
- •Ю.В.Філатов, ю.Ф.Ткаченко
- •1 Пружні деформації
- •1.1 Мала деформація та її компоненти
- •1.2 Головні вісі деформації
- •1.3 Зв’язок між компонентами малої деформації та її
- •1.4 Фізичний зміст компонент малої деформації
- •2 Пружні напруження
- •2.1 Зовнішні сили
- •2.2 Внутрішні напруження
- •2.3 Рівняння руху Коші
- •3 Зв’язок між напруженнями і
- •3.1 Експериментальний закон Гука
- •3.2 Узагальнений закон Гука
- •4 Хвильові рівняння та пружні хвилі
- •4.1 Рівняння Ламе
- •4.2 Хвильові рівняння
- •4.3 Пружні потенціали
- •4.4 Cферичнi хвилі
- •4.5 Плоска хвиля
- •4.6 Сферична хвиля
- •Підставляючи в хвильове рівняння,
- •5 Хвилі на границях півпросторів
- •5.1 Відбиття та заломлення плоских хвиль на
- •5.2. Практичні задачі на відбиття – заломлення
- •6 Хвилі в реальних середовищах
- •6.1 Хвильові рівняння з дисипативним членом
- •Його дисперсійне співвідношення
- •Перевіримо виконання умови 3. З (6.10) випливає, що
- •6.2 Хвильові рівняння в перших похідних
- •Проаналізуємо четверту модель. Її хвильовому рівнянню
- •7 Комплексні хвильові рівняння
- •8 Динаміка пружних хвиль в
- •Та диспергуючих середовищах
- •8.1 Миттєві параметри хвильового поля
- •8.2 Дисперсія швидкості пружних хвиль в
- •8.3 Миттєве поглинання пружної енергії
- •9 Міграція хвильових полів
- •9.1 Міграція хвильового поля на основі рівняння в
- •Введемо позначки
- •10 Практичні роботи з теорії пружних
- •10.1 Дослідження напруженого стану та деформацій
- •Література
- •10.2 Аналіз рішення хвильового рівняння для
- •Література
- •10.3 Розрахунок швидкості хвилі Релея при
- •Література
- •10.4 Розрахунок траєкторій руху частинок у хвилі
- •Література
- •10.5 Розрахунок дисперсійної кривої для
- •Література
- •10.6 Обчислення та побудова частотної
- •Мета та завдання роботи
- •Основні теоретичні положення
- •Порядок проведення роботи
- •Коефiцiєнт вiдбиття має максимум, амплiтуда якого
- •Мінімальне значення коефіцієнта вiдбиття вiд тонкого шару
- •Порядок проведення роботи
- •Лiтература
- •10.8 Визначення коефіцієнтів поглинання пружних хвиль
- •Література
- •10.9 Визначення дійсних швидкостей
- •Література
- •Контрольні завдання
- •12 Методичні поради до самостійної роботи
- •Програмні запитання
- •12.1 Пружні деформації
- •Питання для самоперевiрки
- •12.2. Пружні напруження
- •Лiтература
- •Методичні вказівки
- •Питання для самоперевірки
- •12.3 Зв`язок між напруженнями I деформаціями
- •12.4. Хвильові рівняння та пружні хвилі
- •Питання для самоперевірки
- •12.5 Хвилі на границі півпросторів
- •12.6 Хвилі у вільному і обмеженому шаром
- •12.7 Хвилі від джерел різного типу
- •Список рекомендованої та використаної літератури
2 Пружні напруження
2.1 Зовнішні сили
Виникнення деформацій в пружному середовищі є наслідком прикладання зовнішніх сил. Розрізняють два види зовнішніх сил: поверхневі сили, прикладені до поверхні тіла, що деформується, та об’ємні сили, що діють на елементи об’єму тіла.
Поверхневі
сили характеризуються поверхневою
густиною
,
де
означає точку поверхні, що розглядається,
- час, протягом якого діє сила. Якщо через
позначити малий елемент поверхні тіла,
що деформується, то загальна сила,
прикладена до цього елемента, представиться
вектором (рис. 2.1). У загальному випадку
напрямок цієї сили може не співпадати
з напрямком зовнішньої нормалі
до
елемента
.
Проекції сили
на оси координат означають
,
,
.
Класичним прикладом поверхневих сил є
сила гідростатичного тиску рідини на
занурене в неї тіло.
z
V
V
dV
м
dS O
О y
ZdV
х
Рисунок 2.1–Діючі сили в пружному середовищі
Об’ємні
сили характеризуються об’ємною густиною.
Якщо вибрати деякий малий елемент
об’єму
,
то сумарною силою, діючою на цей елемент
буде
,
де точка (х,у,z)належить елементуоб’єму,
що розглядається,
- час, протягом якого діє сила. Компоненти
об’ємної сили будуть
,
,
.
