Тема 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ

1.1. Основные понятия и определения. Постановка задачи

При решении задач оптимизации очень важным является этап формализации задачи, когда составляется ее математическая модель и выбирается критерий, по которому производится оптимизация.

Математическая модель описывает постановку задачи с помощью математических символов.

Рассмотрим задачи оптимизации двух типов: параметрической оптимизации

иоптимизации управления.

1.Задача параметрической оптимизации. Пусть проектируемое устройст-

во описывается системой уравнений:

Вектор xT = [x1, x2 ,..., xn ] характеризует внутренние параметры устройства,

которые не зависят друг от друга, могут варьироваться в некоторых пределах и называются управляемыми параметрами. Составляющие вектора

ϕT = [ϕ1, ϕ2 ,..., ϕk ] называются выходными параметрами устройства. Напри-

мер, при проектировании электронной схемы управляемыми параметрами являются значения сопротивлений, емкостей и индуктивностей, а выходными параметрами – временные и частотные характеристики. Область изменения управляемых параметров, как правило, ограничена.

Ограничения на переменные x характеризуют условия работоспособности устройства и определяют некоторую область D, т.е. x D . Принадлежность к области D может быть выражена с помощью неравенств вида

g j (x1 , x2 ,..., xn ) ≤ 0, j = 1, m , где g j – заданные функции.

Критерий оптимальности задается некоторой функцией F = F (x1, x2 ,...,.xn ) .

Экстремальное значение функции F численным образом характеризует свойство одного из наиболее важных технико-экономических показателей проектируемого устройства. Сформулируем задачу.

3

Найти значения переменных x1, x2 ,..., xn , обеспечивающих экстремальное значение критерия оптимальности F = F (x1, x2 ,...., xn ) и удовлетворяющих

системе ограничений g j (x1, x2 ,....xn ) ≤ 0, j = 1, m , т.е. min(max)F(x) .

x D

Если система ограничений имеет единственное решение, то выбора нет и задача оптимизации не имеет смысла. Если же существует множество решений, то из них всегда можно выбирать то, которое обеспечивает экстремум функции

F(x) .

2. Задача оптимизации управления. Для того чтобы сформулировать эту задачу, рассмотрим обобщенную структурную схему системы управления (рис. 1.1), состоящую из двух звеньев: устройства управления (УУ) и объекта управления (ОУ). Объекты управления могут быть весьма разнообразны: технические устройства, производственные процессы, экономические и социальные системы и т.д.

Рис. 1.1. Обобщенная структурная схема системы управления

ОУ характеризуется вектором состояния xT = [x1, x2 ,..., xn ] , составляющие

которого могут иметь самую различную природу и сущность. Так, например, при описании механических систем величины x i представляют собой координаты,

или скорости движущихся частей. Переменная x считается доступной для измерения и контроля.

Управляющее воздействие uT =[u1,u2 ,...,ur ] вырабатывается УУ и созна-

тельно меняется для достижения определенных целей. Изменение вектора u во времени или в пространстве координат u1, u2 ,..., ur называется алгоритмом

управления. Если УУ формирует вектор управления u на основании информации об изменении x, то СУ замкнута. Если УУ не получает никакой информации об ОУ, то система разомкнута. Разомкнутые системы работают по жесткому алгоритму. Вектор g характеризует внешние команды, служащие для запуска и пере-

стройки УУ.

4

Способ управления объектом, дающий наилучший в некотором смысле результат, и реализующую его систему называют оптимальными. Для коли-

чественного обоснования предпочтения одного способа управления перед другим необходимо определить цель управления. Мера, характеризующая эффективность достижения цели, определяет критерий оптимизации.

Критерий оптимизации задается некоторым функционалом J = M{F[x(t), x&(t), u(t), t]}, который в каждом конкретном случае имеет точную

математическую форму. В реальных системах величина J является показателем качества или пригодности управления. Работа ОУ может считаться оптимальной при максимальном КПД, максимальном быстродействии, максимальной точности, при минимальных затратах энергии и т.д.

Предполагается, что свойства ОУ изменять нельзя, а УУ можно выбирать или синтезировать для получения оптимального алгоритма управления. В дальнейшем будут рассматриваться такие ОУ, которые характерны для систем автоматического управления и могут быть описаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

называемых уравнениями состояния.

В реальных системах управляющее воздействие и переменные состояния подвержены различного рода ограничениям. Ограничения на управление, как правило, вызваны ограниченностью энергетических ресурсов системы. Переменные состояния ограничиваются из соображений безопасности, прочности, устойчивости. Такие ограничения могут задаваться в виде неравенств

для отдельных координат, где ai и bj – постоянные величины, или в виде векторных неравенств

Множество U всех значений управления u, которые удовлетворяют поставленным ограничениям, образует область допустимых управлений. Множество X , которому принадлежат все возможные значения компонент вектора x, образу-

ет область допустимых значений вектора состояния.

Кроме того, на переменные состояния могут накладываться граничные (или краевые) условия, задающие значение x в начальный и конечный моменты време-

ни x(t0 ) = x0 , x(T ) = xT .

5