Вопрос 1. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа.

Временным рядом называется ряд наблюдений x(t₁), x(t₂),…,x(t_N)анализируемой случайной величиныβ(t),проведенных в последовательные моменты времениt₁,t₂,…,t_N.

Классифицируя факторы, под воздействием которых формируются значения элементов временного ряда, выделяют следующие четыре типа.

1) долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении анализируемого признака x(t). Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функцииf_mp(t), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или трендом.

2) сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Будем обозначать результат действия сезонных факторов с помощью неслучайной функции. Поскольку эта функция должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

3) Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы», циклы солнечной активности и т.п.), и являющиеся, как правило, результатом действия циклических факторов.

4) Случайные (нерегулярные) – не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов x(t), а, следовательно, и необходимость интерпретацииx(t₁), x(t₂),…,x(t_N)как наблюдений, произведенных над случайными величинами, соответственно,x(1),x(2),...,x(N).

Случайные факторы, в свою очередь, могут приводить к послед­ствиям двух видов: внезапным (разладочным), приводящим к скачкообразным структурным изменениям.

Обычно случайные факторы – это эволюционные остаточные факторы. Разладочные факторы меняют параметры модели, а иногда и саму модель.

Поэтому при оценке модели там не должно быть разладочных случайных факторов.

Таким образом, на временной ряд могут оказывать влияние долговременные, сезонные, циклические и случайные факторы. Случайные факторы присутствуют всегда, остальные – не во всяком временном ряду.

Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений x(t), могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи (то есть быть априорно-экспертными по своей природе), так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда.

Аналитическое выравнивание и кривые роста. При наличии тенденции в ряду динамики его уровни можно рас­сматривать как функцию времени (t) и случайной компоненты (ε).

В настоящее время компьютерные программы анализа временных рядов предлагают достаточно широкий набор математических функ­ций для построения уравнения тренда. Наиболее часто используются полиномы K-й степени, экспоненты, различного рода кривые с насы­щением.

В общем виде полином K-й степени представляет собой выраже­ние:

у = а₀ +a_l·t + a₂·t²+...+a_k·t^k (1)

При K = 1 получаем линейный тренд:

ŷ = а₀ + a₁·t (2)

Применяя метод наименьших квадратов к линейной, параболической, кубической, показательной, логарифмической, гиперболической и другим функциям, имеем:

а) Уравнение линейного тренда имеет следующий вид:

у = а + b ∙ x (3)

Система линейных уравнений для нахождения параметров aиbследующая:

(4)

где n– количество месяцев.

б) Уравнение параболического тренда имеет следующий вид:

у = а + b ∙ x + с ∙ х²(5)

Система линейных уравнений для нахождения параметров a,bисследующая:

(6)

где n– количество месяцев.

в) Уравнение тренда кубической параболы имеет следующий вид:

у = а + b ∙ x + с ∙ х² + d ∙ х³ (7)

Система линейных уравнений для нахождения параметров a,b,сиdследующая:

(8)

где n– количество месяцев.

г)Уравнение тренда показательной функции имеет следующий вид:

у = а · b^x (9)

Система линейных уравнений для нахождения параметров a иbследующая:

(10)

где n– количество месяцев.

д) уравнение тренда логарифмической параболы имеет следующий вид:

(11)

Система линейных уравнений для нахождения параметров a иbследующая:

(12)

где n– количество месяцев.

е) Система линейных уравнений для нахождения параметровa иbуравнения тренда функции

у = а + b · ln(x) (13)

имеет следующий вид:

(14)

где n– количество месяцев.

ж) Уравнение равносторонней гиперболы имеет следующий вид:

(15)

Система линейных уравнений для нахождения параметров a и bследующая:

(16)

где n– количество месяцев.

з) Уравнение неравносторонней гиперболы имеет следующий вид:

(17)

Система линейных уравнений для нахождения параметров a и bследующая:

(18)

где n– количество месяцев.

и) Уравнение неравносторонней гиперболы имеет следующий вид:

(19)

Система линейных уравнений для нахождения параметров a и bследующая:

(20)

где n– количество месяцев.

к) ряд Фурье (в случае одной гармоники) имеет следующий вид:

у_x = a₀ + a₁ · cos(x) + b₁ · sin(x) (21)

Система линейных уравнений для нахождения параметровa, bисследующая:

(22)

где n– количество месяцев.