Вопрос 5. Точечные и интервальные оценки параметров.

Рассмотрим точечные оценки параметров. Пусть для оценки параметров распределения случайной ве­личины Xотобрана случайная выборка, состоящая из значенийх₁, х₂, …, х_n.Найдены выборочные характеристики:– выборочная средняя;– выборочная дисперсия (гдеn_i– частоты значенийx_i);– выборочная доля (гдеm элементов выборки изпобладают данным признаком).

Тогда иw– несмещенные, состоятельные и эффективные (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценки соответственно математического ожиданияаи вероят­ностиp,as²– смещенная, но состоятельная оценка дисперсииσ². Исправленная выборочная дисперсия– несмещенная и состоятельная оценка дисперсииσ².

Наряду с точечными оценками параметров (в виде одного числа), рассматривают интервальные оценки.

Интервальной оценкой параметра называется числовой ин­тервал (), который с заданной вероятностьюнакрывает неизвестное значение параметра.

Такой интервал () называется доверительным, а ве­роятность– доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки п(уменьшается с ростомп) и от значения довери­тельной вероятности(увеличивается с приближениемк единице).

Тема 2. Метод наименьших квадратов

Список рекомендуемой литературы:

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 320с.

2. Мухамедиев Б.М. Эконометрика и эконометрическое прогнозирование. – Алматы: Қазақ университеті. 2007. – 250с.

3. Эконометрика. Под ред. Елисеевой И.И. – М.: Финансы и статистика, 2005.

ЛЗ 2

План.

1. Функция регрессии и основные задачи статистического анализа парной регрессии. Причины включения случайного члена в уравнение регрессии.

2. Метод наименьших квадратов для вычисления коэффициентов уравнения регрессии.

Вопрос 1. Функция регрессии и основные задачи статистического анализа парной регрессии. Причины включения случайного члена в уравнение регрессии.

Между различными явлениями и их признаками выделяют два типа связей:

- функциональную (же­стко детерминированную) и

- статистическую (стохастически детерминированную).

Связь признака у с признаком х называется функциональ­ной, если каждому возможному значению независимого призна­ка х соответствует одно или несколько строго определенных значений зависимого признака у. Определение функциональ­ной связи может быть легко обобщено для случая многих при­знаков х₁, х₂,…х_п.

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативно­го) признака, а также точный механизм их влияния, выражен­ный определенным уравнением.

Функциональную связь можно представить уравнением:

y_i =f(х_i) (1)

где y_i – результативный признак (i = 1, ...,n); f(х_i) – известная функция связи результативного и факторного при­знаков; х_i – факторный признак.

В реальной общественной жизни, ввиду неполноты инфор­мации жестко детерминированной системы, может возникнуть неопределенность, из-за которой эта система по своей природе должна рассматриваться как вероятностная, при этом связь ме­жду признаками становится стохастической.

Стохастическая связь – это связь между величинами, при кото­рой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение дру­гой величины х или других величин х₁, x₂,..., х_n (случайных или неслу­чайных) изменением закона распределения. Поскольку значения зави­симой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть определены с достаточной точностью, а только указаны с опре­деленной вероятностью.

Модель стохастической связи может быть представлена в об­щем виде уравнением:

y_i =f(х_i) +ε_i (2)

где y_i – расчетное значение результативного признака; f(x_i) – часть результативного признака, сформировавшаяся под воз­действием учтенных известных факторных признаков (одного иди множества), находящихся в стохастической связи с признаком; ε_i – часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также изме­рения признаков, неизбежно сопровождающегося некоторыми случай­ными ошибками.

Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел, сущность которого заключается в том, что лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случай­ности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет сущест­венную силу, проявится достаточно отчетливо.

Линейная парная регрессия. Наиболее разработанной в теории статистики является мето­дология парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака х на результативный признак у и представляющая собой однофакторный корреляци­онный и регрессионный анализ. Овладение теорией и практикой построения и анализа двухмерной модели корреляционного и регрессионного анализа представляет собой исходную основу для изучения многофакторных стохастических связей.

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исход­ной информации математической функции. Сложность заклю­чается в том, что из множества функций необходимо найти та­кую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типа функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явле­нии, опыт предыдущих аналогичных исследований, или осуще­ствляться эмпирически, то есть путем перебора и оценки функций раз­ных типов.

При изучении связи экономических показателей производ­ства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для вы­полнения расчетов путем логарифмирования или замены переменных преобразуют в линейную форму.

Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

ŷ = b₀ +b₁ · х (3)

где ŷ - теоретические значения результативного признака, полу­ченные по уравнению регрессии; b₀, b₁ – коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Поскольку b₀ является средним значением у в точке х = 0, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна. Коэффициент парной линейной регрессии b₁ имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Уравнение (3) показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его из­мерения, то есть вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак b₁ указывает направление этого изменения.