- •РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Тема 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Основные понятия и определения. Постановка задачи
- •Тема 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •2.2. Определение выпуклости функций
- •2.3. Типы задач математического программирования
- •2.4. Связь между задачей математического программирования
- •Тема 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •3.3. Симплекс-метод решения задач ЛП
- •3.4. Симплекс-таблицы
- •3.5. Метод искусственного базиса
- •3.6. Информационные технологии линейного программирования
- •3.7. Двойственная задача линейного программирования
- •3.8. Двойственный симплекс-метод
- •3.9. Целочисленное линейное программирование
- •3.9.1. Алгоритм Гомори для полностью целочисленной задачи ЛП.
- •3.9.2. Алгоритм Гомори для частично целочисленной задачи.
- •3.9.3. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач ЛП.
- •Тема 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ
- •4.1. Одномерная минимизация унимодальных функций
- •4.1.1. Метод Фибоначчи.
- •4.1.2 Метод золотого сечения.
- •4.1.3. Методы с использованием производных.
- •4.1.4. Методы полиномиальной аппроксимации.
- •4.2.2. Градиентные методы. Метод наискорейшего спуска.
- •4.2.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэла (ДФП) (метод переменной мет-
- •4.2.6. Обобщенный градиентный алгоритм.
- •4.2.7. Метод Ньютона.
- •4.2.9. Установка метода оптимизации в пакете MATLAB.
- •Тема 5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
- •5.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •5.2. Теорема Куна-Таккера
- •5.3. Квадратичное программирование
- •5.4. Метод допустимых направлений Зойтендейка
- •6.1. Метод линейных комбинаций
- •6.2. Метод отсекающих плоскостей Кэлли
- •6.3. Сепарабельное программирование
- •ТЕМА 7. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ
- •7.1. Дискретное динамическое программирование
- •7.3. Принцип максимума Понтрягина
- •7.3.1. Постановка задачи. Формулировка принципа максимума.
- •7.3.3. Принцип максимума в задачах о максимальном быстродействии.
- •7.4.1. Определение моментов переключения.
- •ЛИТЕРАТУРА
- •Содержание
- •Лабораторная работа № 1
- •Лабораторная работа № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 4
- •ЗАДАНИЯ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ
- •Задание 1. Линейное программирование
- •Задание 2. Нелинейное программирование
- •Задание 3. Математическое описание линейных систем
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0 .
Составим начальные симплекс-таблицы для прямой и двойственной задач
(табл. 3.11 и 3.12).
|
|
Т а б л и ц а 3.11 |
|
|
|
Т а б л и ц а 3.12 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базисные |
Свободные |
|
Небазисные |
Базисные |
Свободные |
|
Небазисные |
||||
перемен- |
члены |
|
переменные |
|
перемен- |
члены |
|
переменные |
|||
ные |
|
|
х1 |
х2 |
|
ные |
|
|
y1 |
y2 |
y3 |
х3 |
5 |
|
1 |
1 |
|
y4 |
3 |
|
-1 |
-2 |
1 |
х4 |
3 |
|
2 |
-1 |
|
|
|||||
|
|
y5 |
2 |
|
-1 |
1 |
0,5 |
||||
х5 |
-2 |
|
-1 |
0,5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F |
0 |
|
3 |
2 |
|
F |
0 |
|
5 |
3 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем виде при минимизации F(x) в прямой задаче начальные симплекс-
таблицы для прямой и двойственной задач можно представить в виде табл. 3.13 и 3.14.
|
Т а б л и ц а 3.13 |
|
Т а б л и ц а 3.14 |
||
|
|
|
y |
|
|
x |
-B |
-A |
С |
AT |
|
Fmin |
0 |
CT |
Fmax |
0 |
-BT |
Если в прямой задаче находится максимальное значение F(x) , то начальные
симплекс-таблицы прямой и двойственной задач можно представить в виде табл. 3.15 и 3.16.
|
Т а б л и ц а 3.15 |
|
Т а б л и ц а 3.16 |
||
|
|
|
y |
|
|
x |
B |
A |
-С |
-AT |
|
Fmax |
0 |
-CT |
Fmin |
0 |
BT |
3.8. Двойственный симплекс-метод
Смысл двойственного симплекс-метода заключается в том, что вместо прямой задачи решают двойственную при помощи обычного симплекс-метода. Затем по решению двойственной задачи находят оптимальное решение прямой. Для этого устанавливается взаимнооднозначное соответствие между переменными прямой и двойственной задач. Исходным переменным прямой задачи ставятся в
35
соответствие дополнительные переменные двойственной, а дополнительным переменным исходной задачи ставятся в соответствие исходные переменные задачи прямой.
x1 |
x2 |
x3 |
K xn−1 xn |
xn+1 xn+2 |
xn+3 Kxn+m−1 xn+m |
||
b |
b |
b |
b b |
b |
b |
b |
b b . |
ym+1 ym+2 |
ym+3 Kym+n−1 ym+n |
y1 |
y2 |
y3 |
K ym−1 ym |
Пусть решена двойственная задача и получена оптимальная симплекс- таблица. Оптимальное решение прямой задачи определяется коэффициентами F- строки. Переменные прямой задачи приравниваются к коэффициентам при соответствующих им небазисных переменных в F-строке оптимальной симплекс- таблицы двойственной задачи. Остальные переменные равны нулю.
Наиболее целесообразно применять двойственный симплекс-метод в случае, когда число ограничений прямой задачи намного больше, чем число неизвестных, а также в задачах целочисленного программирования.
Пример 3.7. Применяя двойственный симплекс-метод решить следующую задачу:
F (x) = 6x1 +12 x2 (min) ;
−2x1 +3x2 ≤ 6;
4x1 −3x2 ≤12;
3x1 + x2 ≥ 3;
x1 ≤ 2;
x1,2 ≥ 0.
Приводим неравенства задачи к знаку ≥, умножая первое, второе и четвертое ограничения на (-1); тогда модель двойственной задачи будет иметь вид:
F(y) = −6y1 −12y2 +3y3 −2y4 (max);
2y − 4y |
2 |
+ 3y |
3 |
− y |
4 |
≤ 6; |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
−3y1 + 3y2 + y3 ≤12; |
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0 .
Решение двойственной задачи осуществляем обычным симплекс-методом
(табл. 3.17 и 3.18).
36