] 1, и из (3.38) для αki

0 следует, что

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

{βk } αki wi

 

1 или αki wi {βk } 1.

(3.40)

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

Умножим обе части неравенства (3.40) на

 

 

{βk }

 

< 0 , тогда

 

 

{βk } 1

 

 

 

 

 

{β}

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αki wi {βk }.

 

(3.41)

 

 

 

{βk } 1

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как соотношения (3.39) и (3.41) не могут выполняться одновременно, их

можно объединить в одно ограничение вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

w +

{βk }

 

 

α w {β

k

},

(3.42)

 

 

 

i I

+

 

ki i

{β

k

} 1

 

ki i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i I

 

 

 

 

 

 

 

 

где I + – множество значений i, для которых αki

> 0;

I – множество значений i ,

для которых αki < 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (3.42) определяет отсечение Гомори для частично целочисленной задачи и является дополнительным ограничением в расширенной задаче. Двойственный симплекс метод позволяет решать расширенную задачу одной заменой базисной переменной.

43

Пример 3.9. Найти оптимальное решение F(x) = 6x1 + 8x2 + x3 + 2x4 (min)

x1 + 2x2

x3

3,

4;

2x

+ x

2

+ x

3

+ x

4

 

1

 

 

 

 

 

xi

0, i =

 

 

x1 целое.

1,4;

Процедура решения задачи с отброшенным условием целочисленности для x1 иллюстрируется симплекс-таблицами 3.25 – 3.27. Получено оптимальное, но не целочисленное решение.

Дополнительное ограничение составляем по строке, соответствующей переменной x1 табл. 3.27, на основании выражения (3.42).

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x5

+ x3 +

 

x4

+

 

 

 

 

 

x6

.

(3.43)

3

3

5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После преобразования (3.43), умножения его на (-1) и введения дополнительной переменной х7 получим дополнительное ограничение в виде

x

2

x

4

1

x

4

x

6

+ x

= −

2

.

(3.44)

3

 

3

3

3

 

 

 

3

5

 

 

7

 

 

 

Табл. 3.28 соответствует расширенной задаче и получена добавлением к табл. 3.27 ограничения (3.44). Выполняя симплекс-преобразования, переходим к табл. 3.29, которая соответствует оптимальному решению с целым значением x1:

x1* = 2;

x2* = 12 ;

x6* = 12 ;

x3 = x4 = x5 = x7 = 0;

Fmin =16.

Были рассмотрены два вида отсечений Гомори. Известны способы построения отсечений других видов [4], каждый из которых имеет те или иные преиму-

44

щества перед другими. Общая точка зрения исследователей-практиков: методы отсечения не подходят для решения целочисленных задач большой размерности. Однако они используются для совершенствования других алгоритмов решения целочисленных задач.

Т а б л и ц а 3.25

БП

Свободные

 

Небазисные

 

 

члены

 

переменные

 

 

 

x1

 

x2

x3

 

x4

x5

-3

-1

 

-2

1

 

0

x6

-4

-2

 

-1

-1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

F

0

6

 

8

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 3.26

БП

Свободные

 

 

 

Небазисные

 

 

члены

 

 

 

переменные

 

 

 

 

 

x1

x5

x3

x4

x2

 

3

 

 

1

 

1

 

1

 

0

 

2

 

 

2

 

2

 

2

 

x6

5

 

3

 

1

 

3

 

-1

 

 

2

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

F

-12

 

2

 

4

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 3.27

БП

Свобод-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Небазисные

 

 

 

 

 

 

ные чле-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переменные

 

 

 

 

 

 

ны

 

 

x6

 

 

 

x5

 

x3

 

 

x4

 

 

x2

2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

0

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

5

 

 

2

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

46

 

 

 

4

 

 

 

 

10

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 3.29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БП

Свободные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Небазисные

 

 

 

 

 

 

члены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переменные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7

 

 

 

x5

 

x3

 

 

 

x4

x2

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

2

x1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

-16

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

0

Т а б л и ц а 3.28

БП

Сво-

 

 

 

 

Небазисные

 

 

 

 

 

 

бодные

 

 

 

 

переменные

 

 

 

 

 

 

члены

x6

 

x5

x3

x4

x2

 

 

2

 

 

1

 

1

0

1

 

 

3

 

 

3

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

5

 

 

2

 

1

1

 

 

2

 

 

3

 

3

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7

2

 

4

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

F

46

 

 

4

 

 

10

3

 

2

 

 

3

 

 

3

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45