5. 7. 6. Метод сканiрованiя

Наданий метод укладає у послідовному перегляді значень цільової функції у ряді точок, що належать до області зміни незалежних перемінних, та знаходженні серед цих точок такої, у якій цільова функція має екстремум.

Точність методу, природно, визначається отим, наскільки густо розташуються обрані точки у галузі пошуку. Основним достоїнством методу сканiрованiя є оте, що при його використанні з достатньо " густим " розміщенням точок завжди гарантується відшукування глобального екстремуму. Проте, для цього у наданому методі вимагається чималий обсяг обчислювань.

Метод сканiрованiя не пов'язаний з наявністю локальних екстремумів на відміну від практично всіх інших методів нелінійного програмування. Тому його можна використовувати для грубої оцінки " областей притяжіння " локальних екстремумів, після чого можуть застосовуватися методами градiєнтного пошуку для точного визначення координат кожного екстремуму.

Найбільш простий алгоритм пошуку екстремуму методом сканiрованiя "пошук на сітці перемінних" укладається в тому, що по кожної незалежної перемінної задаються припущення у відповідному порядку, що забезпечує " заповнення" всієї досліджуваної області рівномірною та достатньо густою сіткою. Так, наприклад, для пошуку екстремуму функції двох перемінних спершу при фіксованому значенні U^k₂розраховуються значенняR(U_j) приU^K₁ = U^K-1₁для всього діапазону зміни незалежної перемінноїU_j та фіксує значення екстремуму. Після цього друга перемінна змінюється на крокΔU₂ U^K₂= U^K-1₂U+ΔU₂ і розрахунки повторюються при варіюванні перемінноїU_j

Для довільного числа перемінних крок по наступної перемінної виробляється після отого, як повністю завершений цикл по попередньої.

Обсяг обчислювань при використанні методу сканiрованiя можна оцінити по наступній формулі :

(5.59)

де Δ- точність визначення екстремума

n - кількість незалежних перемінних.

При n = 2 та Δ= 10 кількість обчислювань S = 10^-6, а при тому ж значенні точності n = 3 S = 10^-6.

Тому метод сканiрованiя ефективно використовується при числі перемінних не більш трьох.

Існують різноманітні модiфикації методу сканiрованiя, що застосовуються в основному для скорочування обсягу обчислювань. Розглянемо одну з них - сканiрованiє з перемінним кроком. Спершу задається достатньо великий крок(ΔU >)та виконується " грубий " пошук, що локалiзує область існування глобального екстремуму ( P ) (рiс. 5.26). Рис 5.26

Після отого, як область визначена , виробляється пошук з меншим кроком тільки в межах знайденої області. Можна організувати ряд таких процедур послідовного уточнення по положення оптимуму

При використанні наданого алгоритму обсяг обчислювань істотно але скорочує і може бути визначений по наступній формулі :

(5.60)

де r - число етапів уточнення пошуку, на якому крок зменшувався в К раз

n - число незалежних перемінних;

Δ- точність визначення екстремуму.

Початковий крок сітки перемінних в даному випадку визначається формулою :

Δ_o=K^r Δ ( 5. 59 )

При n = 2, Δ= 10^-3, r = 2, K = 10 иΔ_o= 0,1 кількість обчислювань S=900.

При постійному кроці сканiрованiя для отих же умов вимагалося 10⁶обчислювань, т. є. обсяг обчислювань скоротився більш ніж у 1000 раз. Ще більш чималий виграш спостерігається при більшому числі незалежних перемінних. Так, для отих же наданих, але при n = 3 число обчислювань з перемінним кроком сканiрованiя складе S = 17000, а для постійного кроку S = 10⁹.