Класичним прикладом об’ємних сил є
сила тяжіння.
2.2 Внутрішні напруження
Пружне середовище під дією прикладених до неї зовнішніх сил набуває деформації. При цьому всередині середовища в результаті взаємодії її частин розвиваються внутрішні сили. Вони протидіють зовнішнім силам і намагаються врівноважити їх. Ці внутрішні сили називають пружними напруженнями.
Візьмемо
площадку
,
що містить точкуМ,
у вигляді трикутника і з допомогою трьох
взаємоперпендикулярних площин утворимо
малий тетраедр об’єму
.
Осі координат направимо по ребрах
тетраедра (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 – До умови рівноваги напружень
Позначимо
через
,
,
вектори напружень на гранях, перпендикулярних
до осей
.
Для рівноваги виділеного з пружного
середовища безмежно малого елемента
необхідно, щоб сила, прикладена до
площадки
,
дорівнювала геометричні сумі сил, діючих
на інші грані. Враховуючи, що сили,
прикладені до кожної грані, дорівнюють
добутку її площі на напруження, умова
рівноваги приймає вигляд:
(2.1)
Векторне рівняння (2.1) можна замінити трьома скалярними:
(2.2)
де ,(2.3)
- проекції
векторів напружень
на осі координат. Перший індекс в (2.3)
вказує орієнтацію граней, другий –
напрямок компоненти вектора напружень.
Величини
називаються нормальними компонентами
напружень, а
,
,
,
,
,
- дотичними (тангенціальними) компонентами
напружень на площадки, перпендикулярні
до осей. Нижче буде доведено, що
,
,
.
Отже,
дев’ять компонент напружень (2.3), які
визначають напружений стан в точці
та її малому околі, залежать від напрямку
нормалі
в цій точці.
2.3 Рівняння руху Коші
Для
рівноваги довільно виділеного об’єму
пружного середовища під дією систем
поверхневих і об’ємних сил, включаючи
сили інерції, вимагається, щоб результуючі
сили і момент, діючих на цей об’єм,
дорівнювали нулю.
Виділимо
в пружному тілі елемент об’єму
.
Компоненти сил інерції, діючих на
елементарний об’єм
,
будуть:
;
;
,(2.4)
де:
- густина тіла;
- компоненти переміщення;
- час.
Проекції прискорення в (2.4) можна визначити з формул (1.5), диференціюючи які, отримаємо
Для
об’єму
пружного тіла компоненти сил інерції
будуть:
.
(2.5)
В якості
зовнішніх сил, діючих на об’єм
(рисунок 2.1), маємо об’ємні сили, наприклад,
силу тяжіння, з компонентами
,
і сили пружних напружень, прикладених
до поверхні
об’ємуV,
з компонентами
,
,
.
Для об’єму V пружного тіла компоненти сили тяжіння будуть:
;
;
.(2.6)
Компоненти
сил пружних напружень, прикладених до
поверхні
об’ємуV
;
;
.(2.7)
Враховуючи
(2.5), (2.6) і (2.7), запишемо умову рівноваги
довільного об’єму V
пружного середовища під дією проекцій
сил на вісь
:
.(2.8)
Підставимо
в (2.8) значення
з (2.2) і за допомогою теореми
Гауса-Остроградського перейдемо від
інтегралу по поверхні до інтегралу по
об’єму:
.
(2.9)
В силу довільності об’єму V:
.(2.10)
Аналогічно,
співставляючи умови рівноваги довільного
об’єму
пружного середовища під дією компонент
сили на осі
і
,
отримаємо
,(2.11)
.(2.12)
Вирази (2.10) і (2.12) – рівняння руху деформованого тіла.
Якщо пружне тіло знаходиться в рівновазі під дією заданих сил, то компоненти сил інерції дорівнюють нулю, і рівняння рівноваги набувають вигляду:
(2.13)
Для рівноваги довільного об’єму V пружного середовища крім того необхідно, щоб результуючий момент сил, діючих на цей об’єм, дорівнював нулю.
Наприклад, умова рівноваги моментів сил, діючих на елементарний об’єм, відносно осі, паралельній х (рис.2.3), необхідно виконання рівності
,
звідки
При
отримаємо співвідношення
.
Аналогічні вирази можна отримати для моментів сил відносно вісей у та z:
Таким чином, в загальному випадку справедливе співвідношення
,
(2.14)
яке показує, що тензор напружень є симетричним.
Якщо
врахувати рівність (2.14), напружений стан
в будь-якій точці деформованого тіла
визначається шістьма компонентами
напруження:
,
,
,
,
,
.
Рівняння (2.10-2.14) вперше були отримані Коші. Вони відіграють важливу роль у теорії пружності.
Рисунок 2.3. - До рівняння рівноваги моментів сил, діючих на гранях елементарного об’єму.