Лз 14. Динамический ряд.

План:

2. Автокорреляция.

3. Прогнозирование на основе моделей временных рядов.

Вопрос 2. Автокорреляция.

Автокорреляция (последовательная корреляция) оп­ределяется как корреляция между наблюдаемыми по­казателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Авто­корреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных вре­менных рядов.

При использовании перекрестных данных наличие ав­токорреляции (пространственной корреляции) крайне ред­ко. В эконо­мических задачах чаще встречается так называемая поло­жительная автокорреляция, нежели от­рицательная автокорреляция.

Например. Исследуется спрос Y на прохладительные на­питки в зависимости от дохода х по ежеме­сячным данным и по сезонным данным. Трендовая зависимость, отражающая увели­чение спроса с ростом дохода, может быть представлена линейной функцией (Y = β₀ + β₁·х), изображенной на рис.1.

Рис.1. Положительная автокорреляция

Однако фактические точки наблюдений обычно будут превышать трендовую линию в летние периоды и будут ниже ее в зимние периоды.

Аналогичная картина может иметь место в макроэко­номическом анализе с учетом циклов деловой активности.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицатель­ное и наоборот. Возможная схема рассеивания точек в этом случае представлена на рис.2.

Рис.2. Отрицательная автокорреляция

Такая ситуация может иметь место, например, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима – лето).

Среди основных причин, вызывающих появление ав­токорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эф­фект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Недоучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимо­сти обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

Инерция. Многие экономические показатели (например, инфля­ция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем при­водит к росту занятости, сокращению инфляции, увели­чению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономичес­ких характеристик не приведет к замедлению роста, за­тем к остановке и движению вспять рассматриваемых по­казателей. В любом случае эта трансформация происхо­дит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах эконо­мические показатели реагируют на изменение экономи­ческих условий с запаздыванием (временным лагом).

Например, предложение сельскохозяйственной продук­ции реагирует на изменение цены с запаздыванием (рав­ным периоду созревания урожая). Большая цена сельс­кохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а, сле­довательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных. Зачастую, данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые име­лись внутри рассматриваемого периода, что, в свою оче­редь, может послужить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и не­смещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойства­ми наилучших линейных несмещенных оценок.

2. Дисперсии оценок являются смещенными. Час­то дисперсии, вычисляемые по стандартным фор­мулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение t-статистик. Это может приве­сти к признанию статистически значимыми объяс­няющих переменных, которые в действительнос­ти таковыми могут и не являться.

3. Оценка дисперсии регрессии S² является смещен­ной оценкой истинного значения а², во многих случаях занижая его.

4. В силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициен­тов регрессии и коэффициента детерминации, воз­можно, будут неверными. Вследствие этого ухуд­шаются прогнозные качества модели.

Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция.

Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайных остатков ε(t) анализируемого временного рядаx(t), производят, как правило, в рамках некоторого специального класса случайных временных последовательностей – класса стационарных временных рядов. На интуитивном уровне стационарность временного ряда мы связываем с требованием, чтобы он имел постоянное среднее значение и колебался вокруг этого среднего с постоянной дисперсией. В некоторых случаях временные последовательности этого класса могут воспроизводить и поведение самого анализируемого временного рядаx(t).

Ряд x(t) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностейт наблюденийx(t₁), x(t₂),…,x(t_т)такое же, как и длят наблюденийx(t₁ + τ), x(t₂ +r),..., x(t_т + τ), при любыхт , t₁,t₂,...,t_m и τ.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени.

В частности, при т = 1 из предположения о строгой стационарности временного рядаx(t) следует, что закон распределения вероятностей случайной величиныx(t) не зависит отtа, значит, не зависят отtи все его основные числовые характеристики.

Ряд x(t) называется слабо стационарным (или стационарным широком смысле), если его среднее значение и дисперсия не зависят отt. Очевидно, что все строго стационарные (или стационарные в узком смысле) временные ряды являются одновременно и стационарными в широком смысле, но не наоборот.

Нестационарным называется ряд, отличающийся от стационарного на неслучайную составляющую.

Автокорреляционная функция. Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измеренапарным коэффициентом корреляции. Так что степень тесноты статистической связи между наблюдениями временного ряда, «разнесенными» (по времени) нат единиц, определится величиной коэффициента корреляции:

(1)

Коэффициент r(τ)измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентомавтокорреляции. При анализе изменения величиныr(τ)в зависимости от значенияτ принято говорить об автокорреляционной функцииr(τ). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой. Значения авто­корреляционной функции, по определению, могут колебаться от -1 до +1. Кроме того, из стационарности следует,r(τ)=r(-τ), так что при анализе поведения автокорреляционных функций достаточно рассматривать только положительные значениях.

Выбор наилучшего уравнения тренда при эконометрическом анализе.

При построении уравнения тренда предполагается, что

l_t = y_t - ŷ_t (2)

представляют собой случайные величины, независимые переменные, среднее значение которых равно нулю (l_t.cp. = 0). Однако это предполо­жение имеет место, если вид функции выбран правильно. В ином случае наблюдается автокорреляция остатков, то есть корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий(l_t)и предыду­щий(l_t-1)моменты времени. Для оценки автокорреляции остатков может быть использованкоэффициент автокорреляции, предложен­ный М. Езекиэлом и К. Фоксом:

(3),

где l_t = y_t - ŷ_t.

Значения данного коэффициента должны находиться в следующих пределах: -1≤r≤1. Чем меньше его значение по абсолютной величине, тем лучше уравнение описывает данную выборку, то есть чем меньше коэффициент автокорреляции остатков, тем в большей мере уравнение тренда пригодно для анализа, моделирования и прогнозирования.

При выборе уравнения тренда можно руководствоваться и други­ми характеристиками, например, средней ошибкой аппроксимации (МАРЕ), определяемой по следующей формуле:

(4)

Чем меньше значение данного коэффициента, тем лучше данное уравнение описывает данную выборку. В целом, если средняя ошибка аппроксимации не превышает 5-7%, уравнение тренда хорошо представляет тенденцию временного ряда.