Выполнение итераций следует продолжать до тех пор, пока ограничения не будут выполнены с заданной точностью ε. Точное решение рассматриваемой за-

дачи достигается в точке x* =[2,5; 2] , при этом Fmax = 4,5.

6.3. Сепарабельное программирование

Функция F(x1, x2 ,..., xn ) называется сепарабельной, если её можно предста-

вить в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной пере-

менной, т.е. F(x1, x2 ,..., xn ) = F1(x1) + F2 (x2 )+,...,+Fn (xn ) .

Сепарабельное программирование (СП) предназначено для решения нели-

нейных задач, в которых целевая функция и функции, входящие в ограничения, являются сепарабельными. При этом процедура решения нелинейной задачи сводится к решению одной или нескольких линейных подзадач, порожденных исходной, на основе линейной аппроксимации нелинейных функций и специальной модификации симплекс-метода.

Рассмотрим вначале кусочно-линейную аппроксимацию функции одной переменной F(x) , заданной на интервале [0, a] (рис. 6.4).

Предположим, что интервал [0, a] разбит на ряд интервалов меньшей длины

некоторой совокупностью точек. Соединяя отрезками точки кривой, соответст-

~

вующие разбиению, получим график кусочно-линейной аппроксимации F(x)

функции F(x) . Определим xk , k =1, K как k-ю точку разбиения по оси X . Точки x1 и xk совпадают с граничными точками интервала. Тогда аппроксимация F(x) записывается в виде

где tk – неотрицательный весовой множитель, ассоциированный с k-й точкой разбиения.

106

которое обеспечивает положительность весовых коэффициентов, соответствующих смежным точкам разбиения.

Переменными в аппроксимирующей задаче являются tik . Такую задачу мож-

но решить как задачу ЛП большой размерности, используя некоторую модификацию симплекс-метода. Условие (6.8) может быть учтено введением правила ограниченного ввода в базис. Согласно этому правилу в базисное решение можно

включать не более двух положительных множителей tik , которые должны соот-

ветствовать смежным точкам разбиения.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие оптимальности или установлена невозможность введения новой базисной переменной

tik без нарушения правила ограниченного ввода в базис.

Пример 6.3.

Найти максимальное значение функции F(x) = x1 + x24 при ограничениях

Функция цели F(x) и ограничение g(x) являются сепарабельными функциями, при этом составляющие F1(x1) = x1 и g1(x1) = 3x1 являются линейными и не подлежат линеаризации. Поэтому x1 сохраняется в качестве одной из переменных. Линеаризации подлежат функции, зависящие от переменной x2 : F2 (x2 ) = x24

ния, получим, что 0 ≤ x2 ≤ 3 . Зададим количество точек разбиения K2 = 4 , соот-

Симплекс-таблица на первом шаге соответствует табл. 6.15. В базис включена дополнительная переменная S для первого ограничения и весовой коэффици-

ент t12 , который не входит ни в функцию цели, ни в первое ограничение и также

может рассматриваться как дополнительная переменная в ограничении равенстве. В общем случае начальное решение можно получить, используя метод искусственного базиса.

Анализ табл. 6.15 показывает, что в базис нужно ввести t24 , исключая оттуда переменную S. Однако одновременно присутствовать в базисе t24 и t12 не могут по правилу ограниченного ввода в базис. Продолжая анализ, находим, что исключить из базиса следует t12 , меняя местами t12 и t23 . В результате расчетов получаем табл. 6.16.

Выбирая ведущий элемент по всем правилам, определяем, что t24 нужно ввести в базис, а переменную S вывести из базиса. Это не противоречит правилу ограниченного ввода в базис, так как в базисе окажутся t23 и t24 , соответствующие

смежным точкам разбиения. Осуществив переход к новому решению, получим табл. 6.17.

109