Вопрос 4. Частная корреляция в модели множественной линейной регрессии.

В реальных условиях все переменные, как прави­ло, взаимосвязаны. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию при ус­ловии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества пере­менных, влияние которых исключается, частные коэффици­енты корреляции могут быть различного порядка (при исклю­чении влияния одной переменной получаем частный коэф­фициент корреляции первого порядка; при исключении влия­ния двух переменных – второго порядка и т.д.). Парный коэф­фициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между при­знаками х₁ и у при исключении влияния признака х₂ вычисляют по формуле:

(13)

(14)

(15)

где r – соответствующие парные коэффициенты корреляции.

Тема 7. Нелинейные эконометрические модели.

Список рекомендуемой литературы:

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 320с.

2. Мухамедиев Б.М. Эконометрика и эконометрическое прогнозирование. – Алматы: Қазақ университеті. 2007. – 250с.

3. Эконометрика. Под ред. Елисеевой И.И. – М.: Финансы и статистика, 2005.

ЛЗ10

План

1. Нелинейные модели регрессии. Нелинейность по переменным и нелинейность по параметрам. Логарифмирование.

2. Эластичность и её моделирование.

Вопрос 1. Нелинейные модели регрессии. Нелинейность по переменным и нелинейность по параметрам. Логарифмирование.

Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом мо­гут возникать неоправданно большие ошибки.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключа­ется в том, что с помощью подходящих преобразований исход­ных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяется в случае, когда подоб­рать соответствующее линеаризующее преобразование не удает­ся. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.

Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой можно использовать обычный метод наименьших квадратов.

Так, например, если необходимо оценить параметры регрессионной модели вида

,i=1,…,п, (1),

то, вводя новые переменные, и, получим следующую линейную модель:

i=1,…,п, (2),

параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов.

Следует, однако, отметить и недостаток такой замены перемен­ных, связанный с тем, что вектор оценок β получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных перемен­ных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же. В связи с этим необходимо определенное уточнение полученных оценок.

Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наи­меньших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную (степенную) модель вида:

,i=1,…,п, (3)

экспоненциальную модель вида:

,i=1,…,п, (4)

и другие.

В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейной форме. Так, указанные выше модели могут быть приведены к линейным на основе логарифмирования обеих частей уравнений.

Логарифмическое преобразование – это переход от нелинейной по переменным либо по параметрам модели (либо одновременно) к логарифмической линейной модели.

Однако заметим, что это бывает не всегда. В модели

,i=1,…,п, (5),

рассматриваемой в качестве альтернативной по отношению к моделям, изложенным выше, методы исследования линей­ной регрессии уже непригодны, так как данную модель нельзя привести к линейному виду. В этом случае используются специ­альные (итеративные) процедуры оценивания параметров.

Оценка производственной функции Кобба-Дугласа. В качестве примера использования линеаризирующего пре­образования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа:

(6)

где Y – объем производства, К – затраты капитала, L – затра­ты труда.

Показатели αиβявляются коэффициентами частной эла­стичности объема производстваYсоответственно по затратам капитала(К) и труда(L). Это означает, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1% объем производства увели­чится наα%(β%).

Учитывая влияние случайных возмущений, присущих каж­дому экономическому явлению, функцию Кобба-Дугласа можно представить в виде:

i=1,…,п, (7)

Полученную мультипликативную (степенную) модель легко свести к линейной путем логарифмирования обеих частей урав­нения. Тогда для i-го наблюдения получим:

i=1,…,п, (8)

Если в модели α + β = 1 (то есть модель такова, что при расширении масштаба производства, связанном с увеличением затрат капи­тала (К) и труда(L) в некоторое число раз, объем производства возрастает в то же число раз), функцию Кобба-Дугласа пред­ставляют в виде:

(9)

или

(10)

Таким образом, получаем зависимость производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Для оценки параметров модели путем логарифмирования приводим ее к виду (для i-го наблюдения).

i=1,…,п, (11)