Вопрос 1. Спецификация переменных.

Проблема спецификации модели включает в себя вы­бор ее формы и отбор наиболее существенных фак­торов. Результаты неправильной спецификации перемен­ных в уравнении могут быть в обобщенном виде выраже­ны следующим образом:

• в оцениваемой модели отсутствует часть независи­мых переменных, имеющихся в истинной модели (исключение существенных переменных);

• в оцениваемой модели присутствуют независимые переменные, которых нет в истинной модели (вклю­чение несущественных переменных).

Вопрос 2. Последствия невключения в модель существенных переменных.

Пусть истинная теоретическая модель имеет вид:

Y = β₀ + β₁·х₁ + β₂·х₂ + ε (1)

и соответствующее истинное эмпирическое уравнение будет следующим:

Y = b₀ + b₁·х₁ + b₂·х₂ + ε (2)

Допустим, что по каким-либо причинам в модель не включается объясняющая переменная х₂. Тем самым, совершается отбрасывание существенной переменной. Рассматривае­мое теоретическое уравнение имеет вид:

Y = γ₀ + γ₁·х₁ + v (3)

а соответствующее рассматриваемое эмпирическое урав­нение:

Y = g₀ + g₁·x₁ + v (4)

Рассмотрим последствия данной ошибки. Оценки, по­лученные с помощью МНК по рассматриваемому эмпи­рическому уравнению, являются смещенными (M(g₀) ≠ β₀, M(g₁) ≠ β₁) и несостоятельными даже при бесконечно боль­шом числе испытаний. Следовательно, возможные интер­вальные оценки и результаты проверки соответствующих гипотез будут ненадежными.

Исходя из предпосылки МНК о независимости слу­чайного отклонения от объясняющих переменных, cov(x₁, ε) = 0. Тогда очевидна справедливость следующего соотношения:

(5)

Это означает, что оценка g₁ обладает смещением отно­сительно истинного значения параметра, выражаемым величиной:

(6)

Этот вывод позволяет определить направление смещения. Очевидно, оно связано со знаками величин β₂ и cov(x₁, x₂).

Например, при положительном β₂ и положительной коррелированности между x₁ и x₂ оценка g₁ будет завышать истинное значение β₁.

Ошибка данного рода существенно отражается и на коэффициенте детерминации R². В нашей ситуации при использовании уравнения значение коэффициента детер­минации будет завышать роль переменной x₁ в объясне­нии дисперсии переменной Y. Это связано с косвенным «присутствием» в уравнении через коэффициент g₁ пере­менной x₂, что повышает объясняющую способность урав­нения в целом.

Вопрос 3. Включение в модель несущественных переменных.

В некоторых случаях в уравнения регрессии включа­ют слишком много объясняющих переменных, причем не всегда обоснованно. Пусть, например, вместо теорети­ческой модели вида:

Y = β₀ + β₁·х₁ + ε (7)

рассматривается более сложная модель

Y = γ₀ + γ₁·х₁ + γ₂·х₂ + v (8)

При этом добавляется не оказывающая реального воз­действия на Y объясняющая переменная х₂ и соверша­ется ошибка добавления несущественной переменной.

Последствия данной ошибки будут не столь серьезны­ми, как в предыдущем случае. Оценки g₀, g₁ коэффици­ентов, найденные для модели:

Y = γ₀ + γ₁·х₁ + γ₂·х₂ + v (9)

остаются, как правило, несмещенными (M(g₀) = β₀, M(g₁) = β₁) и состоятельными. Однако их точность умень­шится, увеличивая при этом стандартные ошибки, то есть оценки становятся неэффективными, что отразится на их устойчивости. Данный вывод логически вытекает из формул расчета дисперсий оценок коэффициентов рег­рессии для следующих уравнений:

(10)

и

(11)

Здесь r₁₂ – коэффициент корреляции между объяс­няющими переменными х₁ и х₂. Следовательно,

(12)

причем знак равенства возможен лишь при r₁₂=0.

Увеличение дисперсии оценок может привести к оши­бочным результатам проверки гипотез относительно зна­чений коэффициентов регрессии и расширению интерваль­ных оценок.