Вопрос 3. Выборка и генеральная совокупность.

Фундаментальными понятиями статистического анализа являются понятия вероятности и случайной величины (переменной).

Случайной переменной называется переменная, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Это переменная, которой (даже при фиксированных обстоятельствах) мы не можем приписать определенное значение, но можем приписать несколько значений, которые она принимает с определенными вероятностями.

Под вероятностью некоторого события (например, события, состоящего в том, что случайная переменная приняла определенное значение) обычно понимается доля числа исходов, благоприятствующих данному событию, в общем числе возможных равновероятных исходов. Категория «равновероятные исходы» не определяется, а принимается интуитивно.

В основе математической статистики лежат такие понятия как генеральная совокупность и выборка (выборочная совокупность).

Под генеральной совокупностью подразумеваются все возможные наблюдения интересующего показателя, все исходы случайного испытания или вся совокупность реализации случайной величины.

Выборка – это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности. Выборка объема n – это результат наблюдения случайной величины в вероятностном эксперименте, который повторяется n раз в одних и тех же условиях (которые могут контролироваться), а, следовательно, и при неизменном распределении случайной величины х.

Выборку называют репрезентативной (представительной), если она достаточно полно представляет изучаемые признаки и параметры генеральной совокупности.

Вопрос 4. Проверка (тестирование) статистических гипотез.

Статистической гипотезой Н называется предположение относи­тельно параметров или вида распределения случайной величины.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀, а конку­рирующей (альтернативной) – гипотезу Н₁, которая противоречит ну­левой.

Проверку статистической гипотезы выполняют на основе резуль­татов выборки. Поскольку выборка имеет ограниченный объем, то появляется возможность принятия ошибочного решения.

Вероятность α того, что будет отвергнута правильная нулевая ги­потеза, называется уровнем значимости.

Например, выбор 5%-го уровня значимости означает, что в пяти случаях из ста верная гипотеза будет отвергнута. Стремление к умень­шению α ведет в то же время к уменьшению вероятности отвергнуть гипотезу, когда она является ложной.

Статистическим критерием называется случайная величина, кото­рая служит для проверки нулевой гипотезы. В качестве статистичес­кого критерия выбирается такая случайная величина, например t, точное или приближенное распределение которой известно.

Наблюдаемым значением t называется значение критерия, вычис­ленное по данным выборки.

Множество значений критерия t разбивают на две непересека­ющиеся области: критическую и область принятия гипотезы.

Критической областью называется совокупность значений крите­рия, при которых гипотеза H₀ отвергается. Различают одностороннюю и многостороннюю критические области.

Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых гипотеза H₀ принимается.

Критическими точками t_кр. называются точки, отделяющие кри­тическую область и область принятия гипотезы. Критические точ­ки t_кр. определяются по таблицам известного распределения выбран­ного критерия t при заданном уровне значимости и числе степеней свободы.

Сравнивая наблюдаемое значение критерия с критическими точ­ками, можно принять или отвергнуть нулевую гипотезу.