Вопрос 1. Множественная линейная регрессия.

Экономические переменные обычно зависят не от одного, а от многих факторов. Так, например, на равновесную цену товара влияют издержки производителей, доходы покупателей, цены взаимозаменяющих и взаимодополняющих товаров, время года и другие факторы. Модель множественной линейной регрессии является обобщением модели парной линейной регрессии и может быть записана в следующем виде:

у = β₁·х₁ + β₂·х₂ + ... + β_k·х_k + ε (1)

где у – зависимая переменная, х₁, х₂,...,х_k – объясняющие переменные, β₁, β₂,…,β_k – коэффициенты регрессии, ε – случайный член, включение которого в уравнение регрессии обусловлено теми же причинами, что и в случае парной регрессии. На первый взгляд может показаться, что данная модель не может содержать постоянный член (то есть не имеющий факторного признака). На самом деле это не так. Формально полагая, что во всех наблюдениях он, как правило, присутствует, получим модель с постоянным членом:

у = β₀ + β₁·х₁ + β₂·х₂ + ... + β_k·х_k + ε (2)

которая содержит k-1 объясняющих переменных х₁,...,х_k и постоянный член, обозначенный через β₀. Запись в форме (1) удобна тем, что не нужно без необходимости каждый раз оговаривать, содержит или не содержит модель постоянный член. При k = 2 и х₁ = 1 уравнение (1) переходит в уравнение парной линейной регрессии.

Вопрос 2. Матричная форма записи модели множественной регрессии.

Пусть имеется выборка, состоящая из п наблюдений зависимой и объясняющих переменных y_i, x_i1, x_i2,...,x_ik, i = 1,2,...,п, для которых уравнение регрессии (1) запишется в виде системы уравнений

у = β₁·х_i1 + β₂·х_i2 + ... + β_k·х_ik + ε_i, i = 1,2,...,п (3)

Определим векторы-столбцы и матрицу:

(4)

Столбец у и матрица X содержат данные выборки. В столбце β записаны неизвестные коэффициенты, которые следует оценить по имеющейся выборке, ε – столбец случайных членов, которые не наблюдаемы. В случае, когда модель содержит постоянный член, первый столбец матрицы X состоит из единиц.

Используя эти обозначения, систему уравнений (3) можно записать в компактной матричной форме:

y = X∙ β + ε (5)

Тема 4. Классическая модель множественной линейной регрессии.

Список рекомендуемой литературы:

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 320с.

2. Мухамедиев Б.М. Эконометрика и эконометрическое прогнозирование. – Алматы: Қазақ университеті. 2007. – 250с.

3. Эконометрика. Под ред. Елисеевой И.И. – М.: Финансы и статистика, 2005.

ЛЗ 6

План

1. Классическая модель множественной регрессии.

2. Проверка статистической значимости коэффициентов линейной регрессии. t-статистика Стьюдента.

Вопрос 1. Классическая модель множественной регрессии.

Как известно, явления общественной жизни складываются под воздействием не одного, а целого ряда факторов, то есть эти явления многофакторны. Между факторами существуют слож­ные взаимосвязи, поэтому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний.

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результатив-ный показатель каждого из включенных в модель (уравнение) факто­ров при фиксированном положении (на среднем уровне) ос­тальных факторов, а также при любых возможных сочетаниях факторов с определенной степенью точности найти теоретиче­ское значение этого показателя. Важным условием является от­сутствие между факторами функциональной или сильно корреляционной связи.

Математически задача формулируется следующим образом. Требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее установленную теоретическим анализом связь не­зависимых признаков с результативным, то есть функцию вида:

y_i =f(х₁, х₂, …, х_n) + ε_i (1)

Данное выражение является классической нормальной моделью множественной регрессии.

Применяя ЭВМ, выбор аппроксимирующей математической функции осуществляется перебором решений, наиболее часто используемых в анализе и решении корреляционно-регрессионных уравнений.

После выбора типа аппроксимирующей функции приступают к многофакторному корреляционному и регрессионному анализу, задачей которого является построение уравнения множественной регрессии и нахождение его неизвестных параметров а₀, а₁, а₂, …, а_n.

Параметры уравнения множественной регрессии, как и в случае парной регрессии, находят по способу наименьших квадратов. Затем с помощью корреляционного анализа осуществляют про­верку адекватности полученной модели. Адекватную модель эко­номически интерпретируют.

Частным случаем выражения (1) является уравнение множест­венной линейной двухфакторной регрессии вида

ŷ_х1…хi = a₀ + a₁·х₁ + a₂·x₂ (2)

где ŷ_х1…хi –расчетные значения зависимой переменной (результа­тивного признака); х₁, x₂ – независимые переменные (факторные признаки); а₀, а₁ и а₂ – параметры уравнения.

Для расчета параметров уравнения (2) применяется следующая система линейных уравнений:

(3)

Для решения уравнения множественной регрессии с n-факторами

ŷ_х1…хi = a₀ + a₁·х₁ + a₂·x₂ + …+ a_n·x_n (4)

применяется следующая система нормальных уравнений:

(5)

Вручную целесообразно выполнять построение и анализ только двух-, максимум трехфакторных моделей. Для n>3 все расчеты рекомендуется осуществлять на компьютерах по специальным программам, предусматривающим исчисление параметров уравнения и показателей, используемых для проверки его адекватности.